기초 대수 예제

$(\frac{a^{2}}{2 a - b} + \frac{b^{2}}{b - 2 a}) \div \frac{{(a + b)}^{2}}{2 a^{2} + a b - b^{2}}$

단계 1

분수로 나누려면 분수의 역수를 곱합니다.

$(\frac{a^{2}}{2 a - b} + \frac{b^{2}}{b - 2 a}) \frac{2 a^{2} + a b - b^{2}}{{(a + b)}^{2}}$

단계 2

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.1

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

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단계 2.1.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ 이고 합이 $b = 1$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

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단계 2.1.1.1

항을 다시 정렬합니다.

$(\frac{a^{2}}{2 a - b} + \frac{b^{2}}{b - 2 a}) \frac{2 a^{2} - b^{2} + a b}{{(a + b)}^{2}}$

단계 2.1.1.2

$- b^{2}$ 와 $a b$ 을 다시 정렬합니다.

$(\frac{a^{2}}{2 a - b} + \frac{b^{2}}{b - 2 a}) \frac{2 a^{2} + a b - b^{2}}{{(a + b)}^{2}}$

단계 2.1.1.3

$a b$ 에서 $1$ 를 인수분해합니다.

$(\frac{a^{2}}{2 a - b} + \frac{b^{2}}{b - 2 a}) \frac{2 a^{2} + 1 (a b) - b^{2}}{{(a + b)}^{2}}$

단계 2.1.1.4

$1$ 를 $- 1$ + $2$ 로 다시 씁니다.

$(\frac{a^{2}}{2 a - b} + \frac{b^{2}}{b - 2 a}) \frac{2 a^{2} + (- 1 + 2) (a b) - b^{2}}{{(a + b)}^{2}}$

단계 2.1.1.5

분배 법칙을 적용합니다.

$(\frac{a^{2}}{2 a - b} + \frac{b^{2}}{b - 2 a}) \frac{2 a^{2} - 1 (a b) + 2 (a b) - b^{2}}{{(a + b)}^{2}}$

단계 2.1.1.6

괄호를 옮깁니다.

$(\frac{a^{2}}{2 a - b} + \frac{b^{2}}{b - 2 a}) \frac{2 a^{2} - 1 a b + 2 a b - b^{2}}{{(a + b)}^{2}}$

단계 2.1.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

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단계 2.1.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$(\frac{a^{2}}{2 a - b} + \frac{b^{2}}{b - 2 a}) \frac{(2 a^{2} - 1 a b) + 2 a b - b^{2}}{{(a + b)}^{2}}$

단계 2.1.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$(\frac{a^{2}}{2 a - b} + \frac{b^{2}}{b - 2 a}) \frac{a (2 a - 1 b) + b (2 a - b)}{{(a + b)}^{2}}$

단계 2.1.3

최대공약수 $2 a - 1 b$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$(\frac{a^{2}}{2 a - b} + \frac{b^{2}}{b - 2 a}) \frac{(2 a - 1 b) (a + b)}{{(a + b)}^{2}}$

단계 2.2

$- 1 b$ 을 $- b$ 로 바꿔 씁니다.

$(\frac{a^{2}}{2 a - b} + \frac{b^{2}}{b - 2 a}) \frac{(2 a - b) (a + b)}{{(a + b)}^{2}}$

단계 3

$b$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$(\frac{a^{2}}{2 a - b} + \frac{b^{2}}{- 1 (- b) - 2 a}) \frac{(2 a - b) (a + b)}{{(a + b)}^{2}}$

단계 4

$- 2 a$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$(\frac{a^{2}}{2 a - b} + \frac{b^{2}}{- 1 (- b) - (2 a)}) \frac{(2 a - b) (a + b)}{{(a + b)}^{2}}$

단계 5

$- 1 (- b) - (2 a)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$(\frac{a^{2}}{2 a - b} + \frac{b^{2}}{- 1 (- b + 2 a)}) \frac{(2 a - b) (a + b)}{{(a + b)}^{2}}$

단계 6

$\frac{b^{2}}{- 1 (- b + 2 a)}$ 의 분모에서 음수를 분자로 옮깁니다.

$(\frac{a^{2}}{2 a - b} + \frac{- b^{2}}{- b + 2 a}) \frac{(2 a - b) (a + b)}{{(a + b)}^{2}}$

단계 7

항을 다시 정렬합니다.

$(\frac{a^{2}}{2 a - b} + \frac{- b^{2}}{2 a - b}) \frac{(2 a - b) (a + b)}{{(a + b)}^{2}}$

단계 8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{a^{2} - b^{2}}{2 a - b} \cdot \frac{(2 a - b) (a + b)}{{(a + b)}^{2}}$

단계 9

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = a$ 이고 $b = b$ 입니다.

$\frac{(a + b) (a - b)}{2 a - b} \cdot \frac{(2 a - b) (a + b)}{{(a + b)}^{2}}$

단계 10

$a + b$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 10.1

${(a + b)}^{2}$ 에서 $a + b$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(a + b) (a - b)}{2 a - b} \cdot \frac{(2 a - b) (a + b)}{(a + b) (a + b)}$

단계 10.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{(a + b) (a - b)}{2 a - b} \cdot \frac{(2 a - b) (a + b)}{(a + b) (a + b)}$

단계 10.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{a - b}{2 a - b} \cdot \frac{(2 a - b) (a + b)}{a + b}$

단계 11

$2 a - b$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 11.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{a - b}{2 a - b} \cdot \frac{(2 a - b) (a + b)}{a + b}$

단계 11.2

수식을 다시 씁니다.

$(a - b) \frac{a + b}{a + b}$

단계 12

$a + b$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 12.1

공약수로 약분합니다.

$(a - b) \frac{a + b}{a + b}$

단계 12.2

수식을 다시 씁니다.

$(a - b) \cdot 1$

단계 13

$a - b$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$a - b$