기초 대수 예제

$x^{2} + 3 y^{2} - 12 y + 9 = 0$

단계 1

타원 방정식의 표준형을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

방정식의 양변에서 $9$ 를 뺍니다.

$x^{2} + 3 y^{2} - 12 y = - 9$

단계 1.2

$3 y^{2} - 12 y$ 를 완전제곱식 형태로 만듭니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태를 이용해 $a$ , $b$ , $c$ 값을 구합니다.

$a = 3$

$b = - 12$

$c = 0$

단계 1.2.2

포물선 방정식의 꼭짓점 형태를 이용합니다.

$a {(x + d)}^{2} + e$

단계 1.2.3

$d = \frac{b}{2 a}$ 공식을 이용하여 $d$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1

$a$ 과 $b$ 값을 공식 $d = \frac{b}{2 a}$ 에 대입합니다.

$d = \frac{- 12}{2 \cdot 3}$

단계 1.2.3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.1

$- 12$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.1.1

$- 12$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 3}$

단계 1.2.3.2.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.1.2.1

$2 \cdot 3$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 (3)}$

단계 1.2.3.2.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 3}$

단계 1.2.3.2.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$d = \frac{- 6}{3}$

단계 1.2.3.2.2

$- 6$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.2.1

$- 6$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{3 \cdot - 2}{3}$

단계 1.2.3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.2.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{3 \cdot - 2}{3 (1)}$

단계 1.2.3.2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot 1}$

단계 1.2.3.2.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$d = \frac{- 2}{1}$

단계 1.2.3.2.2.2.4

$- 2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$d = - 2$

단계 1.2.4

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 공식을 이용하여 $e$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.1

$c$ , $b$ , $a$ 값을 공식 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 에 대입합니다.

$e = 0 - \frac{{(- 12)}^{2}}{4 \cdot 3}$

단계 1.2.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.2.1.1

$- 12$ 를 $2$ 승 합니다.

$e = 0 - \frac{144}{4 \cdot 3}$

단계 1.2.4.2.1.2

$4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$e = 0 - \frac{144}{12}$

단계 1.2.4.2.1.3

$144$ 을 $12$ 로 나눕니다.

$e = 0 - 1 \cdot 12$

단계 1.2.4.2.1.4

$- 1$ 에 $12$ 을 곱합니다.

$e = 0 - 12$

단계 1.2.4.2.2

$0$ 에서 $12$ 을 뺍니다.

$e = - 12$

단계 1.2.5

$a$ , $d$ , $e$ 값을 꼭짓점 형태 $3 {(y - 2)}^{2} - 12$ 에 대입합니다.

$3 {(y - 2)}^{2} - 12$

단계 1.3

$3 y^{2} - 12 y$ 를 $3 {(y - 2)}^{2} - 12$ 로 바꿔 방정식 $x^{2} + 3 y^{2} - 12 y = - 9$ 에 대입합니다.

$x^{2} + 3 {(y - 2)}^{2} - 12 = - 9$

단계 1.4

양변에 $12$ 을 더하여 $- 12$ 을 방정식의 우변으로 보냅니다.

$x^{2} + 3 {(y - 2)}^{2} = - 9 + 12$

단계 1.5

$- 9$ 를 $12$ 에 더합니다.

$x^{2} + 3 {(y - 2)}^{2} = 3$

단계 1.6

각 항을 $3$ 로 나눠 우변이 1이 되게 합니다.

$\frac{x^{2}}{3} + \frac{3 {(y - 2)}^{2}}{3} = \frac{3}{3}$

단계 1.7

우변을 $1$ 로 만들기 위하여 식의 각 변을 간단히 합니다. 타원 또는 쌍곡선의 표준식의 우변은 $1$ 입니다.

$\frac{x^{2}}{3} + {(y - 2)}^{2} = 1$

단계 2

이것은 타원의 형태입니다. 이 형태를 이용하여 타원의 장축과 주축을 따라 중심을 찾는 데 사용되는 값들을 구합니다.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

단계 3

이 타원의 값들을 표준형과 맞춰 봅니다. 변수 $a$ 는 타원의 장축의 반지름을, $b$ 는 타원의 단축의 반지름을, $h$ 는 원점으로부터의 x축 방향으로 떨어진 거리를, $k$ 는 원점으로부터 y축 방향으로 떨어진 거리를 의미합니다.

$a = \sqrt{3}$

$b = 1$

$k = 2$

$h = 0$

단계 4

타원의 중심은 $(h, k)$ 형태입니다. $h$ 와 $k$ 값을 식에 대입합니다.

$(0, 2)$

단계 5

중심으로부터 초점까지의 거리인 $c$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

다음의 공식을 이용하여 중심으로부터 타원의 중점까지의 거리를 구합니다.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

단계 5.2

$a$ , $b$ 값을 공식에 대입합니다.

$\sqrt{{(\sqrt{3})}^{2} - {(1)}^{2}}$

단계 5.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

${\sqrt{3}}^{2}$ 을 $3$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{3}$ 을(를) $3^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\sqrt{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(1)}^{2}}$

단계 5.3.1.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\sqrt{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(1)}^{2}}$

단계 5.3.1.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\sqrt{3^{\frac{2}{2}} - {(1)}^{2}}$

단계 5.3.1.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1.4.1

공약수로 약분합니다.

$\sqrt{3^{\frac{2}{2}} - {(1)}^{2}}$

단계 5.3.1.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\sqrt{3^{1} - {(1)}^{2}}$

단계 5.3.1.5

지수값을 계산합니다.

$\sqrt{3 - {(1)}^{2}}$

단계 5.3.2

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\sqrt{3 - 1 \cdot 1}$

단계 5.3.2.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\sqrt{3 - 1}$

단계 5.3.2.3

$3$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\sqrt{2}$

단계 6

꼭짓점을 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

타원의 첫 번째 꼭짓점은 $h$ 에 $a$ 를 더해서 구할 수 있습니다.

$(h + a, k)$

단계 6.2

알고 있는 값인 $h$ , $a$ , $k$ 를 공식에 대입합니다.

$(0 + \sqrt{3}, 2)$

단계 6.3

간단히 합니다.

$(\sqrt{3}, 2)$

단계 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

단계 6.5

알고 있는 값인 $h$ , $a$ , $k$ 를 공식에 대입합니다.

$(0 - (\sqrt{3}), 2)$

단계 6.6

간단히 합니다.

$(- \sqrt{3}, 2)$

단계 6.7

타원에는 꼭짓점이 2개 있습니다.

${Vertex}_{1}$ : $(\sqrt{3}, 2)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \sqrt{3}, 2)$

${Vertex}_{1}$ : $(\sqrt{3}, 2)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \sqrt{3}, 2)$

단계 7

초점을 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

타원의 첫 번째 초점은 $h$ 에 $c$ 를 더해 구할 수 있습니다.

$(h + c, k)$

단계 7.2

알고 있는 값인 $h$ , $c$ , $k$ 를 공식에 대입합니다.

$(0 + \sqrt{2}, 2)$

단계 7.3

간단히 합니다.

$(\sqrt{2}, 2)$

단계 7.4

타원의 두 번째 초점은 $h$ 에서 $c$ 를 빼서 구할 수 있습니다.

$(h - c, k)$

단계 7.5

알고 있는 값인 $h$ , $c$ , $k$ 를 공식에 대입합니다.

$(0 - (\sqrt{2}), 2)$

단계 7.6

간단히 합니다.

$(- \sqrt{2}, 2)$

단계 7.7

타원에는 초점이 2개 있습니다.

${Focus}_{1}$ : $(\sqrt{2}, 2)$

${Focus}_{2}$ : $(- \sqrt{2}, 2)$

${Focus}_{1}$ : $(\sqrt{2}, 2)$

${Focus}_{2}$ : $(- \sqrt{2}, 2)$

단계 8

이심률을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

다음의 공식을 이용하여 이심률 값을 구합니다.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

단계 8.2

$a$ , $b$ 값을 공식에 대입합니다.

$\frac{\sqrt{{(\sqrt{3})}^{2} - {(1)}^{2}}}{\sqrt{3}}$

단계 8.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.1

${\sqrt{3}}^{2}$ 을 $3$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{3}$ 을(를) $3^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{\sqrt{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 1^{2}}}{\sqrt{3}}$

단계 8.3.1.1.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{\sqrt{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 1^{2}}}{\sqrt{3}}$

단계 8.3.1.1.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{\sqrt{3^{\frac{2}{2}} - 1^{2}}}{\sqrt{3}}$

단계 8.3.1.1.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.1.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\sqrt{3^{\frac{2}{2}} - 1^{2}}}{\sqrt{3}}$

단계 8.3.1.1.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\sqrt{3^{1} - 1^{2}}}{\sqrt{3}}$

단계 8.3.1.1.5

지수값을 계산합니다.

$\frac{\sqrt{3 - 1^{2}}}{\sqrt{3}}$

단계 8.3.1.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{\sqrt{3 - 1 \cdot 1}}{\sqrt{3}}$

단계 8.3.1.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\sqrt{3 - 1}}{\sqrt{3}}$

단계 8.3.1.4

$3$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

단계 8.3.2

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ 에 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 을 곱합니다.

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

단계 8.3.3

분모를 결합하고 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.3.1

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ 에 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 을 곱합니다.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

단계 8.3.3.2

$\sqrt{3}$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

단계 8.3.3.3

$\sqrt{3}$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

단계 8.3.3.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

단계 8.3.3.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

단계 8.3.3.6

${\sqrt{3}}^{2}$ 을 $3$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{3}$ 을(를) $3^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 8.3.3.6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 8.3.3.6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

단계 8.3.3.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.3.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

단계 8.3.3.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{1}}$

단계 8.3.3.6.5

지수값을 계산합니다.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3}$

단계 8.3.4

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.4.1

근호의 곱의 미분 법칙을 사용하여 묶습니다.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{3}$

단계 8.3.4.2

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{\sqrt{6}}{3}$

단계 9

이는 타원을 그리고 분석하는 데 사용되는 중요한 값들입니다.

중심: $(0, 2)$

${Vertex}_{1}$ : $(\sqrt{3}, 2)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \sqrt{3}, 2)$

${Focus}_{1}$ : $(\sqrt{2}, 2)$

${Focus}_{2}$ : $(- \sqrt{2}, 2)$

이심률: $\frac{\sqrt{6}}{3}$

단계 10