기초 대수 예제

$\frac{x + 6}{x^{2} - 4} + \frac{2}{x^{2} - 5 x + 6}$

단계 1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.1

분모를 간단히 합니다.

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단계 1.1.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{x + 6}{x^{2} - 2^{2}} + \frac{2}{x^{2} - 5 x + 6}$

단계 1.1.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 2$ 입니다.

$\frac{x + 6}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{2}{x^{2} - 5 x + 6}$

단계 1.2

AC 방법을 이용하여 $x^{2} - 5 x + 6$ 를 인수분해합니다.

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단계 1.2.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $6$ 이고 합은 $- 5$ 입니다.

$- 3, - 2$

단계 1.2.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$\frac{x + 6}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{2}{(x - 3) (x - 2)}$

단계 2

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{x + 6}{(x + 2) (x - 2)}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x - 3}{x - 3}$ 을 곱합니다.

$\frac{x + 6}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} + \frac{2}{(x - 3) (x - 2)}$

단계 3

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{2}{(x - 3) (x - 2)}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x + 2}{x + 2}$ 을 곱합니다.

$\frac{x + 6}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} + \frac{2}{(x - 3) (x - 2)} \cdot \frac{x + 2}{x + 2}$

단계 4

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $(x + 2) (x - 2) (x - 3)$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 4.1

$\frac{x + 6}{(x + 2) (x - 2)}$ 에 $\frac{x - 3}{x - 3}$ 을 곱합니다.

$\frac{(x + 6) (x - 3)}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)} + \frac{2}{(x - 3) (x - 2)} \cdot \frac{x + 2}{x + 2}$

단계 4.2

$\frac{2}{(x - 3) (x - 2)}$ 에 $\frac{x + 2}{x + 2}$ 을 곱합니다.

$\frac{(x + 6) (x - 3)}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)} + \frac{2 (x + 2)}{(x - 3) (x - 2) (x + 2)}$

단계 4.3

$(x - 3) (x - 2) (x + 2)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{(x + 6) (x - 3)}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)} + \frac{2 (x + 2)}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)}$

단계 5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{(x + 6) (x - 3) + 2 (x + 2)}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)}$

단계 6

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.1

FOIL 계산법을 이용하여 $(x + 6) (x - 3)$ 를 전개합니다.

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단계 6.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x (x - 3) + 6 (x - 3) + 2 (x + 2)}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)}$

단계 6.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 3 + 6 (x - 3) + 2 (x + 2)}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)}$

단계 6.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 3 + 6 x + 6 \cdot - 3 + 2 (x + 2)}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)}$

단계 6.2

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 6.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.2.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} + x \cdot - 3 + 6 x + 6 \cdot - 3 + 2 (x + 2)}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)}$

단계 6.2.1.2

$x$ 의 왼쪽으로 $- 3$ 이동하기

$\frac{x^{2} - 3 \cdot x + 6 x + 6 \cdot - 3 + 2 (x + 2)}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)}$

단계 6.2.1.3

$6$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} - 3 x + 6 x - 18 + 2 (x + 2)}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)}$

단계 6.2.2

$- 3 x$ 를 $6 x$ 에 더합니다.

$\frac{x^{2} + 3 x - 18 + 2 (x + 2)}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)}$

단계 6.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{2} + 3 x - 18 + 2 x + 2 \cdot 2}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)}$

단계 6.4

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} + 3 x - 18 + 2 x + 4}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)}$

단계 6.5

$3 x$ 를 $2 x$ 에 더합니다.

$\frac{x^{2} + 5 x - 18 + 4}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)}$

단계 6.6

$- 18$ 를 $4$ 에 더합니다.

$\frac{x^{2} + 5 x - 14}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)}$

단계 6.7

AC 방법을 이용하여 $x^{2} + 5 x - 14$ 를 인수분해합니다.

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단계 6.7.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 14$ 이고 합은 $5$ 입니다.

$- 2, 7$

단계 6.7.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$\frac{(x - 2) (x + 7)}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)}$

단계 7

$x - 2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{(x - 2) (x + 7)}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)}$

단계 7.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x + 7}{(x + 2) (x - 3)}$