기초 대수 예제

$\frac{1}{x^{2} - 9 x + 20} - \frac{5}{x^{2} - 10 x + 25}$

단계 1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.1

AC 방법을 이용하여 $x^{2} - 9 x + 20$ 를 인수분해합니다.

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단계 1.1.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $20$ 이고 합은 $- 9$ 입니다.

$- 5, - 4$

단계 1.1.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$\frac{1}{(x - 5) (x - 4)} - \frac{5}{x^{2} - 10 x + 25}$

단계 1.2

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

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단계 1.2.1

$25$ 을 $5^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{(x - 5) (x - 4)} - \frac{5}{x^{2} - 10 x + 5^{2}}$

단계 1.2.2

중간 항이 첫 번째 항 및 세 번째 항에서 제곱되는 수를 곱한 값의 두 배인지 확인합니다.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

단계 1.2.3

다항식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{(x - 5) (x - 4)} - \frac{5}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}}$

단계 1.2.4

$a = x$ 이고 $b = 5$ 일 때 완전제곱 삼항식 법칙 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ 을 이용하여 인수분해합니다.

$\frac{1}{(x - 5) (x - 4)} - \frac{5}{{(x - 5)}^{2}}$

단계 2

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{1}{(x - 5) (x - 4)}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x - 5}{x - 5}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{(x - 5) (x - 4)} \cdot \frac{x - 5}{x - 5} - \frac{5}{{(x - 5)}^{2}}$

단계 3

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{5}{{(x - 5)}^{2}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x - 4}{x - 4}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{(x - 5) (x - 4)} \cdot \frac{x - 5}{x - 5} - \frac{5}{{(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{x - 4}{x - 4}$

단계 4

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $(x - 4) {(x - 5)}^{2}$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 4.1

$\frac{1}{(x - 5) (x - 4)}$ 에 $\frac{x - 5}{x - 5}$ 을 곱합니다.

$\frac{x - 5}{(x - 5) (x - 4) (x - 5)} - \frac{5}{{(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{x - 4}{x - 4}$

단계 4.2

$x - 5$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x - 5}{{(x - 5)}^{1} (x - 5) (x - 4)} - \frac{5}{{(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{x - 4}{x - 4}$

단계 4.3

$x - 5$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x - 5}{{(x - 5)}^{1} {(x - 5)}^{1} (x - 4)} - \frac{5}{{(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{x - 4}{x - 4}$

단계 4.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{x - 5}{{(x - 5)}^{1 + 1} (x - 4)} - \frac{5}{{(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{x - 4}{x - 4}$

단계 4.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{x - 5}{{(x - 5)}^{2} (x - 4)} - \frac{5}{{(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{x - 4}{x - 4}$

단계 4.6

$\frac{5}{{(x - 5)}^{2}}$ 에 $\frac{x - 4}{x - 4}$ 을 곱합니다.

$\frac{x - 5}{{(x - 5)}^{2} (x - 4)} - \frac{5 (x - 4)}{{(x - 5)}^{2} (x - 4)}$

단계 5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{x - 5 - 5 (x - 4)}{{(x - 5)}^{2} (x - 4)}$

단계 6

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x - 5 - 5 x - 5 \cdot - 4}{{(x - 5)}^{2} (x - 4)}$

단계 6.2

$- 5$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$\frac{x - 5 - 5 x + 20}{{(x - 5)}^{2} (x - 4)}$

단계 6.3

$x$ 에서 $5 x$ 을 뺍니다.

$\frac{- 4 x - 5 + 20}{{(x - 5)}^{2} (x - 4)}$

단계 6.4

$- 5$ 를 $20$ 에 더합니다.

$\frac{- 4 x + 15}{{(x - 5)}^{2} (x - 4)}$

단계 7

인수분해하여 식을 간단히 합니다.

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단계 7.1

$- 4 x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (4 x) + 15}{{(x - 5)}^{2} (x - 4)}$

단계 7.2

$15$ 을 $- 1 (- 15)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- (4 x) - 1 (- 15)}{{(x - 5)}^{2} (x - 4)}$

단계 7.3

$- (4 x) - 1 (- 15)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (4 x - 15)}{{(x - 5)}^{2} (x - 4)}$

단계 7.4

식을 간단히 합니다.

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단계 7.4.1

$- (4 x - 15)$ 을 $- 1 (4 x - 15)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (4 x - 15)}{{(x - 5)}^{2} (x - 4)}$

단계 7.4.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{4 x - 15}{{(x - 5)}^{2} (x - 4)}$