기초 대수 예제

$\frac{- 3}{x^{2} - 2 x - 8} + \frac{x}{x^{2} - 16}$

단계 1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.1

AC 방법을 이용하여 $x^{2} - 2 x - 8$ 를 인수분해합니다.

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단계 1.1.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 8$ 이고 합은 $- 2$ 입니다.

$- 4, 2$

단계 1.1.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$\frac{- 3}{(x - 4) (x + 2)} + \frac{x}{x^{2} - 16}$

단계 1.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{3}{(x - 4) (x + 2)} + \frac{x}{x^{2} - 16}$

단계 1.3

분모를 간단히 합니다.

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단계 1.3.1

$16$ 을 $4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{3}{(x - 4) (x + 2)} + \frac{x}{x^{2} - 4^{2}}$

단계 1.3.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 4$ 입니다.

$- \frac{3}{(x - 4) (x + 2)} + \frac{x}{(x + 4) (x - 4)}$

단계 2

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{3}{(x - 4) (x + 2)}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x + 4}{x + 4}$ 을 곱합니다.

$- \frac{3}{(x - 4) (x + 2)} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} + \frac{x}{(x + 4) (x - 4)}$

단계 3

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{x}{(x + 4) (x - 4)}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x + 2}{x + 2}$ 을 곱합니다.

$- \frac{3}{(x - 4) (x + 2)} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} + \frac{x}{(x + 4) (x - 4)} \cdot \frac{x + 2}{x + 2}$

단계 4

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $(x - 4) (x + 2) (x + 4)$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 4.1

$\frac{3}{(x - 4) (x + 2)}$ 에 $\frac{x + 4}{x + 4}$ 을 곱합니다.

$- \frac{3 (x + 4)}{(x - 4) (x + 2) (x + 4)} + \frac{x}{(x + 4) (x - 4)} \cdot \frac{x + 2}{x + 2}$

단계 4.2

$\frac{x}{(x + 4) (x - 4)}$ 에 $\frac{x + 2}{x + 2}$ 을 곱합니다.

$- \frac{3 (x + 4)}{(x - 4) (x + 2) (x + 4)} + \frac{x (x + 2)}{(x + 4) (x - 4) (x + 2)}$

단계 4.3

$(x - 4) (x + 2) (x + 4)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$- \frac{3 (x + 4)}{(x + 2) (x + 4) (x - 4)} + \frac{x (x + 2)}{(x + 4) (x - 4) (x + 2)}$

단계 4.4

$(x + 4) (x - 4) (x + 2)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$- \frac{3 (x + 4)}{(x + 2) (x + 4) (x - 4)} + \frac{x (x + 2)}{(x + 2) (x + 4) (x - 4)}$

단계 5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- 3 (x + 4) + x (x + 2)}{(x + 2) (x + 4) (x - 4)}$

단계 6

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- 3 x - 3 \cdot 4 + x (x + 2)}{(x + 2) (x + 4) (x - 4)}$

단계 6.2

$- 3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{- 3 x - 12 + x (x + 2)}{(x + 2) (x + 4) (x - 4)}$

단계 6.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- 3 x - 12 + x \cdot x + x \cdot 2}{(x + 2) (x + 4) (x - 4)}$

단계 6.4

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{- 3 x - 12 + x^{2} + x \cdot 2}{(x + 2) (x + 4) (x - 4)}$

단계 6.5

$x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{- 3 x - 12 + x^{2} + 2 \cdot x}{(x + 2) (x + 4) (x - 4)}$

단계 6.6

$- 3 x$ 를 $2 x$ 에 더합니다.

$\frac{- x - 12 + x^{2}}{(x + 2) (x + 4) (x - 4)}$

단계 6.7

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{x^{2} - x - 12}{(x + 2) (x + 4) (x - 4)}$

단계 6.8

AC 방법을 이용하여 $x^{2} - x - 12$ 를 인수분해합니다.

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단계 6.8.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 12$ 이고 합은 $- 1$ 입니다.

$- 4, 3$

단계 6.8.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$\frac{(x - 4) (x + 3)}{(x + 2) (x + 4) (x - 4)}$

단계 7

$x - 4$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{(x - 4) (x + 3)}{(x + 2) (x + 4) (x - 4)}$

단계 7.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x + 3}{(x + 2) (x + 4)}$