기초 대수 예제

$(- 2, 3)$ , $(5, 3)$

단계 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

단계 2

Find the dot product.

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단계 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = - 2 \cdot 5 + 3 \cdot 3$

단계 2.2

간단히 합니다.

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단계 2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.2.1.1

$- 2$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$a⃗ \cdot b⃗ = - 10 + 3 \cdot 3$

단계 2.2.1.2

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$a⃗ \cdot b⃗ = - 10 + 9$

단계 2.2.2

$- 10$ 를 $9$ 에 더합니다.

$a⃗ \cdot b⃗ = - 1$

단계 3

$a⃗$ 의 크기를 구합니다.

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단계 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{{(- 2)}^{2} + 3^{2}}$

단계 3.2

간단히 합니다.

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단계 3.2.1

$- 2$ 를 $2$ 승 합니다.

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 3^{2}}$

단계 3.2.2

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 9}$

단계 3.2.3

$4$ 를 $9$ 에 더합니다.

$| a⃗ | = \sqrt{13}$

단계 4

$b⃗$ 의 크기를 구합니다.

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단계 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{5^{2} + 3^{2}}$

단계 4.2

간단히 합니다.

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단계 4.2.1

$5$ 를 $2$ 승 합니다.

$| b⃗ | = \sqrt{25 + 3^{2}}$

단계 4.2.2

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$| b⃗ | = \sqrt{25 + 9}$

단계 4.2.3

$25$ 를 $9$ 에 더합니다.

$| b⃗ | = \sqrt{34}$

단계 5

공식에 값을 대입합니다.

$θ = \arccos (\frac{- 1}{\sqrt{13} \sqrt{34}})$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

분모를 간단히 합니다.

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단계 6.1.1

근호의 곱의 미분 법칙을 사용하여 묶습니다.

$θ = \arccos (\frac{- 1}{\sqrt{13 \cdot 34}})$

단계 6.1.2

$13$ 에 $34$ 을 곱합니다.

$θ = \arccos (\frac{- 1}{\sqrt{442}})$

단계 6.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$θ = \arccos (- \frac{1}{\sqrt{442}})$

단계 6.3

$\frac{1}{\sqrt{442}}$ 에 $\frac{\sqrt{442}}{\sqrt{442}}$ 을 곱합니다.

$θ = \arccos (- (\frac{1}{\sqrt{442}} \cdot \frac{\sqrt{442}}{\sqrt{442}}))$

단계 6.4

분모를 결합하고 간단히 합니다.

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단계 6.4.1

$\frac{1}{\sqrt{442}}$ 에 $\frac{\sqrt{442}}{\sqrt{442}}$ 을 곱합니다.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{442}}{\sqrt{442} \sqrt{442}})$

단계 6.4.2

$\sqrt{442}$ 를 $1$ 승 합니다.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{442}}{{\sqrt{442}}^{1} \sqrt{442}})$

단계 6.4.3

$\sqrt{442}$ 를 $1$ 승 합니다.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{442}}{{\sqrt{442}}^{1} {\sqrt{442}}^{1}})$

단계 6.4.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{442}}{{\sqrt{442}}^{1 + 1}})$

단계 6.4.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{442}}{{\sqrt{442}}^{2}})$

단계 6.4.6

${\sqrt{442}}^{2}$ 을 $442$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 6.4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{442}$ 을(를) $442^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{442}}{{(442^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

단계 6.4.6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{442}}{442^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

단계 6.4.6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{442}}{442^{\frac{2}{2}}})$

단계 6.4.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.4.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{442}}{442^{\frac{2}{2}}})$

단계 6.4.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{442}}{442^{1}})$

단계 6.4.6.5

지수값을 계산합니다.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{442}}{442})$

단계 6.5

$\arccos (- \frac{\sqrt{442}}{442})$ 의 값을 구합니다.

$θ = 92.72631099$