기초 대수 예제

$\frac{x^{2} - 2 x + 1}{x^{2} + 2 x - 24} > 0$

단계 1

모든 인수가 $0$ 이 되도록 인수식을 풀어서 수식의 부호가 음수에서 양수로 바뀌는 모든 값을 찾습니다.

$x^{2} - 2 x + 1 = 0$

$x^{2} + 2 x - 24 = 0$

단계 2

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x^{2} - 2 x + 1^{2} = 0$

단계 2.2

중간 항이 첫 번째 항 및 세 번째 항에서 제곱되는 수를 곱한 값의 두 배인지 확인합니다.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

단계 2.3

다항식을 다시 씁니다.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2} = 0$

단계 2.4

$a = x$ 이고 $b = 1$ 일 때 완전제곱 삼항식 법칙 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ 을 이용하여 인수분해합니다.

${(x - 1)}^{2} = 0$

단계 3

$x - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 1 = 0$

단계 4

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$x = 1$

단계 5

AC 방법을 이용하여 $x^{2} + 2 x - 24$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 24$ 이고 합은 $2$ 입니다.

$- 4, 6$

단계 5.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$(x - 4) (x + 6) = 0$

단계 6

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x - 4 = 0$

$x + 6 = 0$

단계 7

$x - 4$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$x - 4$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 4 = 0$

단계 7.2

방정식의 양변에 $4$ 를 더합니다.

$x = 4$

단계 8

$x + 6$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$x + 6$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 6 = 0$

단계 8.2

방정식의 양변에서 $6$ 를 뺍니다.

$x = - 6$

단계 9

$(x - 4) (x + 6) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 4, - 6$

단계 10

각 인수에 대해 식을 풀어 절댓값 식이 음에서 양으로 가는 값을 구합니다.

$x = 1$

$x = 4, - 6$

단계 11

해를 하나로 합합니다.

$x = 1, 4, - 6$

단계 12

$\frac{x^{2} - 2 x + 1}{x^{2} + 2 x - 24}$ 의 정의역을 구합니다.

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단계 12.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{x^{2} - 2 x + 1}{x^{2} + 2 x - 24}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$x^{2} + 2 x - 24 = 0$

단계 12.2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.1

AC 방법을 이용하여 $x^{2} + 2 x - 24$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 24$ 이고 합은 $2$ 입니다.

$- 4, 6$

단계 12.2.1.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$(x - 4) (x + 6) = 0$

단계 12.2.2

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x - 4 = 0$

$x + 6 = 0$

단계 12.2.3

$x - 4$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.3.1

$x - 4$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 4 = 0$

단계 12.2.3.2

방정식의 양변에 $4$ 를 더합니다.

$x = 4$

단계 12.2.4

$x + 6$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.4.1

$x + 6$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 6 = 0$

단계 12.2.4.2

방정식의 양변에서 $6$ 를 뺍니다.

$x = - 6$

단계 12.2.5

$(x - 4) (x + 6) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 4, - 6$

단계 12.3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, 4) \cup (4, \infty)$

단계 13

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < - 6$

$- 6 < x < 1$

$1 < x < 4$

$x > 4$

단계 14

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1

$x < - 6$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1.1

$x < - 6$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 8$

단계 14.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 8$ 로 치환합니다.

$\frac{{(- 8)}^{2} - 2 \cdot - 8 + 1}{{(- 8)}^{2} + 2 (- 8) - 24} > 0$

단계 14.1.3

좌변 $3.375$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 14.2

$- 6 < x < 1$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.2.1

$- 6 < x < 1$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 0$

단계 14.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $0$ 로 치환합니다.

$\frac{{(0)}^{2} - 2 \cdot 0 + 1}{{(0)}^{2} + 2 (0) - 24} > 0$

단계 14.2.3

좌변 $- 0.041\overline{6}$ 이 우변 $0$ 보다 크지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 14.3

$1 < x < 4$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.3.1

$1 < x < 4$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 2$

단계 14.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $2$ 로 치환합니다.

$\frac{{(2)}^{2} - 2 \cdot 2 + 1}{{(2)}^{2} + 2 (2) - 24} > 0$

단계 14.3.3

좌변 $- 0.0625$ 이 우변 $0$ 보다 크지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 14.4

$x > 4$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.4.1

$x > 4$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 6$

단계 14.4.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $6$ 로 치환합니다.

$\frac{{(6)}^{2} - 2 \cdot 6 + 1}{{(6)}^{2} + 2 (6) - 24} > 0$

단계 14.4.3

좌변 $1.041\overline{6}$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 14.5

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < - 6$ 참

$- 6 < x < 1$ 거짓

$1 < x < 4$ 거짓

$x > 4$ 참

$x < - 6$ 참

$- 6 < x < 1$ 거짓

$1 < x < 4$ 거짓

$x > 4$ 참

단계 15

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$x < - 6$ 또는 $x > 4$

단계 16

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

부등식 형식:

$x < - 6 or x > 4$

구간 표기:

$(- \infty, - 6) \cup (4, \infty)$

단계 17