기초 대수 예제

$\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{5} = 1$

단계 1

우변을 $1$ 로 만들기 위하여 식의 각 변을 간단히 합니다. 타원 또는 쌍곡선의 표준식의 우변은 $1$ 입니다.

$\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{5} = 1$

단계 2

이것은 타원의 형태입니다. 이 형태를 이용하여 타원의 장축과 주축을 따라 중심을 찾는 데 사용되는 값들을 구합니다.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

단계 3

이 타원의 값들을 표준형과 맞춰 봅니다. 변수 $a$ 는 타원의 장축의 반지름을, $b$ 는 타원의 단축의 반지름을, $h$ 는 원점으로부터의 x축 방향으로 떨어진 거리를, $k$ 는 원점으로부터 y축 방향으로 떨어진 거리를 의미합니다.

$a = \sqrt{5}$

$b = \sqrt{3}$

$k = 0$

$h = 0$

단계 4

타원의 중심은 $(h, k)$ 형태입니다. $h$ 와 $k$ 값을 식에 대입합니다.

$(0, 0)$

단계 5

중심으로부터 초점까지의 거리인 $c$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

다음의 공식을 이용하여 중심으로부터 타원의 중점까지의 거리를 구합니다.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

단계 5.2

$a$ , $b$ 값을 공식에 대입합니다.

$\sqrt{{(\sqrt{5})}^{2} - {(\sqrt{3})}^{2}}$

단계 5.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

${\sqrt{5}}^{2}$ 을 $5$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{5}$ 을(를) $5^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\sqrt{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(\sqrt{3})}^{2}}$

단계 5.3.1.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\sqrt{5^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(\sqrt{3})}^{2}}$

단계 5.3.1.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\sqrt{5^{\frac{2}{2}} - {(\sqrt{3})}^{2}}$

단계 5.3.1.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1.4.1

공약수로 약분합니다.

$\sqrt{5^{\frac{2}{2}} - {(\sqrt{3})}^{2}}$

단계 5.3.1.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\sqrt{5^{1} - {(\sqrt{3})}^{2}}$

단계 5.3.1.5

지수값을 계산합니다.

$\sqrt{5 - {(\sqrt{3})}^{2}}$

단계 5.3.2

${\sqrt{3}}^{2}$ 을 $3$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{3}$ 을(를) $3^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\sqrt{5 - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 5.3.2.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\sqrt{5 - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 5.3.2.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\sqrt{5 - 3^{\frac{2}{2}}}$

단계 5.3.2.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.4.1

공약수로 약분합니다.

$\sqrt{5 - 3^{\frac{2}{2}}}$

단계 5.3.2.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\sqrt{5 - 3^{1}}$

단계 5.3.2.5

지수값을 계산합니다.

$\sqrt{5 - 1 \cdot 3}$

단계 5.3.3

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\sqrt{5 - 3}$

단계 5.3.3.2

$5$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\sqrt{2}$

단계 6

꼭짓점을 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

타원의 첫 번째 꼭짓점은 $k$ 에 $a$ 를 더해서 구할 수 있습니다.

$(h, k + a)$

단계 6.2

알고 있는 값인 $h$ , $a$ , $k$ 를 공식에 대입합니다.

$(0, 0 + \sqrt{5})$

단계 6.3

간단히 합니다.

$(0, \sqrt{5})$

단계 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

단계 6.5

알고 있는 값인 $h$ , $a$ , $k$ 를 공식에 대입합니다.

$(0, 0 - (\sqrt{5}))$

단계 6.6

간단히 합니다.

$(0, - \sqrt{5})$

단계 6.7

타원에는 꼭짓점이 2개 있습니다.

${Vertex}_{1}$ : $(0, \sqrt{5})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - \sqrt{5})$

${Vertex}_{1}$ : $(0, \sqrt{5})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - \sqrt{5})$

단계 7

초점을 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

타원의 첫 번째 초점은 $k$ 에 $c$ 를 더해 구할 수 있습니다.

$(h, k + c)$

단계 7.2

알고 있는 값인 $h$ , $c$ , $k$ 를 공식에 대입합니다.

$(0, 0 + \sqrt{2})$

단계 7.3

간단히 합니다.

$(0, \sqrt{2})$

단계 7.4

타원의 첫 번째 초점은 $k$ 에서 $c$ 를 빼서 구할 수 있습니다.

$(h, k - c)$

단계 7.5

알고 있는 값인 $h$ , $c$ , $k$ 를 공식에 대입합니다.

$(0, 0 - (\sqrt{2}))$

단계 7.6

간단히 합니다.

$(0, - \sqrt{2})$

단계 7.7

타원에는 초점이 2개 있습니다.

${Focus}_{1}$ : $(0, \sqrt{2})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \sqrt{2})$

${Focus}_{1}$ : $(0, \sqrt{2})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \sqrt{2})$

단계 8

이심률을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

다음의 공식을 이용하여 이심률 값을 구합니다.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

단계 8.2

$a$ , $b$ 값을 공식에 대입합니다.

$\frac{\sqrt{{(\sqrt{5})}^{2} - {(\sqrt{3})}^{2}}}{\sqrt{5}}$

단계 8.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.1

${\sqrt{5}}^{2}$ 을 $5$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{5}$ 을(를) $5^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{\sqrt{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2} - {\sqrt{3}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

단계 8.3.1.1.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{\sqrt{5^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {\sqrt{3}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

단계 8.3.1.1.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{\sqrt{5^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{3}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

단계 8.3.1.1.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.1.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\sqrt{5^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{3}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

단계 8.3.1.1.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\sqrt{5^{1} - {\sqrt{3}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

단계 8.3.1.1.5

지수값을 계산합니다.

$\frac{\sqrt{5 - {\sqrt{3}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

단계 8.3.1.2

${\sqrt{3}}^{2}$ 을 $3$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{3}$ 을(를) $3^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{\sqrt{5 - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{\sqrt{5}}$

단계 8.3.1.2.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{\sqrt{5 - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{\sqrt{5}}$

단계 8.3.1.2.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{\sqrt{5 - 3^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{5}}$

단계 8.3.1.2.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.2.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\sqrt{5 - 3^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{5}}$

단계 8.3.1.2.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\sqrt{5 - 3^{1}}}{\sqrt{5}}$

단계 8.3.1.2.5

지수값을 계산합니다.

$\frac{\sqrt{5 - 1 \cdot 3}}{\sqrt{5}}$

단계 8.3.1.3

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{\sqrt{5 - 3}}{\sqrt{5}}$

단계 8.3.1.4

$5$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$

단계 8.3.2

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ 에 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ 을 곱합니다.

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

단계 8.3.3

분모를 결합하고 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.3.1

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ 에 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ 을 곱합니다.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

단계 8.3.3.2

$\sqrt{5}$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

단계 8.3.3.3

$\sqrt{5}$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

단계 8.3.3.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

단계 8.3.3.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

단계 8.3.3.6

${\sqrt{5}}^{2}$ 을 $5$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{5}$ 을(를) $5^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 8.3.3.6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 8.3.3.6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

단계 8.3.3.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.3.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

단계 8.3.3.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{1}}$

단계 8.3.3.6.5

지수값을 계산합니다.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5}$

단계 8.3.4

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.4.1

근호의 곱의 미분 법칙을 사용하여 묶습니다.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 5}}{5}$

단계 8.3.4.2

$2$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{\sqrt{10}}{5}$

단계 9

이는 타원을 그리고 분석하는 데 사용되는 중요한 값들입니다.

중심: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, \sqrt{5})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - \sqrt{5})$

${Focus}_{1}$ : $(0, \sqrt{2})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \sqrt{2})$

이심률: $\frac{\sqrt{10}}{5}$

단계 10