기초 대수 예제

$\frac{\frac{x^{2} - 25}{x^{2} - 16}}{\frac{2 x + 10}{x^{2} - 4 x \cdot \frac{2 x + 8}{x^{2} - 5 x}}}$

단계 1

식 $\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 32}{2 (x + 4) (x - 4)}$ 가 정의되지 않는 구간을 찾습니다.

$x = - 4, x = 4$

단계 2

왼쪽에서 $\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 32}{2 (x + 4) (x - 4)}$ $\to$ $- \infty$ 이(가) $x$ $\to$ $- 4$ 이고, 오른쪽에서 $\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 32}{2 (x + 4) (x - 4)}$ $\to$ $\infty$ 이(가) $x$ $\to$ $- 4$ 이므로 $x = - 4$ 는 수직점근선입니다.

$x = - 4$

단계 3

왼쪽에서 $\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 32}{2 (x + 4) (x - 4)}$ $\to$ $\infty$ 이(가) $x$ $\to$ $4$ 이고, 오른쪽에서 $\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 32}{2 (x + 4) (x - 4)}$ $\to$ $- \infty$ 이(가) $x$ $\to$ $4$ 이므로 $x = 4$ 는 수직점근선입니다.

$x = 4$

단계 4

모든 수직점근선을 나열하기:

$x = - 4, 4$

단계 5

분자의 차수가 $n$ , 분모의 차수가 $m$ 인 유리 함수 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ 를 사용합니다.

1. $n < m$ 이면 x축, $y = 0$ 이 수평점근선입니다.

2. $n = m$ 이면, 수평점근선은 $y = \frac{a}{b}$ 선입니다.

3. $n > m$ 이면, 수평점근선이 존재하지 않습니다(사선점근선이 존재합니다).

단계 6

$n$ 와 $m$ 값을 구합니다.

$n = 3$

$m = 2$

단계 7

$n > m$ 이므로, 수평점근선이 존재하지 않습니다.

수평점근선 없음

단계 8

다항식의 나눗셈을 이용하여 사선점근선을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1.1

$2 x^{2} - 32$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1.1.1

$2 x^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 32}{2 (x^{2}) - 32}$

단계 8.1.1.2

$- 32$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 32}{2 x^{2} + 2 \cdot - 16}$

단계 8.1.1.3

$2 x^{2} + 2 \cdot - 16$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 32}{2 (x^{2} - 16)}$

단계 8.1.2

$16$ 을 $4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 32}{2 (x^{2} - 4^{2})}$

단계 8.1.3

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 4$ 입니다.

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 32}{2 (x + 4) (x - 4)}$

단계 8.2

$2 (x + 4) (x - 4)$ 을 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 32}{(2 x + 2 \cdot 4) (x - 4)}$

단계 8.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 32}{2 x (x - 4) + 2 \cdot (4 (x - 4))}$

단계 8.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 32}{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 4 + 2 \cdot (4 (x - 4))}$

단계 8.2.4

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 32}{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 4 + 2 \cdot (4 x) + 2 \cdot 4 \cdot - 4}$

단계 8.2.5

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 32}{2 x \cdot x + 2 \cdot (- 4 x) + 2 \cdot (4 x) + 2 \cdot 4 \cdot - 4}$

단계 8.2.6

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 32}{2 (x \cdot x) + 2 \cdot (- 4 x) + 2 \cdot (4 x) + 2 \cdot 4 \cdot - 4}$

단계 8.2.7

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 32}{2 (x \cdot x) + 2 \cdot (- 4 x) + 2 \cdot (4 x) + 2 \cdot 4 \cdot - 4}$

단계 8.2.8

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 32}{2 x^{1 + 1} + 2 \cdot (- 4 x) + 2 \cdot (4 x) + 2 \cdot 4 \cdot - 4}$

단계 8.2.9

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 32}{2 x^{2} + 2 \cdot (- 4 x) + 2 \cdot (4 x) + 2 \cdot 4 \cdot - 4}$

단계 8.2.10

$2$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 32}{2 x^{2} - 8 x + 2 \cdot (4 x) + 2 \cdot 4 \cdot - 4}$

단계 8.2.11

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 32}{2 x^{2} - 8 x + 8 x + 2 \cdot 4 \cdot - 4}$

단계 8.2.12

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 32}{2 x^{2} - 8 x + 8 x + 8 \cdot - 4}$

단계 8.2.13

$8$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 32}{2 x^{2} - 8 x + 8 x - 32}$

단계 8.2.14

$- 8 x$ 를 $8 x$ 에 더합니다.

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 32}{2 x^{2} + 0 - 32}$

단계 8.2.15

$0$ 에서 $32$ 을 뺍니다.

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 32}{2 x^{2} - 32}$

단계 8.3

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$2 x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$8 x$

$32$

단계 8.4

피제수 $x^{3}$ 의 고차항을 제수 $2 x^{2}$ 의 고차항으로 나눕니다.

							$\frac{x}{2}$
	$2 x^{2}$	+	$0 x$	-	$32$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$8 x$	-	$32$

단계 8.5

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

						$\frac{x}{2}$
$2 x^{2}$	+	$0 x$	-	$32$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$8 x$	-	$32$
					+	$x^{3}$	+	$0$	-	$16 x$

단계 8.6

식을 피제수에서 빼야 하므로 $x^{3} + 0 - 16 x$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

						$\frac{x}{2}$
$2 x^{2}$	+	$0 x$	-	$32$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$8 x$	-	$32$
					-	$x^{3}$	-	$0$	+	$16 x$

단계 8.7

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

						$\frac{x}{2}$
$2 x^{2}$	+	$0 x$	-	$32$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$8 x$	-	$32$
					-	$x^{3}$	-	$0$	+	$16 x$
							-	$5 x^{2}$	+	$8 x$

단계 8.8

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

						$\frac{x}{2}$
$2 x^{2}$	+	$0 x$	-	$32$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$8 x$	-	$32$
					-	$x^{3}$	-	$0$	+	$16 x$
							-	$5 x^{2}$	+	$8 x$	-	$32$

단계 8.9

피제수 $- 5 x^{2}$ 의 고차항을 제수 $2 x^{2}$ 의 고차항으로 나눕니다.

						$\frac{x}{2}$	-	$\frac{5}{2}$
$2 x^{2}$	+	$0 x$	-	$32$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$8 x$	-	$32$
					-	$x^{3}$	-	$0$	+	$16 x$
							-	$5 x^{2}$	+	$8 x$	-	$32$

단계 8.10

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

						$\frac{x}{2}$	-	$\frac{5}{2}$
$2 x^{2}$	+	$0 x$	-	$32$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$8 x$	-	$32$
					-	$x^{3}$	-	$0$	+	$16 x$
							-	$5 x^{2}$	+	$8 x$	-	$32$
							-	$5 x^{2}$	+	$0$	+	$80$

단계 8.11

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 5 x^{2} + 0 + 80$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

						$\frac{x}{2}$	-	$\frac{5}{2}$
$2 x^{2}$	+	$0 x$	-	$32$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$8 x$	-	$32$
					-	$x^{3}$	-	$0$	+	$16 x$
							-	$5 x^{2}$	+	$8 x$	-	$32$
							+	$5 x^{2}$	-	$0$	-	$80$

단계 8.12

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

						$\frac{x}{2}$	-	$\frac{5}{2}$
$2 x^{2}$	+	$0 x$	-	$32$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$8 x$	-	$32$
					-	$x^{3}$	-	$0$	+	$16 x$
							-	$5 x^{2}$	+	$8 x$	-	$32$
							+	$5 x^{2}$	-	$0$	-	$80$
									+	$8 x$	-	$112$

단계 8.13

최종 답은 몫에 제수 분의 나머지를 더한 값입니다.

$\frac{x}{2} - \frac{5}{2} + \frac{8 x - 112}{2 x^{2} - 32}$

단계 8.14

사선점근선은 긴 나눗셈의 결과에서 다항식 부분입니다.

$y = \frac{x}{2} - \frac{5}{2}$

단계 9

모든 점근선의 집합입니다.

수직점근선: $x = - 4, 4$

수평점근선 없음

사선점근선: $y = \frac{x}{2} - \frac{5}{2}$

단계 10