기초 대수 예제

$\frac{r}{r^{2} - 4} + \frac{1}{r^{2} - 6 r + 8}$

단계 1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.1

분모를 간단히 합니다.

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단계 1.1.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{r}{r^{2} - 2^{2}} + \frac{1}{r^{2} - 6 r + 8}$

단계 1.1.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = r$ 이고 $b = 2$ 입니다.

$\frac{r}{(r + 2) (r - 2)} + \frac{1}{r^{2} - 6 r + 8}$

단계 1.2

AC 방법을 이용하여 $r^{2} - 6 r + 8$ 를 인수분해합니다.

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단계 1.2.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $8$ 이고 합은 $- 6$ 입니다.

$- 4, - 2$

단계 1.2.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$\frac{r}{(r + 2) (r - 2)} + \frac{1}{(r - 4) (r - 2)}$

단계 2

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{r}{(r + 2) (r - 2)}$ 을 표현하기 위해 $\frac{r - 4}{r - 4}$ 을 곱합니다.

$\frac{r}{(r + 2) (r - 2)} \cdot \frac{r - 4}{r - 4} + \frac{1}{(r - 4) (r - 2)}$

단계 3

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{1}{(r - 4) (r - 2)}$ 을 표현하기 위해 $\frac{r + 2}{r + 2}$ 을 곱합니다.

$\frac{r}{(r + 2) (r - 2)} \cdot \frac{r - 4}{r - 4} + \frac{1}{(r - 4) (r - 2)} \cdot \frac{r + 2}{r + 2}$

단계 4

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $(r + 2) (r - 2) (r - 4)$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 4.1

$\frac{r}{(r + 2) (r - 2)}$ 에 $\frac{r - 4}{r - 4}$ 을 곱합니다.

$\frac{r (r - 4)}{(r + 2) (r - 2) (r - 4)} + \frac{1}{(r - 4) (r - 2)} \cdot \frac{r + 2}{r + 2}$

단계 4.2

$\frac{1}{(r - 4) (r - 2)}$ 에 $\frac{r + 2}{r + 2}$ 을 곱합니다.

$\frac{r (r - 4)}{(r + 2) (r - 2) (r - 4)} + \frac{r + 2}{(r - 4) (r - 2) (r + 2)}$

단계 4.3

$(r - 4) (r - 2) (r + 2)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{r (r - 4)}{(r + 2) (r - 2) (r - 4)} + \frac{r + 2}{(r + 2) (r - 2) (r - 4)}$

단계 5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{r (r - 4) + r + 2}{(r + 2) (r - 2) (r - 4)}$

단계 6

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{r \cdot r + r \cdot - 4 + r + 2}{(r + 2) (r - 2) (r - 4)}$

단계 6.2

$r$ 에 $r$ 을 곱합니다.

$\frac{r^{2} + r \cdot - 4 + r + 2}{(r + 2) (r - 2) (r - 4)}$

단계 6.3

$r$ 의 왼쪽으로 $- 4$ 이동하기

$\frac{r^{2} - 4 \cdot r + r + 2}{(r + 2) (r - 2) (r - 4)}$

단계 6.4

$- 4 r$ 를 $r$ 에 더합니다.

$\frac{r^{2} - 3 r + 2}{(r + 2) (r - 2) (r - 4)}$

단계 6.5

AC 방법을 이용하여 $r^{2} - 3 r + 2$ 를 인수분해합니다.

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단계 6.5.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $2$ 이고 합은 $- 3$ 입니다.

$- 2, - 1$

단계 6.5.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$\frac{(r - 2) (r - 1)}{(r + 2) (r - 2) (r - 4)}$

단계 7

$r - 2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{(r - 2) (r - 1)}{(r + 2) (r - 2) (r - 4)}$

단계 7.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{r - 1}{(r + 2) (r - 4)}$