기초 대수 예제

$x^{3} + 8 x^{2} < - 5 x + 14$

단계 1

부등식 양변에 $5 x$ 를 더합니다.

$x^{3} + 8 x^{2} + 5 x < 14$

단계 2

부등식을 방정식으로 바꿉니다.

$x^{3} + 8 x^{2} + 5 x = 14$

단계 3

방정식의 양변에서 $14$ 를 뺍니다.

$x^{3} + 8 x^{2} + 5 x - 14 = 0$

단계 4

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

유리근 정리르 이용하여 $x^{3} + 8 x^{2} + 5 x - 14$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 14, \pm 2, \pm 7$

$q = \pm 1$

단계 4.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm 14, \pm 2, \pm 7$

단계 4.1.3

$1$ 을 대입하고 식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $1$ 은 다항식의 근입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.1

$1$ 을 다항식에 대입합니다.

$1^{3} + 8 \cdot 1^{2} + 5 \cdot 1 - 14$

단계 4.1.3.2

$1$ 를 $3$ 승 합니다.

$1 + 8 \cdot 1^{2} + 5 \cdot 1 - 14$

단계 4.1.3.3

$1$ 를 $2$ 승 합니다.

$1 + 8 \cdot 1 + 5 \cdot 1 - 14$

단계 4.1.3.4

$8$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$1 + 8 + 5 \cdot 1 - 14$

단계 4.1.3.5

$1$ 를 $8$ 에 더합니다.

$9 + 5 \cdot 1 - 14$

단계 4.1.3.6

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$9 + 5 - 14$

단계 4.1.3.7

$9$ 를 $5$ 에 더합니다.

$14 - 14$

단계 4.1.3.8

$14$ 에서 $14$ 을 뺍니다.

$0$

단계 4.1.4

$1$ 는 알고 있는 해이므로 다항식을 $x - 1$ 으로 나누어 몫 다항식을 구합니다. 이 다항식은 나머지 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 5 x - 14}{x - 1}$

단계 4.1.5

$x^{3} + 8 x^{2} + 5 x - 14$ 을 $x - 1$ 로 나눕니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.5.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$x$

$1$

$x^{3}$

$8 x^{2}$

$5 x$

$14$

단계 4.1.5.2

피제수 $x^{3}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$5 x$	-	$14$

단계 4.1.5.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$5 x$	-	$14$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

단계 4.1.5.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $x^{3} - x^{2}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$5 x$	-	$14$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

단계 4.1.5.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$5 x$	-	$14$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$

단계 4.1.5.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$5 x$	-	$14$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$5 x$

단계 4.1.5.7

피제수 $9 x^{2}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$x^{2}$	+	$9 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$5 x$	-	$14$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$5 x$

단계 4.1.5.8

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$	+	$9 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$5 x$	-	$14$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$9 x$

단계 4.1.5.9

식을 피제수에서 빼야 하므로 $9 x^{2} - 9 x$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$	+	$9 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$5 x$	-	$14$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$5 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$9 x$

단계 4.1.5.10

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$	+	$9 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$5 x$	-	$14$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$5 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$14 x$

단계 4.1.5.11

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$x^{2}$	+	$9 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$5 x$	-	$14$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$5 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$14 x$	-	$14$

단계 4.1.5.12

피제수 $14 x$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$x^{2}$	+	$9 x$	+	$14$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$5 x$	-	$14$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$5 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$14 x$	-	$14$

단계 4.1.5.13

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$	+	$9 x$	+	$14$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$5 x$	-	$14$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$5 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$14 x$	-	$14$
							+	$14 x$	-	$14$

단계 4.1.5.14

식을 피제수에서 빼야 하므로 $14 x - 14$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$	+	$9 x$	+	$14$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$5 x$	-	$14$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$5 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$14 x$	-	$14$
							-	$14 x$	+	$14$

단계 4.1.5.15

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$	+	$9 x$	+	$14$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$5 x$	-	$14$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$5 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$14 x$	-	$14$
							-	$14 x$	+	$14$
										$0$

단계 4.1.5.16

나머지가 $0$ 이므로, 몫이 최종해입니다.

$x^{2} + 9 x + 14$

단계 4.1.6

$x^{3} + 8 x^{2} + 5 x - 14$ 을 인수의 집합으로 표현합니다.

$(x - 1) (x^{2} + 9 x + 14) = 0$

단계 4.2

AC 방법을 이용하여 $x^{2} + 9 x + 14$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

AC 방법을 이용하여 $x^{2} + 9 x + 14$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $14$ 이고 합은 $9$ 입니다.

$2, 7$

단계 4.2.1.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$(x - 1) ((x + 2) (x + 7)) = 0$

단계 4.2.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$(x - 1) (x + 2) (x + 7) = 0$

단계 5

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

$x + 7 = 0$

단계 6

$x - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$x - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 1 = 0$

단계 6.2

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$x = 1$

단계 7

$x + 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$x + 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 2 = 0$

단계 7.2

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$x = - 2$

단계 8

$x + 7$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$x + 7$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 7 = 0$

단계 8.2

방정식의 양변에서 $7$ 를 뺍니다.

$x = - 7$

단계 9

$(x - 1) (x + 2) (x + 7) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 1, - 2, - 7$

단계 10

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < - 7$

$- 7 < x < - 2$

$- 2 < x < 1$

$x > 1$

단계 11

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

$x < - 7$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1.1

$x < - 7$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 10$

단계 11.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 10$ 로 치환합니다.

${(- 10)}^{3} + 8 {(- 10)}^{2} < - 5 \cdot - 10 + 14$

단계 11.1.3

좌변 $- 200$ 이 우변 $64$ 보다 작으므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 11.2

$- 7 < x < - 2$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1

$- 7 < x < - 2$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 4$

단계 11.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 4$ 로 치환합니다.

${(- 4)}^{3} + 8 {(- 4)}^{2} < - 5 \cdot - 4 + 14$

단계 11.2.3

좌변 $64$ 이 우변 $34$ 보다 작지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 11.3

$- 2 < x < 1$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.1

$- 2 < x < 1$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 0$

단계 11.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $0$ 로 치환합니다.

${(0)}^{3} + 8 {(0)}^{2} < - 5 \cdot 0 + 14$

단계 11.3.3

좌변 $0$ 이 우변 $14$ 보다 작으므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 11.4

$x > 1$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.4.1

$x > 1$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 4$

단계 11.4.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $4$ 로 치환합니다.

${(4)}^{3} + 8 {(4)}^{2} < - 5 \cdot 4 + 14$

단계 11.4.3

좌변 $192$ 이 우변 $- 6$ 보다 작지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 11.5

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < - 7$ 참

$- 7 < x < - 2$ 거짓

$- 2 < x < 1$ 참

$x > 1$ 거짓

$x < - 7$ 참

$- 7 < x < - 2$ 거짓

$- 2 < x < 1$ 참

$x > 1$ 거짓

단계 12

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$x < - 7$ 또는 $- 2 < x < 1$

단계 13