기초 대수 예제

$f (x) = \frac{(2) (1 - \ln (x))}{x^{2}}$

단계 1

점근선을 구합니다.

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단계 1.1

식 $\frac{2 (1 - \ln (x))}{x^{2}}$ 가 정의되지 않는 구간을 찾습니다.

$x \leq 0$

단계 1.2

왼쪽에서 $\frac{2 (1 - \ln (x))}{x^{2}}$ $\to$ $\infty$ 이(가) $x$ $\to$ $0$ 이고, 오른쪽에서 $\frac{2 (1 - \ln (x))}{x^{2}}$ $\to$ $- \infty$ 이(가) $x$ $\to$ $0$ 이므로 $x = 0$ 는 수직점근선입니다.

$x = 0$

단계 1.3

수평점근선을 구하려면 $lim_{x \to \infty} \frac{2 (1 - \ln (x))}{x^{2}}$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

$2$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$2 lim_{x \to \infty} \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

단계 1.3.2

로피탈 법칙을 적용합니다.

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단계 1.3.2.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 1.3.2.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$2 \frac{lim_{x \to \infty} 1 - \ln (x)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

단계 1.3.2.1.2

분자의 극한을 구하세요.

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단계 1.3.2.1.2.1

극한값을 계산합니다.

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단계 1.3.2.1.2.1.1

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$2 \frac{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \ln (x)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

단계 1.3.2.1.2.1.2

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$2 \frac{1 - lim_{x \to \infty} \ln (x)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

단계 1.3.2.1.2.2

로그가 무한대에 가까워지면 값은 $\infty$ (으)로 이동합니다.

$2 \frac{1 - \infty}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

단계 1.3.2.1.2.3

답을 간단히 합니다.

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단계 1.3.2.1.2.3.1

0이 아닌 상수 곱하기 무한대는 무한대입니다.

$2 \frac{1 + - \infty}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

단계 1.3.2.1.2.3.2

무한대 더하기 또는 빼기 숫자는 무한대입니다.

$2 \frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

단계 1.3.2.1.3

최고차항이 양수인 다항식에 대한 무한대에서의 극한값은 무한대입니다.

$2 \frac{- \infty}{\infty}$

단계 1.3.2.1.4

무한대를 무한대로 나눈 값은 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$2 \frac{- \infty}{\infty}$

단계 1.3.2.2

$\frac{- \infty}{\infty}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

단계 1.3.2.3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 1.3.2.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

단계 1.3.2.3.2

합의 법칙에 의해 $1 - \ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ 가 됩니다.

$2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

단계 1.3.2.3.3

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$2 lim_{x \to \infty} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

단계 1.3.2.3.4

$\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.2.3.4.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \ln (x)$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 입니다.

$2 lim_{x \to \infty} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

단계 1.3.2.3.4.2

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$2 lim_{x \to \infty} \frac{0 - \frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

단계 1.3.2.3.5

$0$ 에서 $\frac{1}{x}$ 을 뺍니다.

$2 lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

단계 1.3.2.3.6

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x}}{2 x}$

단계 1.3.2.4

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$2 lim_{x \to \infty} - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{2 x}$

단계 1.3.2.5

인수끼리 묶습니다.

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단계 1.3.2.5.1

$\frac{1}{2 x}$ 에 $\frac{1}{x}$ 을 곱합니다.

$2 lim_{x \to \infty} - \frac{1}{2 x \cdot x}$

단계 1.3.2.5.2

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$2 lim_{x \to \infty} - \frac{1}{2 x^{1} x}$

단계 1.3.2.5.3

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$2 lim_{x \to \infty} - \frac{1}{2 x^{1} x^{1}}$

단계 1.3.2.5.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$2 lim_{x \to \infty} - \frac{1}{2 x^{1 + 1}}$

단계 1.3.2.5.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$2 lim_{x \to \infty} - \frac{1}{2 x^{2}}$

단계 1.3.3

극한값을 계산합니다.

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단계 1.3.3.1

$- 1$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$2 \cdot - 1 lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x^{2}}$

단계 1.3.3.2

$\frac{1}{2}$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$2 \cdot - 1 \frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}$

단계 1.3.4

분모가 무한대로 발산하는 반면 분자는 실수에 가까워지므로 분수 $\frac{1}{x^{2}}$ 는 $0$ 에 가까워집니다.

$2 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot 0$

단계 1.3.5

답을 간단히 합니다.

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단계 1.3.5.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.3.5.1.1

$2 \cdot - 1$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (- 1) \frac{1}{2} \cdot 0$

단계 1.3.5.1.2

공약수로 약분합니다.

$2 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot 0$

단계 1.3.5.1.3

수식을 다시 씁니다.

$- 1 \cdot 0$

단계 1.3.5.2

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0$

단계 1.4

수평점근선 나열:

$y = 0$

단계 1.5

로그와 삼각함수에서는 사선점근선이 존재하지 않습니다.

사선점근선 없음

단계 1.6

모든 점근선의 집합입니다.

수직점근선: $x = 0$

수평점근선: $y = 0$

수직점근선: $x = 0$

수평점근선: $y = 0$

단계 2

$x = 1$ 인 점을 구합니다.

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단계 2.1

수식에서 변수 $x$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$f (1) = \frac{(2) (1 - \ln (1))}{{(1)}^{2}}$

단계 2.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 2.2.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.2.1.1

$1$ 의 자연로그값은 $0$ 입니다.

$f (1) = \frac{2 (1 - 0)}{1^{2}}$

단계 2.2.1.2

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f (1) = \frac{2 (1 + 0)}{1^{2}}$

단계 2.2.1.3

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f (1) = \frac{2 \cdot 1}{1^{2}}$

단계 2.2.2

식을 간단히 합니다.

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단계 2.2.2.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f (1) = \frac{2 \cdot 1}{1}$

단계 2.2.2.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (1) = \frac{2}{1}$

단계 2.2.2.3

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f (1) = 2$

단계 2.2.3

최종 답은 $2$ 입니다.

$2$

단계 2.3

$2$ 를 소수로 변환합니다.

$y = 2$

단계 3

$x = 2$ 인 점을 구합니다.

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단계 3.1

수식에서 변수 $x$ 에 $2$ 을 대입합니다.

$f (2) = \frac{(2) (1 - \ln (2))}{{(2)}^{2}}$

단계 3.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 3.2.1

공약수로 약분합니다.

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단계 3.2.1.1

${(2)}^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f (2) = \frac{(2) (1 - \ln (2))}{2 \cdot 2}$

단계 3.2.1.2

공약수로 약분합니다.

$f (2) = \frac{2 (1 - \ln (2))}{2 \cdot 2}$

단계 3.2.1.3

수식을 다시 씁니다.

$f (2) = \frac{1 - \ln (2)}{2}$

단계 3.2.2

최종 답은 $\frac{1 - \ln (2)}{2}$ 입니다.

$\frac{1 - \ln (2)}{2}$

단계 3.3

$\frac{1 - \ln (2)}{2}$ 를 소수로 변환합니다.

$y = 0.1534264$

단계 4

$x = 3$ 인 점을 구합니다.

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단계 4.1

수식에서 변수 $x$ 에 $3$ 을 대입합니다.

$f (3) = \frac{(2) (1 - \ln (3))}{{(3)}^{2}}$

단계 4.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (3) = \frac{2 (1 - \ln (3))}{9}$

단계 4.2.2

최종 답은 $\frac{2 (1 - \ln (3))}{9}$ 입니다.

$\frac{2 (1 - \ln (3))}{9}$

단계 4.3

$\frac{2 (1 - \ln (3))}{9}$ 를 소수로 변환합니다.

$y = - 0.02191384$

단계 5

로그 함수의 그래프는 수직점근선인 $x = 0$ 와 $(1, 2), (2, 0.1534264), (3, - 0.02191384)$ 점들을 사용하여 그릴 수 있습니다.

수직점근선: $x = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 2 \\ 2 & 0.153 \\ 3 & - 0.022 \end{array}$

단계 6