기초 대수 예제

$\frac{x^{3} - 10 x^{2} + 32 x - 48}{x - 6}$

단계 1

식 $\frac{x^{3} - 10 x^{2} + 32 x - 48}{x - 6}$ 가 정의되지 않는 구간을 찾습니다.

$x = 6$

단계 2

수직점근선은 무한 불연속인 영역에서 나타납니다.

수직점근선 없음

단계 3

분자의 차수가 $n$ , 분모의 차수가 $m$ 인 유리 함수 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ 를 사용합니다.

1. $n < m$ 이면 x축, $y = 0$ 이 수평점근선입니다.

2. $n = m$ 이면, 수평점근선은 $y = \frac{a}{b}$ 선입니다.

3. $n > m$ 이면, 수평점근선이 존재하지 않습니다(사선점근선이 존재합니다).

단계 4

$n$ 와 $m$ 값을 구합니다.

$n = 3$

$m = 1$

단계 5

$n > m$ 이므로, 수평점근선이 존재하지 않습니다.

수평점근선 없음

단계 6

다항식의 나눗셈을 이용하여 사선점근선을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$x$

$6$

$x^{3}$

$10 x^{2}$

$32 x$

$48$

단계 6.2

피제수 $x^{3}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$x^{2}$
	$x$	-	$6$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$32 x$	-	$48$

단계 6.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$
$x$	-	$6$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$32 x$	-	$48$
			+	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$

단계 6.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $x^{3} - 6 x^{2}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$
$x$	-	$6$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$32 x$	-	$48$
			-	$x^{3}$	+	$6 x^{2}$

단계 6.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$
$x$	-	$6$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$32 x$	-	$48$
			-	$x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$

단계 6.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$x^{2}$
$x$	-	$6$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$32 x$	-	$48$
			-	$x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$32 x$

단계 6.7

피제수 $- 4 x^{2}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$6$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$32 x$	-	$48$
			-	$x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$32 x$

단계 6.8

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$6$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$32 x$	-	$48$
			-	$x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$32 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$24 x$

단계 6.9

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 4 x^{2} + 24 x$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$6$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$32 x$	-	$48$
			-	$x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$32 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$24 x$

단계 6.10

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$6$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$32 x$	-	$48$
			-	$x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$32 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$24 x$
							+	$8 x$

단계 6.11

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$6$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$32 x$	-	$48$
			-	$x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$32 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$24 x$
							+	$8 x$	-	$48$

단계 6.12

피제수 $8 x$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$8$
$x$	-	$6$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$32 x$	-	$48$
			-	$x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$32 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$24 x$
							+	$8 x$	-	$48$

단계 6.13

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$8$
$x$	-	$6$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$32 x$	-	$48$
			-	$x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$32 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$24 x$
							+	$8 x$	-	$48$
							+	$8 x$	-	$48$

단계 6.14

식을 피제수에서 빼야 하므로 $8 x - 48$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$8$
$x$	-	$6$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$32 x$	-	$48$
			-	$x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$32 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$24 x$
							+	$8 x$	-	$48$
							-	$8 x$	+	$48$

단계 6.15

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$8$
$x$	-	$6$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$32 x$	-	$48$
			-	$x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$32 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$24 x$
							+	$8 x$	-	$48$
							-	$8 x$	+	$48$
										$0$

단계 6.16

나머지가 $0$ 이므로, 몫이 최종해입니다.

$x^{2} - 4 x + 8$

단계 6.17

사선점근선은 긴 나눗셈의 결과에서 다항식 부분입니다.

$y = x^{2} - 4 x$

단계 7

모든 점근선의 집합입니다.

수직점근선 없음

수평점근선 없음

사선점근선: $y = x^{2} - 4 x$

단계 8