기초 대수 예제

$4 x^{2} + 9 y^{2} = 81$

단계 1

타원 방정식의 표준형을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

각 항을 $81$ 로 나눠 우변이 1이 되게 합니다.

$\frac{4 x^{2}}{81} + \frac{9 y^{2}}{81} = \frac{81}{81}$

단계 1.2

우변을 $1$ 로 만들기 위하여 식의 각 변을 간단히 합니다. 타원 또는 쌍곡선의 표준식의 우변은 $1$ 입니다.

$\frac{x^{2}}{\frac{81}{4}} + \frac{y^{2}}{9} = 1$

단계 2

이것은 타원의 형태입니다. 이 형태를 이용하여 타원의 장축과 주축을 따라 중심을 찾는 데 사용되는 값들을 구합니다.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

단계 3

이 타원의 값들을 표준형과 맞춰 봅니다. 변수 $a$ 는 타원의 장축의 반지름을, $b$ 는 타원의 단축의 반지름을, $h$ 는 원점으로부터의 x축 방향으로 떨어진 거리를, $k$ 는 원점으로부터 y축 방향으로 떨어진 거리를 의미합니다.

$a = \frac{9}{2}$

$b = 3$

$k = 0$

$h = 0$

단계 4

타원의 중심은 $(h, k)$ 형태입니다. $h$ 와 $k$ 값을 식에 대입합니다.

$(0, 0)$

단계 5

중심으로부터 초점까지의 거리인 $c$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

다음의 공식을 이용하여 중심으로부터 타원의 중점까지의 거리를 구합니다.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

단계 5.2

$a$ , $b$ 값을 공식에 대입합니다.

$\sqrt{{(\frac{9}{2})}^{2} - {(3)}^{2}}$

단계 5.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

$\frac{9}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\sqrt{\frac{9^{2}}{2^{2}} - {(3)}^{2}}$

단계 5.3.2

$9$ 를 $2$ 승 합니다.

$\sqrt{\frac{81}{2^{2}} - {(3)}^{2}}$

단계 5.3.3

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\sqrt{\frac{81}{4} - {(3)}^{2}}$

단계 5.3.4

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$\sqrt{\frac{81}{4} - 1 \cdot 9}$

단계 5.3.5

$- 1$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$\sqrt{\frac{81}{4} - 9}$

단계 5.3.6

공통 분모를 가지는 분수로 $- 9$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$\sqrt{\frac{81}{4} - 9 \cdot \frac{4}{4}}$

단계 5.3.7

$- 9$ 와 $\frac{4}{4}$ 을 묶습니다.

$\sqrt{\frac{81}{4} + \frac{- 9 \cdot 4}{4}}$

단계 5.3.8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\sqrt{\frac{81 - 9 \cdot 4}{4}}$

단계 5.3.9

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.9.1

$- 9$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\sqrt{\frac{81 - 36}{4}}$

단계 5.3.9.2

$81$ 에서 $36$ 을 뺍니다.

$\sqrt{\frac{45}{4}}$

단계 5.3.10

$\sqrt{\frac{45}{4}}$ 을 $\frac{\sqrt{45}}{\sqrt{4}}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{\sqrt{45}}{\sqrt{4}}$

단계 5.3.11

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.11.1

$45$ 을 $3^{2} \cdot 5$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.11.1.1

$45$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\sqrt{9 (5)}}{\sqrt{4}}$

단계 5.3.11.1.2

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 5}}{\sqrt{4}}$

단계 5.3.11.2

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{4}}$

단계 5.3.12

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.12.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{2^{2}}}$

단계 5.3.12.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\frac{3 \sqrt{5}}{2}$

단계 6

꼭짓점을 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

타원의 첫 번째 꼭짓점은 $h$ 에 $a$ 를 더해서 구할 수 있습니다.

$(h + a, k)$

단계 6.2

알고 있는 값인 $h$ , $a$ , $k$ 를 공식에 대입합니다.

$(0 + \frac{9}{2}, 0)$

단계 6.3

간단히 합니다.

$(\frac{9}{2}, 0)$

단계 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

단계 6.5

알고 있는 값인 $h$ , $a$ , $k$ 를 공식에 대입합니다.

$(0 - (\frac{9}{2}), 0)$

단계 6.6

간단히 합니다.

$(- \frac{9}{2}, 0)$

단계 6.7

타원에는 꼭짓점이 2개 있습니다.

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{9}{2}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \frac{9}{2}, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{9}{2}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \frac{9}{2}, 0)$

단계 7

초점을 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

타원의 첫 번째 초점은 $h$ 에 $c$ 를 더해 구할 수 있습니다.

$(h + c, k)$

단계 7.2

알고 있는 값인 $h$ , $c$ , $k$ 를 공식에 대입합니다.

$(0 + \frac{3 \sqrt{5}}{2}, 0)$

단계 7.3

간단히 합니다.

$(\frac{3 \sqrt{5}}{2}, 0)$

단계 7.4

타원의 두 번째 초점은 $h$ 에서 $c$ 를 빼서 구할 수 있습니다.

$(h - c, k)$

단계 7.5

알고 있는 값인 $h$ , $c$ , $k$ 를 공식에 대입합니다.

$(0 - (\frac{3 \sqrt{5}}{2}), 0)$

단계 7.6

간단히 합니다.

$(- \frac{3 \sqrt{5}}{2}, 0)$

단계 7.7

타원에는 초점이 2개 있습니다.

${Focus}_{1}$ : $(\frac{3 \sqrt{5}}{2}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{3 \sqrt{5}}{2}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\frac{3 \sqrt{5}}{2}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{3 \sqrt{5}}{2}, 0)$

단계 8

이심률을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

다음의 공식을 이용하여 이심률 값을 구합니다.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

단계 8.2

$a$ , $b$ 값을 공식에 대입합니다.

$\frac{\sqrt{{(\frac{9}{2})}^{2} - {(3)}^{2}}}{\frac{9}{2}}$

단계 8.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\sqrt{{(\frac{9}{2})}^{2} - 3^{2}} \frac{2}{9}$

단계 8.3.2

$\frac{9}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\sqrt{\frac{9^{2}}{2^{2}} - 3^{2}} \frac{2}{9}$

단계 8.3.3

$9$ 를 $2$ 승 합니다.

$\sqrt{\frac{81}{2^{2}} - 3^{2}} \frac{2}{9}$

단계 8.3.4

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\sqrt{\frac{81}{4} - 3^{2}} \frac{2}{9}$

단계 8.3.5

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$\sqrt{\frac{81}{4} - 1 \cdot 9} \frac{2}{9}$

단계 8.3.6

$- 1$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$\sqrt{\frac{81}{4} - 9} \frac{2}{9}$

단계 8.3.7

공통 분모를 가지는 분수로 $- 9$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$\sqrt{\frac{81}{4} - 9 \cdot \frac{4}{4}} \frac{2}{9}$

단계 8.3.8

$- 9$ 와 $\frac{4}{4}$ 을 묶습니다.

$\sqrt{\frac{81}{4} + \frac{- 9 \cdot 4}{4}} \frac{2}{9}$

단계 8.3.9

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\sqrt{\frac{81 - 9 \cdot 4}{4}} \frac{2}{9}$

단계 8.3.10

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.10.1

$- 9$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\sqrt{\frac{81 - 36}{4}} \frac{2}{9}$

단계 8.3.10.2

$81$ 에서 $36$ 을 뺍니다.

$\sqrt{\frac{45}{4}} \frac{2}{9}$

단계 8.3.11

$\sqrt{\frac{45}{4}}$ 을 $\frac{\sqrt{45}}{\sqrt{4}}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{\sqrt{45}}{\sqrt{4}} \cdot \frac{2}{9}$

단계 8.3.12

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.12.1

$45$ 을 $3^{2} \cdot 5$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.12.1.1

$45$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\sqrt{9 (5)}}{\sqrt{4}} \cdot \frac{2}{9}$

단계 8.3.12.1.2

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 5}}{\sqrt{4}} \cdot \frac{2}{9}$

단계 8.3.12.2

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{4}} \cdot \frac{2}{9}$

단계 8.3.13

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.13.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{2^{2}}} \cdot \frac{2}{9}$

단계 8.3.13.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\frac{3 \sqrt{5}}{2} \cdot \frac{2}{9}$

단계 8.3.14

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.14.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.14.1.1

$3 \sqrt{5}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (\sqrt{5})}{2} \cdot \frac{2}{9}$

단계 8.3.14.1.2

$9$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (\sqrt{5})}{2} \cdot \frac{2}{3 (3)}$

단계 8.3.14.1.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 \sqrt{5}}{2} \cdot \frac{2}{3 \cdot 3}$

단계 8.3.14.1.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{2}{3}$

단계 8.3.14.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.14.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{2}{3}$

단계 8.3.14.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\sqrt{5} \frac{1}{3}$

단계 8.3.14.3

$\sqrt{5}$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{\sqrt{5}}{3}$

단계 9

이는 타원을 그리고 분석하는 데 사용되는 중요한 값들입니다.

중심: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{9}{2}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \frac{9}{2}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\frac{3 \sqrt{5}}{2}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{3 \sqrt{5}}{2}, 0)$

이심률: $\frac{\sqrt{5}}{3}$

단계 10