기초 대수 예제

$4 x + y^{2} = 25$

단계 1

방정식의 양변에서 $y^{2}$ 를 뺍니다.

$4 x = 25 - y^{2}$

단계 2

$4 x = 25 - y^{2}$ 의 각 항을 $4$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$4 x = 25 - y^{2}$ 의 각 항을 $4$ 로 나눕니다.

$\frac{4 x}{4} = \frac{25}{4} + \frac{- y^{2}}{4}$

단계 2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 x}{4} = \frac{25}{4} + \frac{- y^{2}}{4}$

단계 2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{25}{4} + \frac{- y^{2}}{4}$

단계 2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x = \frac{25}{4} - \frac{y^{2}}{4}$

단계 3

주어진 포물선의 성질을 알아봅니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

방정식을 꼭짓점 형태로 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$\frac{25}{4}$ 와 $- \frac{y^{2}}{4}$ 을 다시 정렬합니다.

$x = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{25}{4}$

단계 3.1.2

$- \frac{y^{2}}{4} + \frac{25}{4}$ 를 완전제곱식 형태로 만듭니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태를 이용해 $a$ , $b$ , $c$ 값을 구합니다.

$a = - \frac{1}{4}$

$b = 0$

$c = \frac{25}{4}$

단계 3.1.2.2

포물선 방정식의 꼭짓점 형태를 이용합니다.

$a {(x + d)}^{2} + e$

단계 3.1.2.3

$d = \frac{b}{2 a}$ 공식을 이용하여 $d$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.3.1

$a$ 과 $b$ 값을 공식 $d = \frac{b}{2 a}$ 에 대입합니다.

$d = \frac{0}{2 (- \frac{1}{4})}$

단계 3.1.2.3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.3.2.1

$0$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.3.2.1.1

$0$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 (0)}{2 (- \frac{1}{4})}$

단계 3.1.2.3.2.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.3.2.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 (- \frac{1}{4})}$

단계 3.1.2.3.2.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$d = \frac{0}{- \frac{1}{4}}$

단계 3.1.2.3.2.2

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$d = 0 (- 1 \cdot 4)$

단계 3.1.2.3.2.3

$0 (- 1 \cdot 4)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.3.2.3.1

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$d = 0 \cdot - 4$

단계 3.1.2.3.2.3.2

$0$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$d = 0$

단계 3.1.2.4

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 공식을 이용하여 $e$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.4.1

$c$ , $b$ , $a$ 값을 공식 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 에 대입합니다.

$e = \frac{25}{4} - \frac{0^{2}}{4 (- \frac{1}{4})}$

단계 3.1.2.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.4.2.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$e = \frac{25}{4} - \frac{0}{4 (- \frac{1}{4})}$

단계 3.1.2.4.2.1.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.4.2.1.2.1

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$e = \frac{25}{4} - \frac{0}{- 4 (\frac{1}{4})}$

단계 3.1.2.4.2.1.2.2

$- 4$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$e = \frac{25}{4} - \frac{0}{\frac{- 4}{4}}$

단계 3.1.2.4.2.1.3

$- 4$ 을 $4$ 로 나눕니다.

$e = \frac{25}{4} - \frac{0}{- 1}$

단계 3.1.2.4.2.1.4

$0$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$e = \frac{25}{4} - 0$

단계 3.1.2.4.2.1.5

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$e = \frac{25}{4} + 0$

단계 3.1.2.4.2.2

$\frac{25}{4}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$e = \frac{25}{4}$

단계 3.1.2.5

$a$ , $d$ , $e$ 값을 꼭짓점 형태 $- \frac{1}{4} {(y + 0)}^{2} + \frac{25}{4}$ 에 대입합니다.

$- \frac{1}{4} {(y + 0)}^{2} + \frac{25}{4}$

단계 3.1.3

$x$ 를 오른쪽 항과 같다고 놓습니다.

$x = - \frac{1}{4} \cdot {(y + 0)}^{2} + \frac{25}{4}$

단계 3.2

표준형인 $x = a {(y - k)}^{2} + h$ 를 사용하여 $a$ , $h$ , $k$ 의 값을 구합니다

$a = - \frac{1}{4}$

$h = \frac{25}{4}$

$k = 0$

단계 3.3

$a$ 값이 음수이므로 이 포물선은 왼쪽으로 열린 형태입니다.

왼쪽으로 열림

단계 3.4

꼭짓점 $(h, k)$ 를 구합니다.

$(\frac{25}{4}, 0)$

단계 3.5

꼭짓점으로부터 초점까지의 거리인 $p$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

다음의 공식을 이용하여 꼭짓점으로부터 포물선의 초점까지의 거리를 구합니다.

$\frac{1}{4 a}$

단계 3.5.2

$a$ 값을 공식에 대입합니다.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{4})}$

단계 3.5.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.3.1

$1$ 및 $- 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.3.1.1

$1$ 을 $- 1 (- 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{4})}$

단계 3.5.3.1.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{4})}$

단계 3.5.3.2

$4$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$- \frac{1}{\frac{4}{4}}$

단계 3.5.3.3

$4$ 을 $4$ 로 나눕니다.

$- \frac{1}{1}$

단계 3.5.3.4

$1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.3.4.1

공약수로 약분합니다.

$- \frac{1}{1}$

단계 3.5.3.4.2

수식을 다시 씁니다.

$- 1 \cdot 1$

단계 3.5.3.5

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 1$

단계 3.6

초점을 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1

포물선이 왼쪽 또는 오른쪽으로 열린 경우, 포물선의 초점은 x좌표 $h$ 에 $p$ 를 더해서 구할 수 있습니다.

$(h + p, k)$

단계 3.6.2

알고 있는 값인 $h$ , $p$ , $k$ 를 공식에 대입하여 식을 간단히 합니다.

$(\frac{21}{4}, 0)$

단계 3.7

꼭짓점과 초점을 지나는 직선을 구하여 대칭축을 구합니다.

$y = 0$

단계 3.8

준선을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.8.1

포물선이 왼쪽 또는 오른쪽으로 열린 경우 포물선의 준선은 꼭짓점의 x좌표 $h$ 에서 $p$ 를 뺀 값의 수직선입니다.

$x = h - p$

단계 3.8.2

알고 있는 값인 $p$ 와 $h$ 를 공식에 대입하여 식을 간단히 합니다.

$x = \frac{29}{4}$

단계 3.9

포물선의 성질을 이용해 포물선을 분석하고 그래프를 그립니다.

방향: 왼쪽으로 열림

꼭짓점: $(\frac{25}{4}, 0)$

초점: $(\frac{21}{4}, 0)$

대칭축: $y = 0$

준선: $x = \frac{29}{4}$

방향: 왼쪽으로 열림

꼭짓점: $(\frac{25}{4}, 0)$

초점: $(\frac{21}{4}, 0)$

대칭축: $y = 0$

준선: $x = \frac{29}{4}$

단계 4

여러 $x$ 값을 선택하고 식에 대입하여 해당하는 $y$ 값을 구합니다. 꼭짓점 주위의 $x$ 값을 선택해야 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$x$ 값인 $4.25$ 를 $f (x) = \sqrt{25 - 4 x}$ 에 대입합니다. 여기에서 점은 $(4.25, \sqrt{8})$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

수식에서 변수 $x$ 에 $4.25$ 을 대입합니다.

$f (4.25) = \sqrt{25 - 4 \cdot 4.25}$

단계 4.1.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

$- 4$ 에 $4.25$ 을 곱합니다.

$f (4.25) = \sqrt{25 - 17}$

단계 4.1.2.2

$25$ 에서 $17$ 을 뺍니다.

$f (4.25) = \sqrt{8}$

단계 4.1.2.3

최종 답은 $\sqrt{8}$ 입니다.

$y = \sqrt{8}$

단계 4.2

$x$ 값인 $4.25$ 를 $f (x) = - \sqrt{25 - 4 x}$ 에 대입합니다. 여기에서 점은 $(4.25, - \sqrt{8})$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

수식에서 변수 $x$ 에 $4.25$ 을 대입합니다.

$f (4.25) = - \sqrt{25 - 4 \cdot 4.25}$

단계 4.2.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1

$- 4$ 에 $4.25$ 을 곱합니다.

$f (4.25) = - \sqrt{25 - 17}$

단계 4.2.2.2

$25$ 에서 $17$ 을 뺍니다.

$f (4.25) = - \sqrt{8}$

단계 4.2.2.3

최종 답은 $- \sqrt{8}$ 입니다.

$y = - \sqrt{8}$

단계 4.3

$x$ 값인 $5.25$ 를 $f (x) = \sqrt{25 - 4 x}$ 에 대입합니다. 여기에서 점은 $(5.25, 2)$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

수식에서 변수 $x$ 에 $5.25$ 을 대입합니다.

$f (5.25) = \sqrt{25 - 4 \cdot 5.25}$

단계 4.3.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1

$- 4$ 에 $5.25$ 을 곱합니다.

$f (5.25) = \sqrt{25 - 21}$

단계 4.3.2.2

$25$ 에서 $21$ 을 뺍니다.

$f (5.25) = \sqrt{4}$

단계 4.3.2.3

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$f (5.25) = \sqrt{2^{2}}$

단계 4.3.2.4

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$f (5.25) = 2$

단계 4.3.2.5

최종 답은 $2$ 입니다.

$y = 2$

단계 4.4

$x$ 값인 $5.25$ 를 $f (x) = - \sqrt{25 - 4 x}$ 에 대입합니다. 여기에서 점은 $(5.25, - 2)$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.1

수식에서 변수 $x$ 에 $5.25$ 을 대입합니다.

$f (5.25) = - \sqrt{25 - 4 \cdot 5.25}$

단계 4.4.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.2.1

$- 4$ 에 $5.25$ 을 곱합니다.

$f (5.25) = - \sqrt{25 - 21}$

단계 4.4.2.2

$25$ 에서 $21$ 을 뺍니다.

$f (5.25) = - \sqrt{4}$

단계 4.4.2.3

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$f (5.25) = - \sqrt{2^{2}}$

단계 4.4.2.4

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$f (5.25) = - 1 \cdot 2$

단계 4.4.2.5

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f (5.25) = - 2$

단계 4.4.2.6

최종 답은 $- 2$ 입니다.

$y = - 2$

단계 4.5

포물선의 성질과 선택한 점을 이용하여 포물선의 그래프를 그립니다.

$\begin{array}{c} x & y \\ 4.25 & 2.83 \\ 4.25 & - 2.83 \\ 5.25 & 2 \\ 5.25 & - 2 \\ \frac{25}{4} & 0 \end{array}$

단계 5

포물선의 성질과 선택한 점을 이용하여 포물선의 그래프를 그립니다.

방향: 왼쪽으로 열림

꼭짓점: $(\frac{25}{4}, 0)$

초점: $(\frac{21}{4}, 0)$

대칭축: $y = 0$

준선: $x = \frac{29}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 4.25 & 2.83 \\ 4.25 & - 2.83 \\ 5.25 & 2 \\ 5.25 & - 2 \\ \frac{25}{4} & 0 \end{array}$

단계 6