기초 대수 예제

Add: $\frac{x}{x^{2} + 7 x + 12} + \frac{4}{x^{2} - 16}$

단계 1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.1

AC 방법을 이용하여 $x^{2} + 7 x + 12$ 를 인수분해합니다.

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단계 1.1.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $12$ 이고 합은 $7$ 입니다.

$3, 4$

단계 1.1.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$\frac{x}{(x + 3) (x + 4)} + \frac{4}{x^{2} - 16}$

단계 1.2

분모를 간단히 합니다.

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단계 1.2.1

$16$ 을 $4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{x}{(x + 3) (x + 4)} + \frac{4}{x^{2} - 4^{2}}$

단계 1.2.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 4$ 입니다.

$\frac{x}{(x + 3) (x + 4)} + \frac{4}{(x + 4) (x - 4)}$

단계 2

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{x}{(x + 3) (x + 4)}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x - 4}{x - 4}$ 을 곱합니다.

$\frac{x}{(x + 3) (x + 4)} \cdot \frac{x - 4}{x - 4} + \frac{4}{(x + 4) (x - 4)}$

단계 3

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{4}{(x + 4) (x - 4)}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x + 3}{x + 3}$ 을 곱합니다.

$\frac{x}{(x + 3) (x + 4)} \cdot \frac{x - 4}{x - 4} + \frac{4}{(x + 4) (x - 4)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3}$

단계 4

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $(x + 3) (x + 4) (x - 4)$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 4.1

$\frac{x}{(x + 3) (x + 4)}$ 에 $\frac{x - 4}{x - 4}$ 을 곱합니다.

$\frac{x (x - 4)}{(x + 3) (x + 4) (x - 4)} + \frac{4}{(x + 4) (x - 4)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3}$

단계 4.2

$\frac{4}{(x + 4) (x - 4)}$ 에 $\frac{x + 3}{x + 3}$ 을 곱합니다.

$\frac{x (x - 4)}{(x + 3) (x + 4) (x - 4)} + \frac{4 (x + 3)}{(x + 4) (x - 4) (x + 3)}$

단계 4.3

$(x + 4) (x - 4) (x + 3)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{x (x - 4)}{(x + 3) (x + 4) (x - 4)} + \frac{4 (x + 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 4)}$

단계 5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{x (x - 4) + 4 (x + 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 4)}$

단계 6

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 (x + 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 4)}$

단계 6.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} + x \cdot - 4 + 4 (x + 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 4)}$

단계 6.3

$x$ 의 왼쪽으로 $- 4$ 이동하기

$\frac{x^{2} - 4 \cdot x + 4 (x + 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 4)}$

단계 6.4

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{2} - 4 x + 4 x + 4 \cdot 3}{(x + 3) (x + 4) (x - 4)}$

단계 6.5

$4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} - 4 x + 4 x + 12}{(x + 3) (x + 4) (x - 4)}$

단계 6.6

$- 4 x$ 를 $4 x$ 에 더합니다.

$\frac{x^{2} + 0 + 12}{(x + 3) (x + 4) (x - 4)}$

단계 6.7

$x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{x^{2} + 12}{(x + 3) (x + 4) (x - 4)}$