기초 대수 예제

$\frac{x}{x^{2} - 1} + \frac{5 x}{x - x^{2}}$

단계 1

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{x}{x^{2} - 1}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x - x^{2}}{x - x^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{x}{x^{2} - 1} \cdot \frac{x - x^{2}}{x - x^{2}} + \frac{5 x}{x - x^{2}}$

단계 2

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{5 x}{x - x^{2}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 1}$ 을 곱합니다.

$\frac{x}{x^{2} - 1} \cdot \frac{x - x^{2}}{x - x^{2}} + \frac{5 x}{x - x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 1}$

단계 3

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $(x^{2} - 1) (x - x^{2})$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 3.1

$\frac{x}{x^{2} - 1}$ 에 $\frac{x - x^{2}}{x - x^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{x (x - x^{2})}{(x^{2} - 1) (x - x^{2})} + \frac{5 x}{x - x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 1}$

단계 3.2

$\frac{5 x}{x - x^{2}}$ 에 $\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 1}$ 을 곱합니다.

$\frac{x (x - x^{2})}{(x^{2} - 1) (x - x^{2})} + \frac{5 x (x^{2} - 1)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

단계 3.3

$(x^{2} - 1) (x - x^{2})$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{x (x - x^{2})}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)} + \frac{5 x (x^{2} - 1)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

단계 4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{x (x - x^{2}) + 5 x (x^{2} - 1)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

단계 5

인수분해된 형태로 $\frac{x (x - x^{2}) + 5 x (x^{2} - 1)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$ 를 다시 씁니다.

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단계 5.1

$x (x - x^{2}) + 5 x (x^{2} - 1)$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.1.1

$5 x (x^{2} - 1)$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (x - x^{2}) + x (5 (x^{2} - 1))}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

단계 5.1.2

$x (x - x^{2}) + x (5 (x^{2} - 1))$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (x - x^{2} + 5 (x^{2} - 1))}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

단계 5.2

$u = x$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $x$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$\frac{x (u + 4 u^{2} - 5)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

단계 5.3

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

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단계 5.3.1

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{x (4 u^{2} + u - 5)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

단계 5.3.2

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = 4 \cdot - 5 = - 20$ 이고 합이 $b = 1$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

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단계 5.3.2.1

$1$ 을 곱합니다.

$\frac{x (4 u^{2} + 1 u - 5)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

단계 5.3.2.2

$1$ 를 $- 4$ + $5$ 로 다시 씁니다.

$\frac{x (4 u^{2} + (- 4 + 5) u - 5)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

단계 5.3.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x (4 u^{2} - 4 u + 5 u - 5)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

단계 5.3.3

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

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단계 5.3.3.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$\frac{x ((4 u^{2} - 4 u) + 5 u - 5)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

단계 5.3.3.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$\frac{x (4 u (u - 1) + 5 (u - 1))}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

단계 5.3.4

최대공약수 $u - 1$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$\frac{x ((u - 1) (4 u + 5))}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

단계 5.4

인수분해합니다.

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단계 5.4.1

$u$ 를 모두 $x$ 로 바꿉니다.

$\frac{x ((x - 1) (4 x + 5))}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

단계 5.4.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

단계 5.5

$x - x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.5.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{(x^{1} - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

단계 5.5.2

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{(x \cdot 1 - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

단계 5.5.3

$- x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{(x \cdot 1 + x (- x)) (x^{2} - 1)}$

단계 5.5.4

$x \cdot 1 + x (- x)$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x \cdot (1 - x) (x^{2} - 1)}$

단계 5.5.5

$x$ 에 $1 - x$ 을 곱합니다.

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x (1 - x) (x^{2} - 1)}$

단계 5.6

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x (1 - x) (x^{2} - 1^{2})}$

단계 5.7

인수분해합니다.

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단계 5.7.1

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x (1 - x) ((x + 1) (x - 1))}$

단계 5.7.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x (1 - x) (x + 1) (x - 1)}$

단계 5.8

지수를 묶습니다.

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단계 5.8.1

$1$ 을 $- 1 (- 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x (- 1 (- 1) - x) (x + 1) (x - 1)}$

단계 5.8.2

$- x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x (- 1 (- 1) - (x)) (x + 1) (x - 1)}$

단계 5.8.3

$- 1 (- 1) - (x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x (- 1 (- 1 + x)) (x + 1) (x - 1)}$

단계 5.8.4

괄호를 제거합니다.

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x \cdot - 1 (- 1 + x) (x + 1) (x - 1)}$

단계 5.8.5

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x \cdot - 1 (x - 1) (x + 1) (x - 1)}$

단계 5.8.6

$x - 1$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x \cdot - 1 ({(x - 1)}^{1} (x - 1)) (x + 1)}$

단계 5.8.7

$x - 1$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x \cdot - 1 ({(x - 1)}^{1} {(x - 1)}^{1}) (x + 1)}$

단계 5.8.8

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x \cdot - 1 {(x - 1)}^{1 + 1} (x + 1)}$

단계 5.8.9

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x \cdot - 1 {(x - 1)}^{2} (x + 1)}$

단계 5.9

공약수를 소거하여 수식 $\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x \cdot - 1 {(x - 1)}^{2} (x + 1)}$ 을 간단히 정리합니다.

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단계 5.9.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x \cdot - 1 {(x - 1)}^{2} (x + 1)}$

단계 5.9.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{(x - 1) (4 x + 5)}{- 1 {(x - 1)}^{2} (x + 1)}$

단계 6

공약수를 소거하여 수식 $\frac{(x - 1) (4 x + 5)}{- 1 {(x - 1)}^{2} (x + 1)}$ 을 간단히 정리합니다.

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단계 6.1

$- 1 {(x - 1)}^{2} (x + 1)$ 에서 $x - 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(x - 1) (4 x + 5)}{(x - 1) (- 1 (x - 1) (x + 1))}$

단계 6.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{(x - 1) (4 x + 5)}{(x - 1) (- 1 (x - 1) (x + 1))}$

단계 6.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{4 x + 5}{- 1 (x - 1) (x + 1)}$