기초 대수 예제

$\frac{100}{x^{2} - 25} + 1 = \frac{2 x}{x - 5}$

단계 1

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$\frac{100}{x^{2} - 25} = \frac{2 x}{x - 5} - 1$

단계 2

각 항을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$25$ 을 $5^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{100}{x^{2} - 5^{2}} = \frac{2 x}{x - 5} - 1$

단계 2.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 5$ 입니다.

$\frac{100}{(x + 5) (x - 5)} = \frac{2 x}{x - 5} - 1$

단계 3

방정식 항의 최소공분모를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

여러 값의 최소공분모를 구하는 것은 해당 값들의 분모의 최소공배수를 구하는 것과 같습니다.

$(x + 5) (x - 5), x - 5, 1$

단계 3.2

최소공배수는 주어진 모든 수로 나누어 떨어지는 가장 작은 양수입니다.

1. 각 수의 소인수를 나열합니다.

2. 각 인수가 해당 수에서 나타나는 횟수만큼 각 인수를 곱합니다.

단계 3.3

숫자 $1$ 은 자신을 약수로 가지지만 오직 한 개의 양의 약수를 가지므로 소수가 아닙니다.

소수가 아님

단계 3.4

$1, 1, 1$ 의 최소공배수는 각 수에 포함된 소인수의 최대 개수만큼 모든 소인수를 곱한 값입니다.

$1$

단계 3.5

$x + 5$ 의 인수는 $x + 5$ 자신입니다.

$(x + 5) = x + 5$

$(x + 5)$ 는 $1$ 번 나타납니다.

단계 3.6

$x - 5$ 의 인수는 $x - 5$ 자신입니다.

$(x - 5) = x - 5$

$(x - 5)$ 는 $1$ 번 나타납니다.

단계 3.7

$x + 5, x - 5, x - 5$ 의 최소공배수는 각 항에 포함된 인수의 최대 개수만큼 모든 인수를 곱한 결과입니다.

$(x + 5) (x - 5)$

단계 4

$\frac{100}{(x + 5) (x - 5)} = \frac{2 x}{x - 5} - 1$ 의 각 항에 $(x + 5) (x - 5)$ 을 곱하고 분수를 소거합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$\frac{100}{(x + 5) (x - 5)} = \frac{2 x}{x - 5} - 1$ 의 각 항에 $(x + 5) (x - 5)$ 을 곱합니다.

$\frac{100}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (x - 5)) = \frac{2 x}{x - 5} ((x + 5) (x - 5)) - ((x + 5) (x - 5))$

단계 4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$(x + 5) (x - 5)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{100}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (x - 5)) = \frac{2 x}{x - 5} ((x + 5) (x - 5)) - ((x + 5) (x - 5))$

단계 4.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$100 = \frac{2 x}{x - 5} ((x + 5) (x - 5)) - ((x + 5) (x - 5))$

단계 4.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1.1

$x - 5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1.1.1

$(x + 5) (x - 5)$ 에서 $x - 5$ 를 인수분해합니다.

$100 = \frac{2 x}{x - 5} ((x - 5) (x + 5)) - ((x + 5) (x - 5))$

단계 4.3.1.1.2

공약수로 약분합니다.

$100 = \frac{2 x}{x - 5} ((x - 5) (x + 5)) - ((x + 5) (x - 5))$

단계 4.3.1.1.3

수식을 다시 씁니다.

$100 = 2 x (x + 5) - ((x + 5) (x - 5))$

단계 4.3.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$100 = 2 x \cdot x + 2 x \cdot 5 - ((x + 5) (x - 5))$

단계 4.3.1.3

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1.3.1

$x$ 를 옮깁니다.

$100 = 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 5 - ((x + 5) (x - 5))$

단계 4.3.1.3.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$100 = 2 x^{2} + 2 x \cdot 5 - ((x + 5) (x - 5))$

단계 4.3.1.4

$5$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$100 = 2 x^{2} + 10 x - ((x + 5) (x - 5))$

단계 4.3.1.5

FOIL 계산법을 이용하여 $(x + 5) (x - 5)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$100 = 2 x^{2} + 10 x - (x (x - 5) + 5 (x - 5))$

단계 4.3.1.5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$100 = 2 x^{2} + 10 x - (x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 (x - 5))$

단계 4.3.1.5.3

분배 법칙을 적용합니다.

$100 = 2 x^{2} + 10 x - (x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 x + 5 \cdot - 5)$

단계 4.3.1.6

$x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 x + 5 \cdot - 5$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1.6.1

인수가 항 $x \cdot - 5$ 과(와) $5 x$ (으)로 표현되도록 다시 정렬합니다.

$100 = 2 x^{2} + 10 x - (x \cdot x - 5 x + 5 x + 5 \cdot - 5)$

단계 4.3.1.6.2

$- 5 x$ 를 $5 x$ 에 더합니다.

$100 = 2 x^{2} + 10 x - (x \cdot x + 0 + 5 \cdot - 5)$

단계 4.3.1.6.3

$x \cdot x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$100 = 2 x^{2} + 10 x - (x \cdot x + 5 \cdot - 5)$

단계 4.3.1.7

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1.7.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$100 = 2 x^{2} + 10 x - (x^{2} + 5 \cdot - 5)$

단계 4.3.1.7.2

$5$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$100 = 2 x^{2} + 10 x - (x^{2} - 25)$

단계 4.3.1.8

분배 법칙을 적용합니다.

$100 = 2 x^{2} + 10 x - x^{2} - - 25$

단계 4.3.1.9

$- 1$ 에 $- 25$ 을 곱합니다.

$100 = 2 x^{2} + 10 x - x^{2} + 25$

단계 4.3.2

$2 x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 을 뺍니다.

$100 = x^{2} + 10 x + 25$

단계 5

식을 풉니다.

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단계 5.1

$x^{2} + 10 x + 25 = 100$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$x^{2} + 10 x + 25 = 100$

단계 5.2

방정식의 양변에서 $100$ 를 뺍니다.

$x^{2} + 10 x + 25 - 100 = 0$

단계 5.3

$25$ 에서 $100$ 을 뺍니다.

$x^{2} + 10 x - 75 = 0$

단계 5.4

AC 방법을 이용하여 $x^{2} + 10 x - 75$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 75$ 이고 합은 $10$ 입니다.

$- 5, 15$

단계 5.4.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$(x - 5) (x + 15) = 0$

단계 5.5

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x - 5 = 0$

$x + 15 = 0$

단계 5.6

$x - 5$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.6.1

$x - 5$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 5 = 0$

단계 5.6.2

방정식의 양변에 $5$ 를 더합니다.

$x = 5$

단계 5.7

$x + 15$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.7.1

$x + 15$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 15 = 0$

단계 5.7.2

방정식의 양변에서 $15$ 를 뺍니다.

$x = - 15$

단계 5.8

$(x - 5) (x + 15) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 5, - 15$

단계 6

$\frac{100}{x^{2} - 25} + 1 = \frac{2 x}{x - 5}$ 이 참이 되지 않게 하는 해를 버립니다.

$x = - 15$