선형 대수 예제

$[\begin{array}{c} 9 & 4 \\ 2 & 1 \end{array}] X = [\begin{array}{c} 0 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array}]$

단계 1

Find the inverse of $[\begin{array}{c} 9 & 4 \\ 2 & 1 \end{array}]$ .

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단계 1.1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

단계 1.2

Find the determinant.

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단계 1.2.1

$2 \times 2$ 행렬의 행렬식은 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 공식을 이용해 계산합니다.

$9 \cdot 1 - 2 \cdot 4$

단계 1.2.2

행렬식을 간단히 합니다.

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단계 1.2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.2.2.1.1

$9$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$9 - 2 \cdot 4$

단계 1.2.2.1.2

$- 2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$9 - 8$

단계 1.2.2.2

$9$ 에서 $8$ 을 뺍니다.

$1$

단계 1.3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

단계 1.4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{1} [\begin{array}{c} 1 & - 4 \\ - 2 & 9 \end{array}]$

단계 1.5

$1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$1 [\begin{array}{c} 1 & - 4 \\ - 2 & 9 \end{array}]$

단계 1.6

행렬의 각 원소에 $1$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 1 \cdot 1 & 1 \cdot - 4 \\ 1 \cdot - 2 & 1 \cdot 9 \end{array}]$

단계 1.7

행렬의 각 원소를 간단히 합니다.

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단계 1.7.1

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \cdot - 4 \\ 1 \cdot - 2 & 1 \cdot 9 \end{array}]$

단계 1.7.2

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 \\ 1 \cdot - 2 & 1 \cdot 9 \end{array}]$

단계 1.7.3

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 \\ - 2 & 1 \cdot 9 \end{array}]$

단계 1.7.4

$9$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 \\ - 2 & 9 \end{array}]$

단계 2

Multiply both sides by the inverse of $[\begin{array}{c} 9 & 4 \\ 2 & 1 \end{array}]$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 \\ - 2 & 9 \end{array}] [\begin{array}{c} 9 & 4 \\ 2 & 1 \end{array}] X = [\begin{array}{c} 1 & - 4 \\ - 2 & 9 \end{array}] [\begin{array}{c} 0 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array}]$

단계 3

방정식을 간단히 합니다.

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단계 3.1

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 \\ - 2 & 9 \end{array}] [\begin{array}{c} 9 & 4 \\ 2 & 1 \end{array}]$ 을 곱합니다.

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단계 3.1.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $2 \times 2$ and the second matrix is $2 \times 2$ .

단계 3.1.2

첫 번째 행렬의 각 행에 두 번째 행렬의 각 열을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 1 \cdot 9 - 4 \cdot 2 & 1 \cdot 4 - 4 \cdot 1 \\ - 2 \cdot 9 + 9 \cdot 2 & - 2 \cdot 4 + 9 \cdot 1 \end{array}] X = [\begin{array}{c} 1 & - 4 \\ - 2 & 9 \end{array}] [\begin{array}{c} 0 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array}]$

단계 3.1.3

모든 식을 전개하여 행렬의 각 원소를 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}] X = [\begin{array}{c} 1 & - 4 \\ - 2 & 9 \end{array}] [\begin{array}{c} 0 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array}]$

단계 3.2

Multiplying the identity matrix by any matrix $A$ is the matrix $A$ itself.

$X = [\begin{array}{c} 1 & - 4 \\ - 2 & 9 \end{array}] [\begin{array}{c} 0 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array}]$

단계 3.3

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 \\ - 2 & 9 \end{array}] [\begin{array}{c} 0 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array}]$ 을 곱합니다.

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단계 3.3.1

단계 3.3.2

첫 번째 행렬의 각 행에 두 번째 행렬의 각 열을 곱합니다.

$X = [\begin{array}{c} 1 \cdot 0 - 4 \cdot 3 & 1 \cdot - 1 - 4 \cdot 2 \\ - 2 \cdot 0 + 9 \cdot 3 & - 2 \cdot - 1 + 9 \cdot 2 \end{array}]$

단계 3.3.3

모든 식을 전개하여 행렬의 각 원소를 간단히 합니다.

$X = [\begin{array}{c} - 12 & - 9 \\ 27 & 20 \end{array}]$