기초 대수 예제

$\frac{x + 1}{x - 4} + \frac{x - 2}{x + 4} < \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{x^{2} - 16}$

단계 1

부등식의 양변에서 $\frac{- 2 x^{2} + x + 32}{x^{2} - 16}$ 를 뺍니다.

$\frac{x + 1}{x - 4} + \frac{x - 2}{x + 4} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{x^{2} - 16} < 0$

단계 2

$\frac{x + 1}{x - 4} + \frac{x - 2}{x + 4} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{x^{2} - 16}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

$16$ 을 $4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{x + 1}{x - 4} + \frac{x - 2}{x + 4} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{x^{2} - 4^{2}} < 0$

단계 2.1.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 4$ 입니다.

$\frac{x + 1}{x - 4} + \frac{x - 2}{x + 4} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

단계 2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{x + 1}{x - 4}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x + 4}{x + 4}$ 을 곱합니다.

$\frac{x + 1}{x - 4} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} + \frac{x - 2}{x + 4} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

단계 2.3

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{x - 2}{x + 4}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x - 4}{x - 4}$ 을 곱합니다.

$\frac{x + 1}{x - 4} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} + \frac{x - 2}{x + 4} \cdot \frac{x - 4}{x - 4} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

단계 2.4

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $(x - 4) (x + 4)$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$\frac{x + 1}{x - 4}$ 에 $\frac{x + 4}{x + 4}$ 을 곱합니다.

$\frac{(x + 1) (x + 4)}{(x - 4) (x + 4)} + \frac{x - 2}{x + 4} \cdot \frac{x - 4}{x - 4} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

단계 2.4.2

$\frac{x - 2}{x + 4}$ 에 $\frac{x - 4}{x - 4}$ 을 곱합니다.

$\frac{(x + 1) (x + 4)}{(x - 4) (x + 4)} + \frac{(x - 2) (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

단계 2.4.3

$(x - 4) (x + 4)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{(x + 1) (x + 4)}{(x + 4) (x - 4)} + \frac{(x - 2) (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

단계 2.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{(x + 1) (x + 4) + (x - 2) (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

단계 2.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{(x + 1) (x + 4) + (x - 2) (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

단계 2.7

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.7.1

FOIL 계산법을 이용하여 $(x + 1) (x + 4)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.7.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x (x + 4) + 1 (x + 4) + (x - 2) (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

단계 2.7.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 4 + 1 (x + 4) + (x - 2) (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

단계 2.7.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 4 + 1 x + 1 \cdot 4 + (x - 2) (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

단계 2.7.2

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.7.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.7.2.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} + x \cdot 4 + 1 x + 1 \cdot 4 + (x - 2) (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

단계 2.7.2.1.2

$x$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$\frac{x^{2} + 4 \cdot x + 1 x + 1 \cdot 4 + (x - 2) (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

단계 2.7.2.1.3

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} + 4 x + x + 1 \cdot 4 + (x - 2) (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

단계 2.7.2.1.4

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} + 4 x + x + 4 + (x - 2) (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

단계 2.7.2.2

$4 x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + (x - 2) (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

단계 2.7.3

FOIL 계산법을 이용하여 $(x - 2) (x - 4)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.7.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x (x - 4) - 2 (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

단계 2.7.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x \cdot x + x \cdot - 4 - 2 (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

단계 2.7.3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x \cdot x + x \cdot - 4 - 2 x - 2 \cdot - 4 - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

단계 2.7.4

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.7.4.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.7.4.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x^{2} + x \cdot - 4 - 2 x - 2 \cdot - 4 - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

단계 2.7.4.1.2

$x$ 의 왼쪽으로 $- 4$ 이동하기

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x^{2} - 4 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 4 - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

단계 2.7.4.1.3

$- 2$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x^{2} - 4 x - 2 x + 8 - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

단계 2.7.4.2

$- 4 x$ 에서 $2 x$ 을 뺍니다.

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x^{2} - 6 x + 8 - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

단계 2.7.5

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x^{2} - 6 x + 8 - (- 2 x^{2}) - x - 1 \cdot 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

단계 2.7.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.7.6.1

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x^{2} - 6 x + 8 + 2 x^{2} - x - 1 \cdot 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

단계 2.7.6.2

$- 1$ 에 $32$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x^{2} - 6 x + 8 + 2 x^{2} - x - 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

단계 2.8

$x^{2}$ 를 $x^{2}$ 에 더합니다.

$\frac{2 x^{2} + 5 x + 4 - 6 x + 8 + 2 x^{2} - x - 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

단계 2.9

$2 x^{2}$ 를 $2 x^{2}$ 에 더합니다.

$\frac{4 x^{2} + 5 x + 4 - 6 x + 8 - x - 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

단계 2.10

$5 x$ 에서 $6 x$ 을 뺍니다.

$\frac{4 x^{2} - x + 4 + 8 - x - 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

단계 2.11

$- x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$\frac{4 x^{2} - 2 x + 4 + 8 - 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

단계 2.12

$4$ 를 $8$ 에 더합니다.

$\frac{4 x^{2} - 2 x + 12 - 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

단계 2.13

$12$ 에서 $32$ 을 뺍니다.

$\frac{4 x^{2} - 2 x - 20}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

단계 2.14

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.14.1

$4 x^{2} - 2 x - 20$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.14.1.1

$4 x^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (2 x^{2}) - 2 x - 20}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

단계 2.14.1.2

$- 2 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (2 x^{2}) + 2 (- x) - 20}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

단계 2.14.1.3

$- 20$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (2 x^{2}) + 2 (- x) + 2 (- 10)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

단계 2.14.1.4

$2 (2 x^{2}) + 2 (- x)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (2 x^{2} - x) + 2 (- 10)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

단계 2.14.1.5

$2 (2 x^{2} - x) + 2 (- 10)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (2 x^{2} - x - 10)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

단계 2.14.2

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.14.2.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = 2 \cdot - 10 = - 20$ 이고 합이 $b = - 1$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.14.2.1.1

$- x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (2 x^{2} - (x) - 10)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

단계 2.14.2.1.2

$- 1$ 를 $4$ + $- 5$ 로 다시 씁니다.

$\frac{2 (2 x^{2} + (4 - 5) x - 10)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

단계 2.14.2.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 (2 x^{2} + 4 x - 5 x - 10)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

단계 2.14.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.14.2.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$\frac{2 ((2 x^{2} + 4 x) - 5 x - 10)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

단계 2.14.2.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$\frac{2 (2 x (x + 2) - 5 (x + 2))}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

단계 2.14.2.3

최대공약수 $x + 2$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$\frac{2 ((x + 2) (2 x - 5))}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

$\frac{2 (x + 2) (2 x - 5)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

단계 3

모든 인수가 $0$ 이 되도록 인수식을 풀어서 수식의 부호가 음수에서 양수로 바뀌는 모든 값을 찾습니다.

$x + 2 = 0$

$2 x - 5 = 0$

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

단계 4

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$x = - 2$

단계 5

방정식의 양변에 $5$ 를 더합니다.

$2 x = 5$

단계 6

$2 x = 5$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$2 x = 5$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

단계 6.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

단계 6.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{5}{2}$

단계 7

방정식의 양변에서 $4$ 를 뺍니다.

$x = - 4$

단계 8

방정식의 양변에 $4$ 를 더합니다.

$x = 4$

단계 9

각 인수에 대해 식을 풀어 절댓값 식이 음에서 양으로 가는 값을 구합니다.

$x = - 2$

$x = \frac{5}{2}$

$x = - 4$

$x = 4$

단계 10

해를 하나로 합합니다.

$x = - 2, \frac{5}{2}, - 4, 4$

단계 11

$\frac{2 (x + 2) (2 x - 5)}{(x + 4) (x - 4)}$ 의 정의역을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{2 (x + 2) (2 x - 5)}{(x + 4) (x - 4)}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$(x + 4) (x - 4) = 0$

단계 11.2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

단계 11.2.2

$x + 4$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.2.1

$x + 4$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 4 = 0$

단계 11.2.2.2

방정식의 양변에서 $4$ 를 뺍니다.

$x = - 4$

단계 11.2.3

$x - 4$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.3.1

$x - 4$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 4 = 0$

단계 11.2.3.2

방정식의 양변에 $4$ 를 더합니다.

$x = 4$

단계 11.2.4

$(x + 4) (x - 4) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = - 4, 4$

단계 11.3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 4) \cup (4, \infty)$

단계 12

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < - 4$

$- 4 < x < - 2$

$- 2 < x < \frac{5}{2}$

$\frac{5}{2} < x < 4$

$x > 4$

단계 13

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

$x < - 4$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1.1

$x < - 4$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 6$

단계 13.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 6$ 로 치환합니다.

$\frac{(- 6) + 1}{(- 6) - 4} + \frac{(- 6) - 2}{(- 6) + 4} < \frac{- 2 {(- 6)}^{2} - 6 + 32}{{(- 6)}^{2} - 16}$

단계 13.1.3

좌변 $4.5$ 이 우변 $- 2.3$ 보다 작지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 13.2

$- 4 < x < - 2$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.2.1

$- 4 < x < - 2$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 3$

단계 13.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 3$ 로 치환합니다.

$\frac{(- 3) + 1}{(- 3) - 4} + \frac{(- 3) - 2}{(- 3) + 4} < \frac{- 2 {(- 3)}^{2} - 3 + 32}{{(- 3)}^{2} - 16}$

단계 13.2.3

좌변 $- 4.\overline{714285}$ 이 우변 $- 1.\overline{571428}$ 보다 작으므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 13.3

$- 2 < x < \frac{5}{2}$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.3.1

$- 2 < x < \frac{5}{2}$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 0$

단계 13.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $0$ 로 치환합니다.

$\frac{(0) + 1}{(0) - 4} + \frac{(0) - 2}{(0) + 4} < \frac{- 2 {(0)}^{2} + 0 + 32}{{(0)}^{2} - 16}$

단계 13.3.3

좌변 $- 0.75$ 이 우변 $- 2$ 보다 작지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 13.4

$\frac{5}{2} < x < 4$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.4.1

$\frac{5}{2} < x < 4$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 3$

단계 13.4.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $3$ 로 치환합니다.

$\frac{(3) + 1}{(3) - 4} + \frac{(3) - 2}{(3) + 4} < \frac{- 2 {(3)}^{2} + 3 + 32}{{(3)}^{2} - 16}$

단계 13.4.3

좌변 $- 3.\overline{857142}$ 이 우변 $- 2.\overline{428571}$ 보다 작으므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 13.5

$x > 4$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.5.1

$x > 4$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 6$

단계 13.5.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $6$ 로 치환합니다.

$\frac{(6) + 1}{(6) - 4} + \frac{(6) - 2}{(6) + 4} < \frac{- 2 {(6)}^{2} + 6 + 32}{{(6)}^{2} - 16}$

단계 13.5.3

좌변 $3.9$ 이 우변 $- 1.7$ 보다 작지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 13.6

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < - 4$ 거짓

$- 4 < x < - 2$ 참

$- 2 < x < \frac{5}{2}$ 거짓

$\frac{5}{2} < x < 4$ 참

$x > 4$ 거짓

$x < - 4$ 거짓

$- 4 < x < - 2$ 참

$- 2 < x < \frac{5}{2}$ 거짓

$\frac{5}{2} < x < 4$ 참

$x > 4$ 거짓

단계 14

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$- 4 < x < - 2$ 또는 $\frac{5}{2} < x < 4$

단계 15

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

부등식 형식:

$- 4 < x < - 2 or \frac{5}{2} < x < 4$

구간 표기:

$(- 4, - 2) \cup (\frac{5}{2}, 4)$

단계 16