기초 대수 예제

$(2 x^{3} - 31 x + 35 - x^{2}) \div (2 x - 7)$

단계 1

나눗셈을 분수로 다시 씁니다.

$\frac{2 x^{3} - 31 x + 35 - x^{2}}{2 x - 7}$

단계 2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{2 x^{3} - x^{2} - 31 x + 35}{2 x - 7}$

단계 2.2

유리근 정리르 이용하여 $2 x^{3} - x^{2} - 31 x + 35$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 35, \pm 5, \pm 7$

$q = \pm 1, \pm 2$

단계 2.2.2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 35, \pm 17.5, \pm 5, \pm 2.5, \pm 7, \pm 3.5$

단계 2.2.3

$3.5$ 을 대입하고 식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $3.5$ 은 다항식의 근입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1

$3.5$ 을 다항식에 대입합니다.

$2 \cdot {3.5}^{3} - {3.5}^{2} - 31 \cdot 3.5 + 35$

단계 2.2.3.2

$3.5$ 를 $3$ 승 합니다.

$2 \cdot 42.875 - {3.5}^{2} - 31 \cdot 3.5 + 35$

단계 2.2.3.3

$2$ 에 $42.875$ 을 곱합니다.

$85.75 - {3.5}^{2} - 31 \cdot 3.5 + 35$

단계 2.2.3.4

$3.5$ 를 $2$ 승 합니다.

$85.75 - 1 \cdot 12.25 - 31 \cdot 3.5 + 35$

단계 2.2.3.5

$- 1$ 에 $12.25$ 을 곱합니다.

$85.75 - 12.25 - 31 \cdot 3.5 + 35$

단계 2.2.3.6

$85.75$ 에서 $12.25$ 을 뺍니다.

$73.5 - 31 \cdot 3.5 + 35$

단계 2.2.3.7

$- 31$ 에 $3.5$ 을 곱합니다.

$73.5 - 108.5 + 35$

단계 2.2.3.8

$73.5$ 에서 $108.5$ 을 뺍니다.

$- 35 + 35$

단계 2.2.3.9

$- 35$ 를 $35$ 에 더합니다.

$0$

단계 2.2.4

$3.5$ 는 알고 있는 해이므로 다항식을 $2 x - 7$ 으로 나누어 몫 다항식을 구합니다. 이 다항식은 나머지 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{2 x^{3} - x^{2} - 31 x + 35}{2 x - 7}$

단계 2.2.5

$2 x^{3} - x^{2} - 31 x + 35$ 을 $2 x - 7$ 로 나눕니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$2 x$

$7$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$31 x$

$35$

단계 2.2.5.2

피제수 $2 x^{3}$ 의 고차항을 제수 $2 x$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$x^{2}$
	$2 x$	-	$7$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$31 x$	+	$35$

단계 2.2.5.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$7$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$31 x$	+	$35$
			+	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$

단계 2.2.5.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $2 x^{3} - 7 x^{2}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$7$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$31 x$	+	$35$
			-	$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$

단계 2.2.5.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$7$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$31 x$	+	$35$
			-	$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$

단계 2.2.5.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$7$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$31 x$	+	$35$
			-	$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$31 x$

단계 2.2.5.7

피제수 $6 x^{2}$ 의 고차항을 제수 $2 x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	-	$7$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$31 x$	+	$35$
			-	$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$31 x$

단계 2.2.5.8

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	-	$7$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$31 x$	+	$35$
			-	$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$31 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$21 x$

단계 2.2.5.9

식을 피제수에서 빼야 하므로 $6 x^{2} - 21 x$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	-	$7$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$31 x$	+	$35$
			-	$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$31 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$21 x$

단계 2.2.5.10

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	-	$7$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$31 x$	+	$35$
			-	$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$31 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$21 x$
							-	$10 x$

단계 2.2.5.11

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	-	$7$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$31 x$	+	$35$
			-	$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$31 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$21 x$
							-	$10 x$	+	$35$

단계 2.2.5.12

피제수 $- 10 x$ 의 고차항을 제수 $2 x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$x^{2}$	+	$3 x$	-	$5$
$2 x$	-	$7$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$31 x$	+	$35$
			-	$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$31 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$21 x$
							-	$10 x$	+	$35$

단계 2.2.5.13

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$	+	$3 x$	-	$5$
$2 x$	-	$7$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$31 x$	+	$35$
			-	$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$31 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$21 x$
							-	$10 x$	+	$35$
							-	$10 x$	+	$35$

단계 2.2.5.14

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 10 x + 35$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$	+	$3 x$	-	$5$
$2 x$	-	$7$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$31 x$	+	$35$
			-	$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$31 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$21 x$
							-	$10 x$	+	$35$
							+	$10 x$	-	$35$

단계 2.2.5.15

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$	+	$3 x$	-	$5$
$2 x$	-	$7$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$31 x$	+	$35$
			-	$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$31 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$21 x$
							-	$10 x$	+	$35$
							+	$10 x$	-	$35$
										$0$

단계 2.2.5.16

나머지가 $0$ 이므로, 몫이 최종해입니다.

$x^{2} + 3 x - 5$

단계 2.2.6

$2 x^{3} - x^{2} - 31 x + 35$ 을 인수의 집합으로 표현합니다.

$\frac{(2 x - 7) (x^{2} + 3 x - 5)}{2 x - 7}$

단계 3

$2 x - 7$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{(2 x - 7) (x^{2} + 3 x - 5)}{2 x - 7}$

단계 3.2

$x^{2} + 3 x - 5$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{2} + 3 x - 5$