기초 대수 예제

$25 x^{2} + 16 y^{2} - 200 x + 96 y + 144 = 0$

단계 1

타원 방정식의 표준형을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

방정식의 양변에서 $144$ 를 뺍니다.

$25 x^{2} + 16 y^{2} - 200 x + 96 y = - 144$

단계 1.2

$25 x^{2} - 200 x$ 를 완전제곱식 형태로 만듭니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태를 이용해 $a$ , $b$ , $c$ 값을 구합니다.

$a = 25$

$b = - 200$

$c = 0$

단계 1.2.2

포물선 방정식의 꼭짓점 형태를 이용합니다.

$a {(x + d)}^{2} + e$

단계 1.2.3

$d = \frac{b}{2 a}$ 공식을 이용하여 $d$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1

$a$ 과 $b$ 값을 공식 $d = \frac{b}{2 a}$ 에 대입합니다.

$d = \frac{- 200}{2 \cdot 25}$

단계 1.2.3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.1

$- 200$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.1.1

$- 200$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot - 100}{2 \cdot 25}$

단계 1.2.3.2.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.1.2.1

$2 \cdot 25$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot - 100}{2 (25)}$

단계 1.2.3.2.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{2 \cdot - 100}{2 \cdot 25}$

단계 1.2.3.2.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$d = \frac{- 100}{25}$

단계 1.2.3.2.2

$- 100$ 및 $25$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.2.1

$- 100$ 에서 $25$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{25 \cdot - 4}{25}$

단계 1.2.3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.2.2.1

$25$ 에서 $25$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{25 \cdot - 4}{25 (1)}$

단계 1.2.3.2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{25 \cdot - 4}{25 \cdot 1}$

단계 1.2.3.2.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$d = \frac{- 4}{1}$

단계 1.2.3.2.2.2.4

$- 4$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$d = - 4$

단계 1.2.4

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 공식을 이용하여 $e$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.1

$c$ , $b$ , $a$ 값을 공식 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 에 대입합니다.

$e = 0 - \frac{{(- 200)}^{2}}{4 \cdot 25}$

단계 1.2.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.2.1.1

$- 200$ 를 $2$ 승 합니다.

$e = 0 - \frac{40000}{4 \cdot 25}$

단계 1.2.4.2.1.2

$4$ 에 $25$ 을 곱합니다.

$e = 0 - \frac{40000}{100}$

단계 1.2.4.2.1.3

$40000$ 을 $100$ 로 나눕니다.

$e = 0 - 1 \cdot 400$

단계 1.2.4.2.1.4

$- 1$ 에 $400$ 을 곱합니다.

$e = 0 - 400$

단계 1.2.4.2.2

$0$ 에서 $400$ 을 뺍니다.

$e = - 400$

단계 1.2.5

$a$ , $d$ , $e$ 값을 꼭짓점 형태 $25 {(x - 4)}^{2} - 400$ 에 대입합니다.

$25 {(x - 4)}^{2} - 400$

단계 1.3

$25 x^{2} - 200 x$ 를 $25 {(x - 4)}^{2} - 400$ 로 바꿔 방정식 $25 x^{2} + 16 y^{2} - 200 x + 96 y = - 144$ 에 대입합니다.

$25 {(x - 4)}^{2} - 400 + 16 y^{2} + 96 y = - 144$

단계 1.4

양변에 $400$ 을 더하여 $- 400$ 을 방정식의 우변으로 보냅니다.

$25 {(x - 4)}^{2} + 16 y^{2} + 96 y = - 144 + 400$

단계 1.5

$16 y^{2} + 96 y$ 를 완전제곱식 형태로 만듭니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태를 이용해 $a$ , $b$ , $c$ 값을 구합니다.

$a = 16$

$b = 96$

$c = 0$

단계 1.5.2

포물선 방정식의 꼭짓점 형태를 이용합니다.

$a {(x + d)}^{2} + e$

단계 1.5.3

$d = \frac{b}{2 a}$ 공식을 이용하여 $d$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.1

$a$ 과 $b$ 값을 공식 $d = \frac{b}{2 a}$ 에 대입합니다.

$d = \frac{96}{2 \cdot 16}$

단계 1.5.3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.2.1

$96$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.2.1.1

$96$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot 48}{2 \cdot 16}$

단계 1.5.3.2.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.2.1.2.1

$2 \cdot 16$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot 48}{2 (16)}$

단계 1.5.3.2.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{2 \cdot 48}{2 \cdot 16}$

단계 1.5.3.2.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$d = \frac{48}{16}$

단계 1.5.3.2.2

$48$ 및 $16$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.2.2.1

$48$ 에서 $16$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{16 \cdot 3}{16}$

단계 1.5.3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.2.2.2.1

$16$ 에서 $16$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{16 \cdot 3}{16 (1)}$

단계 1.5.3.2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{16 \cdot 3}{16 \cdot 1}$

단계 1.5.3.2.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$d = \frac{3}{1}$

단계 1.5.3.2.2.2.4

$3$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$d = 3$

단계 1.5.4

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 공식을 이용하여 $e$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.4.1

$c$ , $b$ , $a$ 값을 공식 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 에 대입합니다.

$e = 0 - \frac{96^{2}}{4 \cdot 16}$

단계 1.5.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.4.2.1.1

$96$ 를 $2$ 승 합니다.

$e = 0 - \frac{9216}{4 \cdot 16}$

단계 1.5.4.2.1.2

$4$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$e = 0 - \frac{9216}{64}$

단계 1.5.4.2.1.3

$9216$ 을 $64$ 로 나눕니다.

$e = 0 - 1 \cdot 144$

단계 1.5.4.2.1.4

$- 1$ 에 $144$ 을 곱합니다.

$e = 0 - 144$

단계 1.5.4.2.2

$0$ 에서 $144$ 을 뺍니다.

$e = - 144$

단계 1.5.5

$a$ , $d$ , $e$ 값을 꼭짓점 형태 $16 {(y + 3)}^{2} - 144$ 에 대입합니다.

$16 {(y + 3)}^{2} - 144$

단계 1.6

$16 y^{2} + 96 y$ 를 $16 {(y + 3)}^{2} - 144$ 로 바꿔 방정식 $25 x^{2} + 16 y^{2} - 200 x + 96 y = - 144$ 에 대입합니다.

$25 {(x - 4)}^{2} + 16 {(y + 3)}^{2} - 144 = - 144 + 400$

단계 1.7

양변에 $144$ 을 더하여 $- 144$ 을 방정식의 우변으로 보냅니다.

$25 {(x - 4)}^{2} + 16 {(y + 3)}^{2} = - 144 + 400 + 144$

단계 1.8

$- 144 + 400 + 144$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.8.1

$- 144$ 를 $400$ 에 더합니다.

$25 {(x - 4)}^{2} + 16 {(y + 3)}^{2} = 256 + 144$

단계 1.8.2

$256$ 를 $144$ 에 더합니다.

$25 {(x - 4)}^{2} + 16 {(y + 3)}^{2} = 400$

단계 1.9

각 항을 $400$ 로 나눠 우변이 1이 되게 합니다.

$\frac{25 {(x - 4)}^{2}}{400} + \frac{16 {(y + 3)}^{2}}{400} = \frac{400}{400}$

단계 1.10

우변을 $1$ 로 만들기 위하여 식의 각 변을 간단히 합니다. 타원 또는 쌍곡선의 표준식의 우변은 $1$ 입니다.

$\frac{{(x - 4)}^{2}}{16} + \frac{{(y + 3)}^{2}}{25} = 1$

단계 2

이것은 타원의 형태입니다. 이 형태를 이용하여 타원의 장축과 주축을 따라 중심을 찾는 데 사용되는 값들을 구합니다.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

단계 3

이 타원의 값들을 표준형과 맞춰 봅니다. 변수 $a$ 는 타원의 장축의 반지름을, $b$ 는 타원의 단축의 반지름을, $h$ 는 원점으로부터의 x축 방향으로 떨어진 거리를, $k$ 는 원점으로부터 y축 방향으로 떨어진 거리를 의미합니다.

$a = 5$

$b = 4$

$k = - 3$

$h = 4$

단계 4

타원의 중심은 $(h, k)$ 형태입니다. $h$ 와 $k$ 값을 식에 대입합니다.

$(4, - 3)$

단계 5

중심으로부터 초점까지의 거리인 $c$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

다음의 공식을 이용하여 중심으로부터 타원의 중점까지의 거리를 구합니다.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

단계 5.2

$a$ , $b$ 값을 공식에 대입합니다.

$\sqrt{{(5)}^{2} - {(4)}^{2}}$

단계 5.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

$5$ 를 $2$ 승 합니다.

$\sqrt{25 - {(4)}^{2}}$

단계 5.3.2

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$\sqrt{25 - 1 \cdot 16}$

단계 5.3.3

$- 1$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$\sqrt{25 - 16}$

단계 5.3.4

$25$ 에서 $16$ 을 뺍니다.

$\sqrt{9}$

단계 5.3.5

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\sqrt{3^{2}}$

단계 5.3.6

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$3$

단계 6

꼭짓점을 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

타원의 첫 번째 꼭짓점은 $k$ 에 $a$ 를 더해서 구할 수 있습니다.

$(h, k + a)$

단계 6.2

알고 있는 값인 $h$ , $a$ , $k$ 를 공식에 대입합니다.

$(4, - 3 + 5)$

단계 6.3

간단히 합니다.

$(4, 2)$

단계 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

단계 6.5

알고 있는 값인 $h$ , $a$ , $k$ 를 공식에 대입합니다.

$(4, - 3 - (5))$

단계 6.6

간단히 합니다.

$(4, - 8)$

단계 6.7

타원에는 꼭짓점이 2개 있습니다.

${Vertex}_{1}$ : $(4, 2)$

${Vertex}_{2}$ : $(4, - 8)$

${Vertex}_{1}$ : $(4, 2)$

${Vertex}_{2}$ : $(4, - 8)$

단계 7

초점을 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

타원의 첫 번째 초점은 $k$ 에 $c$ 를 더해 구할 수 있습니다.

$(h, k + c)$

단계 7.2

알고 있는 값인 $h$ , $c$ , $k$ 를 공식에 대입합니다.

$(4, - 3 + 3)$

단계 7.3

간단히 합니다.

$(4, 0)$

단계 7.4

타원의 첫 번째 초점은 $k$ 에서 $c$ 를 빼서 구할 수 있습니다.

$(h, k - c)$

단계 7.5

알고 있는 값인 $h$ , $c$ , $k$ 를 공식에 대입합니다.

$(4, - 3 - (3))$

단계 7.6

간단히 합니다.

$(4, - 6)$

단계 7.7

타원에는 초점이 2개 있습니다.

${Focus}_{1}$ : $(4, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(4, - 6)$

${Focus}_{1}$ : $(4, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(4, - 6)$

단계 8

이심률을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

다음의 공식을 이용하여 이심률 값을 구합니다.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

단계 8.2

$a$ , $b$ 값을 공식에 대입합니다.

$\frac{\sqrt{{(5)}^{2} - {(4)}^{2}}}{5}$

단계 8.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1

$5$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{\sqrt{25 - 4^{2}}}{5}$

단계 8.3.2

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{\sqrt{25 - 1 \cdot 16}}{5}$

단계 8.3.3

$- 1$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$\frac{\sqrt{25 - 16}}{5}$

단계 8.3.4

$25$ 에서 $16$ 을 뺍니다.

$\frac{\sqrt{9}}{5}$

단계 8.3.5

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{\sqrt{3^{2}}}{5}$

단계 8.3.6

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\frac{3}{5}$

단계 9

이는 타원을 그리고 분석하는 데 사용되는 중요한 값들입니다.

중심: $(4, - 3)$

${Vertex}_{1}$ : $(4, 2)$

${Vertex}_{2}$ : $(4, - 8)$

${Focus}_{1}$ : $(4, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(4, - 6)$

이심률: $\frac{3}{5}$

단계 10