선형 대수 예제

$2 x + y = - 5$ , $6 y + 32 z = - 46$ , $- 7 x - 2 y + 8 z = 6$

Step 1

연립방정식으로부터 $A X = B$ 를 구합니다.

$[\begin{array}{c} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 6 & 32 \\ - 7 & - 2 & 8 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - 5 \\ - 46 \\ 6 \end{array}]$

Step 2

계수행렬의 역행렬을 구합니다.

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동일한 크기의 두 개의 행렬로 나뉜 행렬을 만듭니다. 왼쪽에는 원래 행렬의 원소를 적습니다. 오른쪽에는 단위행렬의 원소를 적습니다. 역행렬을 구하기 위해 행연산을 사용하여 왼쪽을 단위행렬로 만듭니다. 연산이 완료되면 이중행렬의 오른쪽에 원래 행렬의 역행렬이 계산됩니다

$[\begin{array}{c} 2 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 32 & 0 & 1 & 0 \\ - 7 & - 2 & 8 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

0이 제자리에 배치되도록 $3$ 행과 $2$ 행을 바꿉니다.

$[\begin{array}{c} 2 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ - 7 & - 2 & 8 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 6 & 32 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

$R_{3} \leftrightarrow R$

행의 일부 원소를 $1$ 로 변환하기 위하여 $R_{1}$ (행 $1$ )에 행 연산 $R_{1} = \frac{1}{2} R_{1}$ 을 실행합니다.

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행의 일부 원소를 원하는 값인 $1$ 로 변환하기 위하여 $R_{1}$ (행 $1$ )을 행연산 $R_{1} = \frac{1}{2} R_{1}$ 로 바꿉니다.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} R_{1} & \frac{1}{2} R_{1} & \frac{1}{2} R_{1} & \frac{1}{2} R_{1} & \frac{1}{2} R_{1} & \frac{1}{2} R_{1} \\ - 7 & - 2 & 8 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 6 & 32 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

$R_{1} = \frac{1}{2} R_{1}$

행연산 $R_{1} = \frac{1}{2} R_{1}$ 에 대하여 $R_{1}$ (행 $1$ )에 원소의 실제값을 대입합니다.

$[\begin{array}{c} (\frac{1}{2}) \cdot (2) & (\frac{1}{2}) \cdot (1) & (\frac{1}{2}) \cdot (0) & (\frac{1}{2}) \cdot (1) & (\frac{1}{2}) \cdot (0) & (\frac{1}{2}) \cdot (0) \\ - 7 & - 2 & 8 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 6 & 32 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

$R_{1} = \frac{1}{2} R_{1}$

$R_{1}$ ( $1$ 행)을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ - 7 & - 2 & 8 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 6 & 32 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

행의 일부 원소를 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{2}$ (행 $2$ )에 행 연산 $R_{2} = 7 \cdot R_{1} + R_{2}$ 을 실행합니다.

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행의 일부 원소를 원하는 값인 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{2}$ (행 $2$ )을 행연산 $R_{2} = 7 \cdot R_{1} + R_{2}$ 로 바꿉니다.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 7 \cdot R_{1} + R_{2} & 7 \cdot R_{1} + R_{2} & 7 \cdot R_{1} + R_{2} & 7 \cdot R_{1} + R_{2} & 7 \cdot R_{1} + R_{2} & 7 \cdot R_{1} + R_{2} \\ 0 & 6 & 32 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

$R_{2} = 7 \cdot R_{1} + R_{2}$

행연산 $R_{2} = 7 \cdot R_{1} + R_{2}$ 에 대하여 $R_{2}$ (행 $2$ )에 원소의 실제값을 대입합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ (7) \cdot (1) - 7 & (7) \cdot (\frac{1}{2}) - 2 & (7) \cdot (0) + 8 & (7) \cdot (\frac{1}{2}) + 0 & (7) \cdot (0) + 0 & (7) \cdot (0) + 1 \\ 0 & 6 & 32 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

$R_{2} = 7 \cdot R_{1} + R_{2}$

$R_{2}$ ( $2$ 행)을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3}{2} & 8 & \frac{7}{2} & 0 & 1 \\ 0 & 6 & 32 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

행의 일부 원소를 $1$ 로 변환하기 위하여 $R_{2}$ (행 $2$ )에 행 연산 $R_{2} = \frac{2}{3} R_{2}$ 을 실행합니다.

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행의 일부 원소를 원하는 값인 $1$ 로 변환하기 위하여 $R_{2}$ (행 $2$ )을 행연산 $R_{2} = \frac{2}{3} R_{2}$ 로 바꿉니다.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ \frac{2}{3} R_{2} & \frac{2}{3} R_{2} & \frac{2}{3} R_{2} & \frac{2}{3} R_{2} & \frac{2}{3} R_{2} & \frac{2}{3} R_{2} \\ 0 & 6 & 32 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

$R_{2} = \frac{2}{3} R_{2}$

행연산 $R_{2} = \frac{2}{3} R_{2}$ 에 대하여 $R_{2}$ (행 $2$ )에 원소의 실제값을 대입합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ (\frac{2}{3}) \cdot (0) & (\frac{2}{3}) \cdot (\frac{3}{2}) & (\frac{2}{3}) \cdot (8) & (\frac{2}{3}) \cdot (\frac{7}{2}) & (\frac{2}{3}) \cdot (0) & (\frac{2}{3}) \cdot (1) \\ 0 & 6 & 32 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

$R_{2} = \frac{2}{3} R_{2}$

$R_{2}$ ( $2$ 행)을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{16}{3} & \frac{7}{3} & 0 & \frac{2}{3} \\ 0 & 6 & 32 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

행의 일부 원소를 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{1}$ (행 $1$ )에 행 연산 $R_{1} = - \frac{1}{2} R_{2} + R_{1}$ 을 실행합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

행의 일부 원소를 원하는 값인 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{1}$ (행 $1$ )을 행연산 $R_{1} = - \frac{1}{2} R_{2} + R_{1}$ 로 바꿉니다.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} R_{2} + R_{1} & - \frac{1}{2} R_{2} + R_{1} & - \frac{1}{2} R_{2} + R_{1} & - \frac{1}{2} R_{2} + R_{1} & - \frac{1}{2} R_{2} + R_{1} & - \frac{1}{2} R_{2} + R_{1} \\ 0 & 1 & \frac{16}{3} & \frac{7}{3} & 0 & \frac{2}{3} \\ 0 & 6 & 32 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

$R_{1} = - \frac{1}{2} R_{2} + R_{1}$

행연산 $R_{1} = - \frac{1}{2} R_{2} + R_{1}$ 에 대하여 $R_{1}$ (행 $1$ )에 원소의 실제값을 대입합니다.

$[\begin{array}{c} (- \frac{1}{2}) \cdot (0) + 1 & (- \frac{1}{2}) \cdot (1) + \frac{1}{2} & (- \frac{1}{2}) \cdot (\frac{16}{3}) + 0 & (- \frac{1}{2}) \cdot (\frac{7}{3}) + \frac{1}{2} & (- \frac{1}{2}) \cdot (0) + 0 & (- \frac{1}{2}) \cdot (\frac{2}{3}) + 0 \\ 0 & 1 & \frac{16}{3} & \frac{7}{3} & 0 & \frac{2}{3} \\ 0 & 6 & 32 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

$R_{1} = - \frac{1}{2} R_{2} + R_{1}$

$R_{1}$ ( $1$ 행)을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{8}{3} & - \frac{2}{3} & 0 & - \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & \frac{16}{3} & \frac{7}{3} & 0 & \frac{2}{3} \\ 0 & 6 & 32 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

행의 일부 원소를 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{3}$ (행 $3$ )에 행 연산 $R_{3} = - 6 \cdot R_{2} + R_{3}$ 을 실행합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

행의 일부 원소를 원하는 값인 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{3}$ (행 $3$ )을 행연산 $R_{3} = - 6 \cdot R_{2} + R_{3}$ 로 바꿉니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{8}{3} & - \frac{2}{3} & 0 & - \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & \frac{16}{3} & \frac{7}{3} & 0 & \frac{2}{3} \\ - 6 \cdot R_{2} + R_{3} & - 6 \cdot R_{2} + R_{3} & - 6 \cdot R_{2} + R_{3} & - 6 \cdot R_{2} + R_{3} & - 6 \cdot R_{2} + R_{3} & - 6 \cdot R_{2} + R_{3} \end{array}]$

$R_{3} = - 6 \cdot R_{2} + R_{3}$

행연산 $R_{3} = - 6 \cdot R_{2} + R_{3}$ 에 대하여 $R_{3}$ (행 $3$ )에 원소의 실제값을 대입합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{8}{3} & - \frac{2}{3} & 0 & - \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & \frac{16}{3} & \frac{7}{3} & 0 & \frac{2}{3} \\ (- 6) \cdot (0) + 0 & (- 6) \cdot (1) + 6 & (- 6) \cdot (\frac{16}{3}) + 32 & (- 6) \cdot (\frac{7}{3}) + 0 & (- 6) \cdot (0) + 1 & (- 6) \cdot (\frac{2}{3}) + 0 \end{array}]$

$R_{3} = - 6 \cdot R_{2} + R_{3}$

$R_{3}$ ( $3$ 행)을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{8}{3} & - \frac{2}{3} & 0 & - \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & \frac{16}{3} & \frac{7}{3} & 0 & \frac{2}{3} \\ 0 & 0 & 0 & - 14 & 1 & - 4 \end{array}]$

행의 일부 원소를 $1$ 로 변환하기 위하여 $R_{3}$ (행 $3$ )에 행 연산 $R_{3} = - \frac{1}{14} R_{3}$ 을 실행합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

행의 일부 원소를 원하는 값인 $1$ 로 변환하기 위하여 $R_{3}$ (행 $3$ )을 행연산 $R_{3} = - \frac{1}{14} R_{3}$ 로 바꿉니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{8}{3} & - \frac{2}{3} & 0 & - \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & \frac{16}{3} & \frac{7}{3} & 0 & \frac{2}{3} \\ - \frac{1}{14} R_{3} & - \frac{1}{14} R_{3} & - \frac{1}{14} R_{3} & - \frac{1}{14} R_{3} & - \frac{1}{14} R_{3} & - \frac{1}{14} R_{3} \end{array}]$

$R_{3} = - \frac{1}{14} R_{3}$

행연산 $R_{3} = - \frac{1}{14} R_{3}$ 에 대하여 $R_{3}$ (행 $3$ )에 원소의 실제값을 대입합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{8}{3} & - \frac{2}{3} & 0 & - \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & \frac{16}{3} & \frac{7}{3} & 0 & \frac{2}{3} \\ (- \frac{1}{14}) \cdot (0) & (- \frac{1}{14}) \cdot (0) & (- \frac{1}{14}) \cdot (0) & (- \frac{1}{14}) \cdot (- 14) & (- \frac{1}{14}) \cdot (1) & (- \frac{1}{14}) \cdot (- 4) \end{array}]$

$R_{3} = - \frac{1}{14} R_{3}$

$R_{3}$ ( $3$ 행)을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{8}{3} & - \frac{2}{3} & 0 & - \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & \frac{16}{3} & \frac{7}{3} & 0 & \frac{2}{3} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - \frac{1}{14} & \frac{2}{7} \end{array}]$

행의 일부 원소를 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{1}$ (행 $1$ )에 행 연산 $R_{1} = \frac{2}{3} R_{3} + R_{1}$ 을 실행합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

행의 일부 원소를 원하는 값인 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{1}$ (행 $1$ )을 행연산 $R_{1} = \frac{2}{3} R_{3} + R_{1}$ 로 바꿉니다.

$[\begin{array}{c} \frac{2}{3} R_{3} + R_{1} & \frac{2}{3} R_{3} + R_{1} & \frac{2}{3} R_{3} + R_{1} & \frac{2}{3} R_{3} + R_{1} & \frac{2}{3} R_{3} + R_{1} & \frac{2}{3} R_{3} + R_{1} \\ 0 & 1 & \frac{16}{3} & \frac{7}{3} & 0 & \frac{2}{3} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - \frac{1}{14} & \frac{2}{7} \end{array}]$

$R_{1} = \frac{2}{3} R_{3} + R_{1}$

행연산 $R_{1} = \frac{2}{3} R_{3} + R_{1}$ 에 대하여 $R_{1}$ (행 $1$ )에 원소의 실제값을 대입합니다.

$[\begin{array}{c} (\frac{2}{3}) \cdot (0) + 1 & (\frac{2}{3}) \cdot (0) + 0 & (\frac{2}{3}) \cdot (0) - \frac{8}{3} & (\frac{2}{3}) \cdot (1) - \frac{2}{3} & (\frac{2}{3}) \cdot (- \frac{1}{14}) + 0 & (\frac{2}{3}) \cdot (\frac{2}{7}) - \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & \frac{16}{3} & \frac{7}{3} & 0 & \frac{2}{3} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - \frac{1}{14} & \frac{2}{7} \end{array}]$

$R_{1} = \frac{2}{3} R_{3} + R_{1}$

$R_{1}$ ( $1$ 행)을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{8}{3} & 0 & - \frac{1}{21} & - \frac{1}{7} \\ 0 & 1 & \frac{16}{3} & \frac{7}{3} & 0 & \frac{2}{3} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - \frac{1}{14} & \frac{2}{7} \end{array}]$

행의 일부 원소를 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{2}$ (행 $2$ )에 행 연산 $R_{2} = - \frac{7}{3} R_{3} + R_{2}$ 을 실행합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

행의 일부 원소를 원하는 값인 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{2}$ (행 $2$ )을 행연산 $R_{2} = - \frac{7}{3} R_{3} + R_{2}$ 로 바꿉니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{8}{3} & 0 & - \frac{1}{21} & - \frac{1}{7} \\ - \frac{7}{3} R_{3} + R_{2} & - \frac{7}{3} R_{3} + R_{2} & - \frac{7}{3} R_{3} + R_{2} & - \frac{7}{3} R_{3} + R_{2} & - \frac{7}{3} R_{3} + R_{2} & - \frac{7}{3} R_{3} + R_{2} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - \frac{1}{14} & \frac{2}{7} \end{array}]$

$R_{2} = - \frac{7}{3} R_{3} + R_{2}$

행연산 $R_{2} = - \frac{7}{3} R_{3} + R_{2}$ 에 대하여 $R_{2}$ (행 $2$ )에 원소의 실제값을 대입합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{8}{3} & 0 & - \frac{1}{21} & - \frac{1}{7} \\ (- \frac{7}{3}) \cdot (0) + 0 & (- \frac{7}{3}) \cdot (0) + 1 & (- \frac{7}{3}) \cdot (0) + \frac{16}{3} & (- \frac{7}{3}) \cdot (1) + \frac{7}{3} & (- \frac{7}{3}) \cdot (- \frac{1}{14}) + 0 & (- \frac{7}{3}) \cdot (\frac{2}{7}) + \frac{2}{3} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - \frac{1}{14} & \frac{2}{7} \end{array}]$

$R_{2} = - \frac{7}{3} R_{3} + R_{2}$

$R_{2}$ ( $2$ 행)을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{8}{3} & 0 & - \frac{1}{21} & - \frac{1}{7} \\ 0 & 1 & \frac{16}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - \frac{1}{14} & \frac{2}{7} \end{array}]$

행렬의 행렬식이 0이므로 역행렬이 존재하지 않습니다.

역이 존재하지 않음

Step 3

이 행렬은 역이 존재하지 않으므로 역행렬을 이용해 풀 수 없습니다.

해 없음