기초 대수 예제

$\frac{3 x^{5} + 6 x^{4} + 54 x^{3} + 108 x^{2} - 525 x - 1050}{x^{2} + 25}$

단계 1

식 $\frac{3 (x^{5} + 2 x^{4} + 18 x^{3} + 36 x^{2} - 175 x - 350)}{x^{2} + 25}$ 가 정의되지 않는 구간을 찾습니다.

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 2

수직점근선은 무한 불연속인 영역에서 나타납니다.

수직점근선 없음

단계 3

분자의 차수가 $n$ , 분모의 차수가 $m$ 인 유리 함수 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ 를 사용합니다.

1. $n < m$ 이면 x축, $y = 0$ 이 수평점근선입니다.

2. $n = m$ 이면, 수평점근선은 $y = \frac{a}{b}$ 선입니다.

3. $n > m$ 이면, 수평점근선이 존재하지 않습니다(사선점근선이 존재합니다).

단계 4

$n$ 와 $m$ 값을 구합니다.

$n = 5$

$m = 2$

단계 5

$n > m$ 이므로, 수평점근선이 존재하지 않습니다.

수평점근선 없음

단계 6

다항식의 나눗셈을 이용하여 사선점근선을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$3 x^{5} + 6 x^{4} + 54 x^{3} + 108 x^{2} - 525 x - 1050$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1

$3 x^{5}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (x^{5}) + 6 x^{4} + 54 x^{3} + 108 x^{2} - 525 x - 1050}{x^{2} + 25}$

단계 6.1.2

$6 x^{4}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (x^{5}) + 3 (2 x^{4}) + 54 x^{3} + 108 x^{2} - 525 x - 1050}{x^{2} + 25}$

단계 6.1.3

$54 x^{3}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (x^{5}) + 3 (2 x^{4}) + 3 (18 x^{3}) + 108 x^{2} - 525 x - 1050}{x^{2} + 25}$

단계 6.1.4

$108 x^{2}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (x^{5}) + 3 (2 x^{4}) + 3 (18 x^{3}) + 3 (36 x^{2}) - 525 x - 1050}{x^{2} + 25}$

단계 6.1.5

$- 525 x$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (x^{5}) + 3 (2 x^{4}) + 3 (18 x^{3}) + 3 (36 x^{2}) + 3 (- 175 x) - 1050}{x^{2} + 25}$

단계 6.1.6

$- 1050$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 x^{5} + 3 (2 x^{4}) + 3 (18 x^{3}) + 3 (36 x^{2}) + 3 (- 175 x) + 3 \cdot - 350}{x^{2} + 25}$

단계 6.1.7

$3 x^{5} + 3 (2 x^{4})$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (x^{5} + 2 x^{4}) + 3 (18 x^{3}) + 3 (36 x^{2}) + 3 (- 175 x) + 3 \cdot - 350}{x^{2} + 25}$

단계 6.1.8

$3 (x^{5} + 2 x^{4}) + 3 (18 x^{3})$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (x^{5} + 2 x^{4} + 18 x^{3}) + 3 (36 x^{2}) + 3 (- 175 x) + 3 \cdot - 350}{x^{2} + 25}$

단계 6.1.9

$3 (x^{5} + 2 x^{4} + 18 x^{3}) + 3 (36 x^{2})$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (x^{5} + 2 x^{4} + 18 x^{3} + 36 x^{2}) + 3 (- 175 x) + 3 \cdot - 350}{x^{2} + 25}$

단계 6.1.10

$3 (x^{5} + 2 x^{4} + 18 x^{3} + 36 x^{2}) + 3 (- 175 x)$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (x^{5} + 2 x^{4} + 18 x^{3} + 36 x^{2} - 175 x) + 3 \cdot - 350}{x^{2} + 25}$

단계 6.1.11

$3 (x^{5} + 2 x^{4} + 18 x^{3} + 36 x^{2} - 175 x) + 3 \cdot - 350$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (x^{5} + 2 x^{4} + 18 x^{3} + 36 x^{2} - 175 x - 350)}{x^{2} + 25}$

단계 6.2

$3 (x^{5} + 2 x^{4} + 18 x^{3} + 36 x^{2} - 175 x - 350)$ 을 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 (x^{5} + 2 x^{4} + 18 x^{3} + 36 x^{2} - 175 x) + 3 \cdot - 350}{x^{2} + 25}$

단계 6.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 (x^{5} + 2 x^{4} + 18 x^{3} + 36 x^{2}) + 3 (- 175 x) + 3 \cdot - 350}{x^{2} + 25}$

단계 6.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 (x^{5} + 2 x^{4} + 18 x^{3}) + 3 (36 x^{2}) + 3 (- 175 x) + 3 \cdot - 350}{x^{2} + 25}$

단계 6.2.4

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 (x^{5} + 2 x^{4}) + 3 (18 x^{3}) + 3 (36 x^{2}) + 3 (- 175 x) + 3 \cdot - 350}{x^{2} + 25}$

단계 6.2.5

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 x^{5} + 3 (2 x^{4}) + 3 (18 x^{3}) + 3 (36 x^{2}) + 3 (- 175 x) + 3 \cdot - 350}{x^{2} + 25}$

단계 6.2.6

괄호를 제거합니다.

$\frac{3 x^{5} + 3 \cdot (2 x^{4}) + 3 (18 x^{3}) + 3 (36 x^{2}) + 3 (- 175 x) + 3 \cdot - 350}{x^{2} + 25}$

단계 6.2.7

괄호를 제거합니다.

$\frac{3 x^{5} + 3 \cdot (2 x^{4}) + 3 \cdot (18 x^{3}) + 3 (36 x^{2}) + 3 (- 175 x) + 3 \cdot - 350}{x^{2} + 25}$

단계 6.2.8

괄호를 제거합니다.

$\frac{3 x^{5} + 3 \cdot (2 x^{4}) + 3 \cdot (18 x^{3}) + 3 \cdot (36 x^{2}) + 3 (- 175 x) + 3 \cdot - 350}{x^{2} + 25}$

단계 6.2.9

괄호를 제거합니다.

$\frac{3 x^{5} + 3 \cdot (2 x^{4}) + 3 \cdot (18 x^{3}) + 3 \cdot (36 x^{2}) + 3 \cdot (- 175 x) + 3 \cdot - 350}{x^{2} + 25}$

단계 6.2.10

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x^{5} + 6 x^{4} + 3 \cdot (18 x^{3}) + 3 \cdot (36 x^{2}) + 3 \cdot (- 175 x) + 3 \cdot - 350}{x^{2} + 25}$

단계 6.2.11

$3$ 에 $18$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x^{5} + 6 x^{4} + 54 x^{3} + 3 \cdot (36 x^{2}) + 3 \cdot (- 175 x) + 3 \cdot - 350}{x^{2} + 25}$

단계 6.2.12

$3$ 에 $36$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x^{5} + 6 x^{4} + 54 x^{3} + 108 x^{2} + 3 \cdot (- 175 x) + 3 \cdot - 350}{x^{2} + 25}$

단계 6.2.13

$3$ 에 $- 175$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x^{5} + 6 x^{4} + 54 x^{3} + 108 x^{2} - 525 x + 3 \cdot - 350}{x^{2} + 25}$

단계 6.2.14

$3$ 에 $- 350$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x^{5} + 6 x^{4} + 54 x^{3} + 108 x^{2} - 525 x - 1050}{x^{2} + 25}$

단계 6.3

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$x^{2}$

$0 x$

$25$

$3 x^{5}$

$6 x^{4}$

$54 x^{3}$

$108 x^{2}$

$525 x$

$1050$

단계 6.4

피제수 $3 x^{5}$ 의 고차항을 제수 $x^{2}$ 의 고차항으로 나눕니다.

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$25$

$3 x^{5}$

$6 x^{4}$

$54 x^{3}$

$108 x^{2}$

$525 x$

$1050$

단계 6.5

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$25$

$3 x^{5}$

$6 x^{4}$

$54 x^{3}$

$108 x^{2}$

$525 x$

$1050$

$3 x^{5}$

$0$

$75 x^{3}$

단계 6.6

식을 피제수에서 빼야 하므로 $3 x^{5} + 0 + 75 x^{3}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$25$

$3 x^{5}$

$6 x^{4}$

$54 x^{3}$

$108 x^{2}$

$525 x$

$1050$

$3 x^{5}$

$0$

$75 x^{3}$

단계 6.7

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$25$

$3 x^{5}$

$6 x^{4}$

$54 x^{3}$

$108 x^{2}$

$525 x$

$1050$

$3 x^{5}$

$0$

$75 x^{3}$

$6 x^{4}$

$21 x^{3}$

단계 6.8

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$25$

$3 x^{5}$

$6 x^{4}$

$54 x^{3}$

$108 x^{2}$

$525 x$

$1050$

$3 x^{5}$

$0$

$75 x^{3}$

$6 x^{4}$

$21 x^{3}$

$108 x^{2}$

단계 6.9

피제수 $6 x^{4}$ 의 고차항을 제수 $x^{2}$ 의 고차항으로 나눕니다.

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$x^{2}$

$0 x$

$25$

$3 x^{5}$

$6 x^{4}$

$54 x^{3}$

$108 x^{2}$

$525 x$

$1050$

$3 x^{5}$

$0$

$75 x^{3}$

$6 x^{4}$

$21 x^{3}$

$108 x^{2}$

단계 6.10

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$x^{2}$

$0 x$

$25$

$3 x^{5}$

$6 x^{4}$

$54 x^{3}$

$108 x^{2}$

$525 x$

$1050$

$3 x^{5}$

$0$

$75 x^{3}$

$6 x^{4}$

$21 x^{3}$

$108 x^{2}$

$6 x^{4}$

$0$

$150 x^{2}$

단계 6.11

식을 피제수에서 빼야 하므로 $6 x^{4} + 0 + 150 x^{2}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$x^{2}$

$0 x$

$25$

$3 x^{5}$

$6 x^{4}$

$54 x^{3}$

$108 x^{2}$

$525 x$

$1050$

$3 x^{5}$

$0$

$75 x^{3}$

$6 x^{4}$

$21 x^{3}$

$108 x^{2}$

$6 x^{4}$

$0$

$150 x^{2}$

단계 6.12

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$x^{2}$

$0 x$

$25$

$3 x^{5}$

$6 x^{4}$

$54 x^{3}$

$108 x^{2}$

$525 x$

$1050$

$3 x^{5}$

$0$

$75 x^{3}$

$6 x^{4}$

$21 x^{3}$

$108 x^{2}$

$6 x^{4}$

$0$

$150 x^{2}$

$21 x^{3}$

$42 x^{2}$

단계 6.13

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$x^{2}$

$0 x$

$25$

$3 x^{5}$

$6 x^{4}$

$54 x^{3}$

$108 x^{2}$

$525 x$

$1050$

$3 x^{5}$

$0$

$75 x^{3}$

$6 x^{4}$

$21 x^{3}$

$108 x^{2}$

$6 x^{4}$

$0$

$150 x^{2}$

$21 x^{3}$

$42 x^{2}$

$525 x$

단계 6.14

피제수 $- 21 x^{3}$ 의 고차항을 제수 $x^{2}$ 의 고차항으로 나눕니다.

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$21 x$

$x^{2}$

$0 x$

$25$

$3 x^{5}$

$6 x^{4}$

$54 x^{3}$

$108 x^{2}$

$525 x$

$1050$

$3 x^{5}$

$0$

$75 x^{3}$

$6 x^{4}$

$21 x^{3}$

$108 x^{2}$

$6 x^{4}$

$0$

$150 x^{2}$

$21 x^{3}$

$42 x^{2}$

$525 x$

단계 6.15

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$21 x$

$x^{2}$

$0 x$

$25$

$3 x^{5}$

$6 x^{4}$

$54 x^{3}$

$108 x^{2}$

$525 x$

$1050$

$3 x^{5}$

$0$

$75 x^{3}$

$6 x^{4}$

$21 x^{3}$

$108 x^{2}$

$6 x^{4}$

$0$

$150 x^{2}$

$21 x^{3}$

$42 x^{2}$

$525 x$

$21 x^{3}$

$0$

$525 x$

단계 6.16

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 21 x^{3} + 0 - 525 x$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$21 x$

$x^{2}$

$0 x$

$25$

$3 x^{5}$

$6 x^{4}$

$54 x^{3}$

$108 x^{2}$

$525 x$

$1050$

$3 x^{5}$

$0$

$75 x^{3}$

$6 x^{4}$

$21 x^{3}$

$108 x^{2}$

$6 x^{4}$

$0$

$150 x^{2}$

$21 x^{3}$

$42 x^{2}$

$525 x$

$21 x^{3}$

$0$

$525 x$

단계 6.17

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$21 x$

$x^{2}$

$0 x$

$25$

$3 x^{5}$

$6 x^{4}$

$54 x^{3}$

$108 x^{2}$

$525 x$

$1050$

$3 x^{5}$

$0$

$75 x^{3}$

$6 x^{4}$

$21 x^{3}$

$108 x^{2}$

$6 x^{4}$

$0$

$150 x^{2}$

$21 x^{3}$

$42 x^{2}$

$525 x$

$21 x^{3}$

$0$

$525 x$

$42 x^{2}$

$0$

단계 6.18

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

						$3 x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$21 x$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$25$		$3 x^{5}$	+	$6 x^{4}$	+	$54 x^{3}$	+	$108 x^{2}$	-	$525 x$	-	$1050$
					-	$3 x^{5}$	-	$0$	-	$75 x^{3}$
							+	$6 x^{4}$	-	$21 x^{3}$	+	$108 x^{2}$
							-	$6 x^{4}$	-	$0$	-	$150 x^{2}$
									-	$21 x^{3}$	-	$42 x^{2}$	-	$525 x$
									+	$21 x^{3}$	-	$0$	+	$525 x$
											-	$42 x^{2}$	+	$0$	-	$1050$

단계 6.19

피제수 $- 42 x^{2}$ 의 고차항을 제수 $x^{2}$ 의 고차항으로 나눕니다.

						$3 x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$21 x$	-	$42$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$25$		$3 x^{5}$	+	$6 x^{4}$	+	$54 x^{3}$	+	$108 x^{2}$	-	$525 x$	-	$1050$
					-	$3 x^{5}$	-	$0$	-	$75 x^{3}$
							+	$6 x^{4}$	-	$21 x^{3}$	+	$108 x^{2}$
							-	$6 x^{4}$	-	$0$	-	$150 x^{2}$
									-	$21 x^{3}$	-	$42 x^{2}$	-	$525 x$
									+	$21 x^{3}$	-	$0$	+	$525 x$
											-	$42 x^{2}$	+	$0$	-	$1050$

단계 6.20

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

						$3 x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$21 x$	-	$42$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$25$		$3 x^{5}$	+	$6 x^{4}$	+	$54 x^{3}$	+	$108 x^{2}$	-	$525 x$	-	$1050$
					-	$3 x^{5}$	-	$0$	-	$75 x^{3}$
							+	$6 x^{4}$	-	$21 x^{3}$	+	$108 x^{2}$
							-	$6 x^{4}$	-	$0$	-	$150 x^{2}$
									-	$21 x^{3}$	-	$42 x^{2}$	-	$525 x$
									+	$21 x^{3}$	-	$0$	+	$525 x$
											-	$42 x^{2}$	+	$0$	-	$1050$
											-	$42 x^{2}$	+	$0$	-	$1050$

단계 6.21

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 42 x^{2} + 0 - 1050$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

						$3 x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$21 x$	-	$42$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$25$		$3 x^{5}$	+	$6 x^{4}$	+	$54 x^{3}$	+	$108 x^{2}$	-	$525 x$	-	$1050$
					-	$3 x^{5}$	-	$0$	-	$75 x^{3}$
							+	$6 x^{4}$	-	$21 x^{3}$	+	$108 x^{2}$
							-	$6 x^{4}$	-	$0$	-	$150 x^{2}$
									-	$21 x^{3}$	-	$42 x^{2}$	-	$525 x$
									+	$21 x^{3}$	-	$0$	+	$525 x$
											-	$42 x^{2}$	+	$0$	-	$1050$
											+	$42 x^{2}$	-	$0$	+	$1050$

단계 6.22

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

						$3 x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$21 x$	-	$42$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$25$		$3 x^{5}$	+	$6 x^{4}$	+	$54 x^{3}$	+	$108 x^{2}$	-	$525 x$	-	$1050$
					-	$3 x^{5}$	-	$0$	-	$75 x^{3}$
							+	$6 x^{4}$	-	$21 x^{3}$	+	$108 x^{2}$
							-	$6 x^{4}$	-	$0$	-	$150 x^{2}$
									-	$21 x^{3}$	-	$42 x^{2}$	-	$525 x$
									+	$21 x^{3}$	-	$0$	+	$525 x$
											-	$42 x^{2}$	+	$0$	-	$1050$
											+	$42 x^{2}$	-	$0$	+	$1050$
																$0$

단계 6.23

나머지가 $0$ 이므로, 몫이 최종해입니다.

$3 x^{3} + 6 x^{2} - 21 x - 42$

단계 6.24

사선점근선은 긴 나눗셈의 결과에서 다항식 부분입니다.

$y = 3 x^{3} + 6 x^{2} - 21 x$

단계 7

모든 점근선의 집합입니다.

수직점근선 없음

수평점근선 없음

사선점근선: $y = 3 x^{3} + 6 x^{2} - 21 x$

단계 8