기초 대수 예제

$\frac{\frac{\frac{p^{2} - 4 p - 5}{2 p^{2} - p - 1}}{p^{2} + p}}{p^{2} + p - 2}$

단계 1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\frac{\frac{p^{2} - 4 p - 5}{2 p^{2} - p - 1}}{p^{2} + p} \cdot \frac{1}{p^{2} + p - 2}$

단계 2

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\frac{p^{2} - 4 p - 5}{2 p^{2} - p - 1} \cdot \frac{1}{p^{2} + p} \frac{1}{p^{2} + p - 2}$

단계 3

AC 방법을 이용하여 $p^{2} - 4 p - 5$ 를 인수분해합니다.

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단계 3.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 5$ 이고 합은 $- 4$ 입니다.

$- 5, 1$

단계 3.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$\frac{(p - 5) (p + 1)}{2 p^{2} - p - 1} \cdot \frac{1}{p^{2} + p} \frac{1}{p^{2} + p - 2}$

단계 4

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

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단계 4.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ 이고 합이 $b = - 1$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

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단계 4.1.1

$- p$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(p - 5) (p + 1)}{2 p^{2} - (p) - 1} \cdot \frac{1}{p^{2} + p} \frac{1}{p^{2} + p - 2}$

단계 4.1.2

$- 1$ 를 $1$ + $- 2$ 로 다시 씁니다.

$\frac{(p - 5) (p + 1)}{2 p^{2} + (1 - 2) p - 1} \cdot \frac{1}{p^{2} + p} \frac{1}{p^{2} + p - 2}$

단계 4.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(p - 5) (p + 1)}{2 p^{2} + 1 p - 2 p - 1} \cdot \frac{1}{p^{2} + p} \frac{1}{p^{2} + p - 2}$

단계 4.1.4

$p$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(p - 5) (p + 1)}{2 p^{2} + p - 2 p - 1} \cdot \frac{1}{p^{2} + p} \frac{1}{p^{2} + p - 2}$

단계 4.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

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단계 4.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$\frac{(p - 5) (p + 1)}{(2 p^{2} + p) - 2 p - 1} \cdot \frac{1}{p^{2} + p} \frac{1}{p^{2} + p - 2}$

단계 4.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$\frac{(p - 5) (p + 1)}{p (2 p + 1) - (2 p + 1)} \cdot \frac{1}{p^{2} + p} \frac{1}{p^{2} + p - 2}$

단계 4.3

최대공약수 $2 p + 1$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$\frac{(p - 5) (p + 1)}{(2 p + 1) (p - 1)} \cdot \frac{1}{p^{2} + p} \frac{1}{p^{2} + p - 2}$

단계 5

$p^{2} + p$ 에서 $p$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.1

$p^{2}$ 에서 $p$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(p - 5) (p + 1)}{(2 p + 1) (p - 1)} \cdot \frac{1}{p \cdot p + p} \frac{1}{p^{2} + p - 2}$

단계 5.2

$p$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{(p - 5) (p + 1)}{(2 p + 1) (p - 1)} \cdot \frac{1}{p \cdot p + p^{1}} \frac{1}{p^{2} + p - 2}$

단계 5.3

$p^{1}$ 에서 $p$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(p - 5) (p + 1)}{(2 p + 1) (p - 1)} \cdot \frac{1}{p \cdot p + p \cdot 1} \frac{1}{p^{2} + p - 2}$

단계 5.4

$p \cdot p + p \cdot 1$ 에서 $p$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(p - 5) (p + 1)}{(2 p + 1) (p - 1)} \cdot \frac{1}{p (p + 1)} \frac{1}{p^{2} + p - 2}$

단계 6

$p + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.1

$(p - 5) (p + 1)$ 에서 $p + 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(p + 1) (p - 5)}{(2 p + 1) (p - 1)} \cdot \frac{1}{p (p + 1)} \frac{1}{p^{2} + p - 2}$

단계 6.2

$p (p + 1)$ 에서 $p + 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(p + 1) (p - 5)}{(2 p + 1) (p - 1)} \cdot \frac{1}{(p + 1) p} \frac{1}{p^{2} + p - 2}$

단계 6.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{(p + 1) (p - 5)}{(2 p + 1) (p - 1)} \cdot \frac{1}{(p + 1) p} \frac{1}{p^{2} + p - 2}$

단계 6.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{p - 5}{(2 p + 1) (p - 1)} \cdot \frac{1}{p} \frac{1}{p^{2} + p - 2}$

단계 7

$\frac{p - 5}{(2 p + 1) (p - 1)}$ 에 $\frac{1}{p}$ 을 곱합니다.

$\frac{p - 5}{(2 p + 1) (p - 1) p} \cdot \frac{1}{p^{2} + p - 2}$

단계 8

AC 방법을 이용하여 $p^{2} + p - 2$ 를 인수분해합니다.

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단계 8.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 2$ 이고 합은 $1$ 입니다.

$- 1, 2$

단계 8.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$\frac{p - 5}{(2 p + 1) (p - 1) p} \cdot \frac{1}{(p - 1) (p + 2)}$

단계 9

$\frac{p - 5}{(2 p + 1) (p - 1) p} \cdot \frac{1}{(p - 1) (p + 2)}$ 을 곱합니다.

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단계 9.1

$\frac{p - 5}{(2 p + 1) (p - 1) p}$ 에 $\frac{1}{(p - 1) (p + 2)}$ 을 곱합니다.

$\frac{p - 5}{(2 p + 1) (p - 1) p ((p - 1) (p + 2))}$

단계 9.2

$p - 1$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{p - 5}{(2 p + 1) p ({(p - 1)}^{1} (p - 1) (p + 2))}$

단계 9.3

$p - 1$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{p - 5}{(2 p + 1) p ({(p - 1)}^{1} {(p - 1)}^{1} (p + 2))}$

단계 9.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{p - 5}{(2 p + 1) p ({(p - 1)}^{1 + 1} (p + 2))}$

단계 9.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{p - 5}{(2 p + 1) p ({(p - 1)}^{2} (p + 2))}$

단계 10

분모를 간단히 합니다.

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단계 10.1

다시 씁니다.

$\frac{p - 5}{(2 p + 1) (p - 1) p ((p - 1) (p + 2))}$

단계 10.2

$p - 1$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{p - 5}{(2 p + 1) p ({(p - 1)}^{1} (p - 1) (p + 2))}$

단계 10.3

$p - 1$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{p - 5}{(2 p + 1) p ({(p - 1)}^{1} {(p - 1)}^{1} (p + 2))}$

단계 10.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{p - 5}{(2 p + 1) p ({(p - 1)}^{1 + 1} (p + 2))}$

단계 10.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{p - 5}{(2 p + 1) p ({(p - 1)}^{2} (p + 2))}$

단계 10.6

불필요한 괄호를 제거합니다.

$\frac{p - 5}{(2 p + 1) p {(p - 1)}^{2} (p + 2)}$

단계 11

$\frac{p - 5}{(2 p + 1) p {(p - 1)}^{2} (p + 2)}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{p - 5}{p (2 p + 1) {(p - 1)}^{2} (p + 2)}$

단계 12

분수 $\frac{p - 5}{p (2 p + 1) {(p - 1)}^{2} (p + 2)}$ 를 두 개의 분수로 나눕니다.

$\frac{p}{p (2 p + 1) {(p - 1)}^{2} (p + 2)} + \frac{- 5}{p (2 p + 1) {(p - 1)}^{2} (p + 2)}$

단계 13

$p$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 13.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{p}{p (2 p + 1) {(p - 1)}^{2} (p + 2)} + \frac{- 5}{p (2 p + 1) {(p - 1)}^{2} (p + 2)}$

단계 13.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{(2 p + 1) {(p - 1)}^{2} (p + 2)} + \frac{- 5}{p (2 p + 1) {(p - 1)}^{2} (p + 2)}$

단계 14

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{(2 p + 1) {(p - 1)}^{2} (p + 2)} - \frac{5}{p (2 p + 1) {(p - 1)}^{2} (p + 2)}$