기초 대수 예제

$9 x^{2} + 18 x + 4 y^{2} + 16 y - 11 = 0$

단계 1

타원 방정식의 표준형을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

방정식의 양변에 $11$ 를 더합니다.

$9 x^{2} + 18 x + 4 y^{2} + 16 y = 11$

단계 1.2

$9 x^{2} + 18 x$ 를 완전제곱식 형태로 만듭니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태를 이용해 $a$ , $b$ , $c$ 값을 구합니다.

$a = 9$

$b = 18$

$c = 0$

단계 1.2.2

포물선 방정식의 꼭짓점 형태를 이용합니다.

$a {(x + d)}^{2} + e$

단계 1.2.3

$d = \frac{b}{2 a}$ 공식을 이용하여 $d$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1

$a$ 과 $b$ 값을 공식 $d = \frac{b}{2 a}$ 에 대입합니다.

$d = \frac{18}{2 \cdot 9}$

단계 1.2.3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.1

$18$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.1.1

$18$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 9}$

단계 1.2.3.2.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.1.2.1

$2 \cdot 9$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot 9}{2 (9)}$

단계 1.2.3.2.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 9}$

단계 1.2.3.2.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$d = \frac{9}{9}$

단계 1.2.3.2.2

$9$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{9}{9}$

단계 1.2.3.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$d = 1$

단계 1.2.4

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 공식을 이용하여 $e$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.1

$c$ , $b$ , $a$ 값을 공식 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 에 대입합니다.

$e = 0 - \frac{18^{2}}{4 \cdot 9}$

단계 1.2.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.2.1.1

$18$ 를 $2$ 승 합니다.

$e = 0 - \frac{324}{4 \cdot 9}$

단계 1.2.4.2.1.2

$4$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$e = 0 - \frac{324}{36}$

단계 1.2.4.2.1.3

$324$ 을 $36$ 로 나눕니다.

$e = 0 - 1 \cdot 9$

단계 1.2.4.2.1.4

$- 1$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$e = 0 - 9$

단계 1.2.4.2.2

$0$ 에서 $9$ 을 뺍니다.

$e = - 9$

단계 1.2.5

$a$ , $d$ , $e$ 값을 꼭짓점 형태 $9 {(x + 1)}^{2} - 9$ 에 대입합니다.

$9 {(x + 1)}^{2} - 9$

단계 1.3

$9 x^{2} + 18 x$ 를 $9 {(x + 1)}^{2} - 9$ 로 바꿔 방정식 $9 x^{2} + 18 x + 4 y^{2} + 16 y = 11$ 에 대입합니다.

$9 {(x + 1)}^{2} - 9 + 4 y^{2} + 16 y = 11$

단계 1.4

양변에 $9$ 을 더하여 $- 9$ 을 방정식의 우변으로 보냅니다.

$9 {(x + 1)}^{2} + 4 y^{2} + 16 y = 11 + 9$

단계 1.5

$4 y^{2} + 16 y$ 를 완전제곱식 형태로 만듭니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태를 이용해 $a$ , $b$ , $c$ 값을 구합니다.

$a = 4$

$b = 16$

$c = 0$

단계 1.5.2

포물선 방정식의 꼭짓점 형태를 이용합니다.

$a {(x + d)}^{2} + e$

단계 1.5.3

$d = \frac{b}{2 a}$ 공식을 이용하여 $d$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.1

$a$ 과 $b$ 값을 공식 $d = \frac{b}{2 a}$ 에 대입합니다.

$d = \frac{16}{2 \cdot 4}$

단계 1.5.3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.2.1

$16$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.2.1.1

$16$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 4}$

단계 1.5.3.2.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.2.1.2.1

$2 \cdot 4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 (4)}$

단계 1.5.3.2.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 4}$

단계 1.5.3.2.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$d = \frac{8}{4}$

단계 1.5.3.2.2

$8$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.2.2.1

$8$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{4 \cdot 2}{4}$

단계 1.5.3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.2.2.2.1

$4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{4 \cdot 2}{4 (1)}$

단계 1.5.3.2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 1}$

단계 1.5.3.2.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$d = \frac{2}{1}$

단계 1.5.3.2.2.2.4

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$d = 2$

단계 1.5.4

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 공식을 이용하여 $e$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.4.1

$c$ , $b$ , $a$ 값을 공식 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 에 대입합니다.

$e = 0 - \frac{16^{2}}{4 \cdot 4}$

단계 1.5.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.4.2.1.1

$16$ 를 $2$ 승 합니다.

$e = 0 - \frac{256}{4 \cdot 4}$

단계 1.5.4.2.1.2

$4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$e = 0 - \frac{256}{16}$

단계 1.5.4.2.1.3

$256$ 을 $16$ 로 나눕니다.

$e = 0 - 1 \cdot 16$

단계 1.5.4.2.1.4

$- 1$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$e = 0 - 16$

단계 1.5.4.2.2

$0$ 에서 $16$ 을 뺍니다.

$e = - 16$

단계 1.5.5

$a$ , $d$ , $e$ 값을 꼭짓점 형태 $4 {(y + 2)}^{2} - 16$ 에 대입합니다.

$4 {(y + 2)}^{2} - 16$

단계 1.6

$4 y^{2} + 16 y$ 를 $4 {(y + 2)}^{2} - 16$ 로 바꿔 방정식 $9 x^{2} + 18 x + 4 y^{2} + 16 y = 11$ 에 대입합니다.

$9 {(x + 1)}^{2} + 4 {(y + 2)}^{2} - 16 = 11 + 9$

단계 1.7

양변에 $16$ 을 더하여 $- 16$ 을 방정식의 우변으로 보냅니다.

$9 {(x + 1)}^{2} + 4 {(y + 2)}^{2} = 11 + 9 + 16$

단계 1.8

$11 + 9 + 16$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.8.1

$11$ 를 $9$ 에 더합니다.

$9 {(x + 1)}^{2} + 4 {(y + 2)}^{2} = 20 + 16$

단계 1.8.2

$20$ 를 $16$ 에 더합니다.

$9 {(x + 1)}^{2} + 4 {(y + 2)}^{2} = 36$

단계 1.9

각 항을 $36$ 로 나눠 우변이 1이 되게 합니다.

$\frac{9 {(x + 1)}^{2}}{36} + \frac{4 {(y + 2)}^{2}}{36} = \frac{36}{36}$

단계 1.10

우변을 $1$ 로 만들기 위하여 식의 각 변을 간단히 합니다. 타원 또는 쌍곡선의 표준식의 우변은 $1$ 입니다.

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{4} + \frac{{(y + 2)}^{2}}{9} = 1$

단계 2

이것은 타원의 형태입니다. 이 형태를 이용하여 타원의 장축과 주축을 따라 중심을 찾는 데 사용되는 값들을 구합니다.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

단계 3

이 타원의 값들을 표준형과 맞춰 봅니다. 변수 $a$ 는 타원의 장축의 반지름을, $b$ 는 타원의 단축의 반지름을, $h$ 는 원점으로부터의 x축 방향으로 떨어진 거리를, $k$ 는 원점으로부터 y축 방향으로 떨어진 거리를 의미합니다.

$a = 3$

$b = 2$

$k = - 2$

$h = - 1$

단계 4

타원의 중심은 $(h, k)$ 형태입니다. $h$ 와 $k$ 값을 식에 대입합니다.

$(- 1, - 2)$

단계 5

중심으로부터 초점까지의 거리인 $c$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

다음의 공식을 이용하여 중심으로부터 타원의 중점까지의 거리를 구합니다.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

단계 5.2

$a$ , $b$ 값을 공식에 대입합니다.

$\sqrt{{(3)}^{2} - {(2)}^{2}}$

단계 5.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$\sqrt{9 - {(2)}^{2}}$

단계 5.3.2

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\sqrt{9 - 1 \cdot 4}$

단계 5.3.3

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\sqrt{9 - 4}$

단계 5.3.4

$9$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$\sqrt{5}$

단계 6

꼭짓점을 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

타원의 첫 번째 꼭짓점은 $k$ 에 $a$ 를 더해서 구할 수 있습니다.

$(h, k + a)$

단계 6.2

알고 있는 값인 $h$ , $a$ , $k$ 를 공식에 대입합니다.

$(- 1, - 2 + 3)$

단계 6.3

간단히 합니다.

$(- 1, 1)$

단계 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

단계 6.5

알고 있는 값인 $h$ , $a$ , $k$ 를 공식에 대입합니다.

$(- 1, - 2 - (3))$

단계 6.6

간단히 합니다.

$(- 1, - 5)$

단계 6.7

타원에는 꼭짓점이 2개 있습니다.

${Vertex}_{1}$ : $(- 1, 1)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1, - 5)$

${Vertex}_{1}$ : $(- 1, 1)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1, - 5)$

단계 7

초점을 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

타원의 첫 번째 초점은 $k$ 에 $c$ 를 더해 구할 수 있습니다.

$(h, k + c)$

단계 7.2

알고 있는 값인 $h$ , $c$ , $k$ 를 공식에 대입합니다.

$(- 1, - 2 + \sqrt{5})$

단계 7.3

타원의 첫 번째 초점은 $k$ 에서 $c$ 를 빼서 구할 수 있습니다.

$(h, k - c)$

단계 7.4

알고 있는 값인 $h$ , $c$ , $k$ 를 공식에 대입합니다.

$(- 1, - 2 - (\sqrt{5}))$

단계 7.5

간단히 합니다.

$(- 1, - 2 - \sqrt{5})$

단계 7.6

타원에는 초점이 2개 있습니다.

${Focus}_{1}$ : $(- 1, - 2 + \sqrt{5})$

${Focus}_{2}$ : $(- 1, - 2 - \sqrt{5})$

${Focus}_{1}$ : $(- 1, - 2 + \sqrt{5})$

${Focus}_{2}$ : $(- 1, - 2 - \sqrt{5})$

단계 8

이심률을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

다음의 공식을 이용하여 이심률 값을 구합니다.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

단계 8.2

$a$ , $b$ 값을 공식에 대입합니다.

$\frac{\sqrt{{(3)}^{2} - {(2)}^{2}}}{3}$

단계 8.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{\sqrt{9 - 2^{2}}}{3}$

단계 8.3.2

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{\sqrt{9 - 1 \cdot 4}}{3}$

단계 8.3.3

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{\sqrt{9 - 4}}{3}$

단계 8.3.4

$9$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$\frac{\sqrt{5}}{3}$

단계 9

이는 타원을 그리고 분석하는 데 사용되는 중요한 값들입니다.

중심: $(- 1, - 2)$

${Vertex}_{1}$ : $(- 1, 1)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1, - 5)$

${Focus}_{1}$ : $(- 1, - 2 + \sqrt{5})$

${Focus}_{2}$ : $(- 1, - 2 - \sqrt{5})$

이심률: $\frac{\sqrt{5}}{3}$

단계 10