기초 대수 예제

$\frac{x^{2} - 6 x + 9}{x^{2} - 4} \div \frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 8 x + 12}$

단계 1

분수로 나누려면 분수의 역수를 곱합니다.

$\frac{x^{2} - 6 x + 9}{x^{2} - 4} \cdot \frac{x^{2} - 8 x + 12}{x^{2} - 9}$

단계 2

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

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단계 2.1

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{x^{2} - 6 x + 3^{2}}{x^{2} - 4} \cdot \frac{x^{2} - 8 x + 12}{x^{2} - 9}$

단계 2.2

중간 항이 첫 번째 항 및 세 번째 항에서 제곱되는 수를 곱한 값의 두 배인지 확인합니다.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

단계 2.3

다항식을 다시 씁니다.

$\frac{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}}{x^{2} - 4} \cdot \frac{x^{2} - 8 x + 12}{x^{2} - 9}$

단계 2.4

$a = x$ 이고 $b = 3$ 일 때 완전제곱 삼항식 법칙 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ 을 이용하여 인수분해합니다.

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{x^{2} - 4} \cdot \frac{x^{2} - 8 x + 12}{x^{2} - 9}$

단계 3

분모를 간단히 합니다.

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단계 3.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{x^{2} - 2^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 8 x + 12}{x^{2} - 9}$

단계 3.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 2$ 입니다.

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{x^{2} - 8 x + 12}{x^{2} - 9}$

단계 4

AC 방법을 이용하여 $x^{2} - 8 x + 12$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $12$ 이고 합은 $- 8$ 입니다.

$- 6, - 2$

단계 4.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{(x - 6) (x - 2)}{x^{2} - 9}$

단계 5

분모를 간단히 합니다.

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단계 5.1

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{(x - 6) (x - 2)}{x^{2} - 3^{2}}$

단계 5.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 3$ 입니다.

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{(x - 6) (x - 2)}{(x + 3) (x - 3)}$

단계 6

조합합니다.

$\frac{{(x - 3)}^{2} ((x - 6) (x - 2))}{(x + 2) (x - 2) ((x + 3) (x - 3))}$

단계 7

${(x - 3)}^{2}$ 및 $x - 3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.1

${(x - 3)}^{2} ((x - 6) (x - 2))$ 에서 $x - 3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(x - 3) ((x - 3) ((x - 6) (x - 2)))}{(x + 2) (x - 2) ((x + 3) (x - 3))}$

단계 7.2

공약수로 약분합니다.

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단계 7.2.1

$(x + 2) (x - 2) ((x + 3) (x - 3))$ 에서 $x - 3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(x - 3) ((x - 3) ((x - 6) (x - 2)))}{(x - 3) ((x + 2) (x - 2) (x + 3))}$

단계 7.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{(x - 3) ((x - 3) ((x - 6) (x - 2)))}{(x - 3) ((x + 2) (x - 2) (x + 3))}$

단계 7.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{(x - 3) ((x - 6) (x - 2))}{(x + 2) (x - 2) (x + 3)}$

단계 8

$x - 2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 8.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{(x - 3) ((x - 6) (x - 2))}{(x + 2) (x - 2) (x + 3)}$

단계 8.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{(x - 3) (x - 6)}{(x + 2) (x + 3)}$