기초 대수 예제

$(- 3, - 3)$ , $(3, - 1)$

단계 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

단계 2

Find the dot product.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = - 3 \cdot 3 - 3 \cdot - 1$

단계 2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

$- 3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$a⃗ \cdot b⃗ = - 9 - 3 \cdot - 1$

단계 2.2.1.2

$- 3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$a⃗ \cdot b⃗ = - 9 + 3$

단계 2.2.2

$- 9$ 를 $3$ 에 더합니다.

$a⃗ \cdot b⃗ = - 6$

단계 3

$a⃗$ 의 크기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{{(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{2}}$

단계 3.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$- 3$ 를 $2$ 승 합니다.

$| a⃗ | = \sqrt{9 + {(- 3)}^{2}}$

단계 3.2.2

$- 3$ 를 $2$ 승 합니다.

$| a⃗ | = \sqrt{9 + 9}$

단계 3.2.3

$9$ 를 $9$ 에 더합니다.

$| a⃗ | = \sqrt{18}$

단계 3.2.4

$18$ 을 $3^{2} \cdot 2$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.4.1

$18$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$| a⃗ | = \sqrt{9 (2)}$

단계 3.2.4.2

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$| a⃗ | = \sqrt{3^{2} \cdot 2}$

단계 3.2.5

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$| a⃗ | = 3 \sqrt{2}$

단계 4

$b⃗$ 의 크기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{3^{2} + {(- 1)}^{2}}$

단계 4.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$| b⃗ | = \sqrt{9 + {(- 1)}^{2}}$

단계 4.2.2

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$| b⃗ | = \sqrt{9 + 1}$

단계 4.2.3

$9$ 를 $1$ 에 더합니다.

$| b⃗ | = \sqrt{10}$

단계 5

공식에 값을 대입합니다.

$θ = \arccos (\frac{- 6}{3 \sqrt{2} \sqrt{10}})$

단계 6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$- 6$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1

$- 6$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot - 2}{3 \sqrt{2} \sqrt{10}})$

단계 6.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.2.1

$3 \sqrt{2} \sqrt{10}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot - 2}{3 (\sqrt{2} \sqrt{10})})$

단계 6.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot - 2}{3 (\sqrt{2} \sqrt{10})})$

단계 6.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$θ = \arccos (\frac{- 2}{\sqrt{2} \sqrt{10}})$

단계 6.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

근호의 곱의 미분 법칙을 사용하여 묶습니다.

$θ = \arccos (\frac{- 2}{\sqrt{2 \cdot 10}})$

단계 6.2.2

$2$ 에 $10$ 을 곱합니다.

$θ = \arccos (\frac{- 2}{\sqrt{20}})$

단계 6.3

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1

$20$ 을 $2^{2} \cdot 5$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1.1

$20$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$θ = \arccos (\frac{- 2}{\sqrt{4 (5)}})$

단계 6.3.1.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$θ = \arccos (\frac{- 2}{\sqrt{2^{2} \cdot 5}})$

단계 6.3.2

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$θ = \arccos (\frac{- 2}{2 \sqrt{5}})$

단계 6.4

$- 2$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.1

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot - 1}{2 \sqrt{5}})$

단계 6.4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.2.1

$2 \sqrt{5}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot - 1}{2 (\sqrt{5})})$

단계 6.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot - 1}{2 \sqrt{5}})$

단계 6.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$θ = \arccos (\frac{- 1}{\sqrt{5}})$

단계 6.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$θ = \arccos (- \frac{1}{\sqrt{5}})$

단계 6.6

$\frac{1}{\sqrt{5}}$ 에 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ 을 곱합니다.

$θ = \arccos (- (\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}))$

단계 6.7

분모를 결합하고 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.7.1

$\frac{1}{\sqrt{5}}$ 에 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ 을 곱합니다.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}})$

단계 6.7.2

$\sqrt{5}$ 를 $1$ 승 합니다.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}})$

단계 6.7.3

$\sqrt{5}$ 를 $1$ 승 합니다.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}})$

단계 6.7.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}})$

단계 6.7.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}})$

단계 6.7.6

${\sqrt{5}}^{2}$ 을 $5$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.7.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{5}$ 을(를) $5^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

단계 6.7.6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

단계 6.7.6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}})$

단계 6.7.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.7.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}})$

단계 6.7.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{5}}{5^{1}})$

단계 6.7.6.5

지수값을 계산합니다.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{5}}{5})$

단계 6.8

$\arccos (- \frac{\sqrt{5}}{5})$ 의 값을 구합니다.

$θ = 116.56505117$