기초 대수 예제

$81 x^{2} + 81 y^{2} - 36 x + 36 y - 8 = 0$

단계 1

방정식의 양변에 $8$ 를 더합니다.

$81 x^{2} + 81 y^{2} - 36 x + 36 y = 8$

단계 2

방정식의 양변을 $81$ 로 나눕니다.

$x^{2} + y^{2} - \frac{4 x}{9} + \frac{4 y}{9} = \frac{8}{81}$

단계 3

$x^{2} - \frac{4 x}{9}$ 를 완전제곱식 형태로 만듭니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태를 이용해 $a$ , $b$ , $c$ 값을 구합니다.

$a = 1$

$b = - \frac{4}{9}$

$c = 0$

단계 3.2

포물선 방정식의 꼭짓점 형태를 이용합니다.

$a {(x + d)}^{2} + e$

단계 3.3

$d = \frac{b}{2 a}$ 공식을 이용하여 $d$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$a$ 과 $b$ 값을 공식 $d = \frac{b}{2 a}$ 에 대입합니다.

$d = \frac{- \frac{4}{9}}{2 \cdot 1}$

단계 3.3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

$- 1$ 및 $1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.1

$- 1$ 을 $- 1 (1)$ 로 바꿔 씁니다.

$d = \frac{- 1 (1) \frac{4}{9}}{2 \cdot 1}$

단계 3.3.2.1.2

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{- 1 \cdot 1 \frac{4}{9}}{2 \cdot 1}$

단계 3.3.2.1.3

수식을 다시 씁니다.

$d = \frac{- \frac{4}{9}}{2}$

단계 3.3.2.2

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$d = - \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{2}$

단계 3.3.2.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.3.1

$- \frac{4}{9}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$d = \frac{- 4}{9} \cdot \frac{1}{2}$

단계 3.3.2.3.2

$- 4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 (- 2)}{9} \cdot \frac{1}{2}$

단계 3.3.2.3.3

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{9} \cdot \frac{1}{2}$

단계 3.3.2.3.4

수식을 다시 씁니다.

$d = \frac{- 2}{9}$

단계 3.3.2.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$d = - \frac{2}{9}$

단계 3.4

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 공식을 이용하여 $e$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$c$ , $b$ , $a$ 값을 공식 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 에 대입합니다.

$e = 0 - \frac{{(- \frac{4}{9})}^{2}}{4 \cdot 1}$

단계 3.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1.1.1

$- \frac{4}{9}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{4}{9})}^{2}}{4 \cdot 1}$

단계 3.4.2.1.1.2

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$e = 0 - \frac{1 {(\frac{4}{9})}^{2}}{4 \cdot 1}$

단계 3.4.2.1.1.3

$\frac{4}{9}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$e = 0 - \frac{1 \frac{4^{2}}{9^{2}}}{4 \cdot 1}$

단계 3.4.2.1.1.4

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$e = 0 - \frac{1 \frac{16}{9^{2}}}{4 \cdot 1}$

단계 3.4.2.1.1.5

$9$ 를 $2$ 승 합니다.

$e = 0 - \frac{1 (\frac{16}{81})}{4 \cdot 1}$

단계 3.4.2.1.1.6

$\frac{16}{81}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e = 0 - \frac{\frac{16}{81}}{4 \cdot 1}$

단계 3.4.2.1.2

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e = 0 - \frac{\frac{16}{81}}{4}$

단계 3.4.2.1.3

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$e = 0 - (\frac{16}{81} \cdot \frac{1}{4})$

단계 3.4.2.1.4

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1.4.1

$16$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$e = 0 - (\frac{4 (4)}{81} \cdot \frac{1}{4})$

단계 3.4.2.1.4.2

공약수로 약분합니다.

$e = 0 - (\frac{4 \cdot 4}{81} \cdot \frac{1}{4})$

단계 3.4.2.1.4.3

수식을 다시 씁니다.

$e = 0 - \frac{4}{81}$

단계 3.4.2.2

$0$ 에서 $\frac{4}{81}$ 을 뺍니다.

$e = - \frac{4}{81}$

단계 3.5

$a$ , $d$ , $e$ 값을 꼭짓점 형태 ${(x - \frac{2}{9})}^{2} - \frac{4}{81}$ 에 대입합니다.

${(x - \frac{2}{9})}^{2} - \frac{4}{81}$

단계 4

$x^{2} - \frac{4 x}{9}$ 를 ${(x - \frac{2}{9})}^{2} - \frac{4}{81}$ 로 바꿔 방정식 $x^{2} + y^{2} - \frac{4 x}{9} + \frac{4 y}{9} = \frac{8}{81}$ 에 대입합니다.

${(x - \frac{2}{9})}^{2} - \frac{4}{81} + y^{2} + \frac{4 y}{9} = \frac{8}{81}$

단계 5

양변에 $\frac{4}{81}$ 을 더하여 $- \frac{4}{81}$ 을 방정식의 우변으로 보냅니다.

${(x - \frac{2}{9})}^{2} + y^{2} + \frac{4 y}{9} = \frac{8}{81} + \frac{4}{81}$

단계 6

$y^{2} + \frac{4 y}{9}$ 를 완전제곱식 형태로 만듭니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태를 이용해 $a$ , $b$ , $c$ 값을 구합니다.

$a = 1$

$b = \frac{4}{9}$

$c = 0$

단계 6.2

포물선 방정식의 꼭짓점 형태를 이용합니다.

$a {(x + d)}^{2} + e$

단계 6.3

$d = \frac{b}{2 a}$ 공식을 이용하여 $d$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1

$a$ 과 $b$ 값을 공식 $d = \frac{b}{2 a}$ 에 대입합니다.

$d = \frac{\frac{4}{9}}{2 \cdot 1}$

단계 6.3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$d = \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

단계 6.3.2.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.2.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 (2)}{9} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

단계 6.3.2.2.2

$2 \cdot 1$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 (2)}{9} \cdot \frac{1}{2 (1)}$

단계 6.3.2.2.3

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{2 \cdot 2}{9} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

단계 6.3.2.2.4

수식을 다시 씁니다.

$d = \frac{2}{9}$

단계 6.4

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 공식을 이용하여 $e$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.1

$c$ , $b$ , $a$ 값을 공식 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 에 대입합니다.

$e = 0 - \frac{{(\frac{4}{9})}^{2}}{4 \cdot 1}$

단계 6.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.2.1.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.2.1.1.1

$\frac{4}{9}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$e = 0 - \frac{\frac{4^{2}}{9^{2}}}{4 \cdot 1}$

단계 6.4.2.1.1.2

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$e = 0 - \frac{\frac{16}{9^{2}}}{4 \cdot 1}$

단계 6.4.2.1.1.3

$9$ 를 $2$ 승 합니다.

$e = 0 - \frac{\frac{16}{81}}{4 \cdot 1}$

단계 6.4.2.1.2

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e = 0 - \frac{\frac{16}{81}}{4}$

단계 6.4.2.1.3

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$e = 0 - (\frac{16}{81} \cdot \frac{1}{4})$

단계 6.4.2.1.4

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.2.1.4.1

$16$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$e = 0 - (\frac{4 (4)}{81} \cdot \frac{1}{4})$

단계 6.4.2.1.4.2

공약수로 약분합니다.

$e = 0 - (\frac{4 \cdot 4}{81} \cdot \frac{1}{4})$

단계 6.4.2.1.4.3

수식을 다시 씁니다.

$e = 0 - \frac{4}{81}$

단계 6.4.2.2

$0$ 에서 $\frac{4}{81}$ 을 뺍니다.

$e = - \frac{4}{81}$

단계 6.5

$a$ , $d$ , $e$ 값을 꼭짓점 형태 ${(y + \frac{2}{9})}^{2} - \frac{4}{81}$ 에 대입합니다.

${(y + \frac{2}{9})}^{2} - \frac{4}{81}$

단계 7

$y^{2} + \frac{4 y}{9}$ 를 ${(y + \frac{2}{9})}^{2} - \frac{4}{81}$ 로 바꿔 방정식 $x^{2} + y^{2} - \frac{4 x}{9} + \frac{4 y}{9} = \frac{8}{81}$ 에 대입합니다.

${(x - \frac{2}{9})}^{2} + {(y + \frac{2}{9})}^{2} - \frac{4}{81} = \frac{8}{81} + \frac{4}{81}$

단계 8

양변에 $\frac{4}{81}$ 을 더하여 $- \frac{4}{81}$ 을 방정식의 우변으로 보냅니다.

${(x - \frac{2}{9})}^{2} + {(y + \frac{2}{9})}^{2} = \frac{8}{81} + \frac{4}{81} + \frac{4}{81}$

단계 9

$\frac{8}{81} + \frac{4}{81} + \frac{4}{81}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

${(x - \frac{2}{9})}^{2} + {(y + \frac{2}{9})}^{2} = \frac{8 + 4 + 4}{81}$

단계 9.2

숫자를 더해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1

$8$ 를 $4$ 에 더합니다.

${(x - \frac{2}{9})}^{2} + {(y + \frac{2}{9})}^{2} = \frac{12 + 4}{81}$

단계 9.2.2

$12$ 를 $4$ 에 더합니다.

${(x - \frac{2}{9})}^{2} + {(y + \frac{2}{9})}^{2} = \frac{16}{81}$

단계 10

원의 공식입니다. 이 공식을 이용하여 원의 중심과 반지름을 구합니다.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

단계 11

이 원에서의 값과 표준형을 비교합니다. 변수 $r$ 은 원의 반지름을 나타내며 $h$ 는 원점에서 x축 방향으로 떨어진 거리를, $k$ 는 원점에서 y축 방향으로 떨어진 거리를 나타냅니다.

$r = \frac{4}{9}$

$h = \frac{2}{9}$

$k = - \frac{2}{9}$

단계 12

원의 중심은 $(h, k)$ 에 있습니다.

중심: $(\frac{2}{9}, - \frac{2}{9})$

단계 13

이는 원을 그리고 분석하는 데 사용되는 중요한 값들입니다.

중심: $(\frac{2}{9}, - \frac{2}{9})$

반지름: $\frac{4}{9}$

단계 14