선형 대수 예제

2 x - 3 y + 4 z = 4

$2 x - 3 y + 4 z = 4$ ,

- 4 x + y - 3 z = 3

$- 4 x + y - 3 z = 3$ ,

2 x + 2 y - z = 1

$2 x + 2 y - z = 1$

Step 1

연립방정식으로부터

A X = B

$A X = B$ 를 구합니다.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 & - 3 & 4 - 4 & 1 & - 3 2 & 2 & - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ \cdot ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} x y z \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 431 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 2 & - 3 & 4 \\ - 4 & 1 & - 3 \\ 2 & 2 & - 1 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ 1 \end{array}]$

Step 2

계수행렬의 역행렬을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

동일한 크기의 두 개의 행렬로 나뉜 행렬을 만듭니다. 왼쪽에는 원래 행렬의 원소를 적습니다. 오른쪽에는 단위행렬의 원소를 적습니다. 역행렬을 구하기 위해 행연산을 사용하여 왼쪽을 단위행렬로 만듭니다. 연산이 완료되면 이중행렬의 오른쪽에 원래 행렬의 역행렬이 계산됩니다

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 & - 3 & 4 & 1 & 0 & 0 - 4 & 1 & - 3 & 0 & 1 & 0 2 & 2 & - 1 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 2 & - 3 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ - 4 & 1 & - 3 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 2 & - 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

행의 일부 원소를

1

$1$ 로 변환하기 위하여

R_{1}

$R_{1}$ (행

1

$1$ )에 행 연산

R_{1} = \frac{1}{2} R_{1}

$R_{1} = \frac{1}{2} R_{1}$ 을 실행합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

행의 일부 원소를 원하는 값인

1

$1$ 로 변환하기 위하여

R_{1}

$R_{1}$ (행

1

$1$ )을 행연산

R_{1} = \frac{1}{2} R_{1}

$R_{1} = \frac{1}{2} R_{1}$ 로 바꿉니다.

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} \frac{1}{2} R_{1} & \frac{1}{2} R_{1} & \frac{1}{2} R_{1} & \frac{1}{2} R_{1} & \frac{1}{2} R_{1} & \frac{1}{2} R_{1} - 4 & 1 & - 3 & 0 & 1 & 0 2 & 2 & - 1 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} R_{1} & \frac{1}{2} R_{1} & \frac{1}{2} R_{1} & \frac{1}{2} R_{1} & \frac{1}{2} R_{1} & \frac{1}{2} R_{1} \\ - 4 & 1 & - 3 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 2 & - 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{1} = \frac{1}{2} R_{1}$

행연산

$R_{1} = \frac{1}{2} R_{1}$ 에 대하여

$R_{1}$ (행

$1$ )에 원소의 실제값을 대입합니다.

$[\begin{array}{c} (\frac{1}{2}) \cdot (2) & (\frac{1}{2}) \cdot (- 3) & (\frac{1}{2}) \cdot (4) & (\frac{1}{2}) \cdot (1) & (\frac{1}{2}) \cdot (0) & (\frac{1}{2}) \cdot (0) \\ - 4 & 1 & - 3 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 2 & - 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{1} = \frac{1}{2} R_{1}$

$R_{1}$ (

$1$ 행)을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & 2 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ - 4 & 1 & - 3 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 2 & - 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

행의 일부 원소를

$0$ 로 변환하기 위하여

$R_{2}$ (행

$2$ )에 행 연산

$R_{2} = 4 \cdot R_{1} + R_{2}$ 을 실행합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

행의 일부 원소를 원하는 값인

$0$ 로 변환하기 위하여

$R_{2}$ (행

$2$ )을 행연산

$R_{2} = 4 \cdot R_{1} + R_{2}$ 로 바꿉니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & 2 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 4 \cdot R_{1} + R_{2} & 4 \cdot R_{1} + R_{2} & 4 \cdot R_{1} + R_{2} & 4 \cdot R_{1} + R_{2} & 4 \cdot R_{1} + R_{2} & 4 \cdot R_{1} + R_{2} \\ 2 & 2 & - 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{2} = 4 \cdot R_{1} + R_{2}$

행연산

$R_{2} = 4 \cdot R_{1} + R_{2}$ 에 대하여

$R_{2}$ (행

$2$ )에 원소의 실제값을 대입합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & 2 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ (4) \cdot (1) - 4 & (4) \cdot (- \frac{3}{2}) + 1 & (4) \cdot (2) - 3 & (4) \cdot (\frac{1}{2}) + 0 & (4) \cdot (0) + 1 & (4) \cdot (0) + 0 \\ 2 & 2 & - 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{2} = 4 \cdot R_{1} + R_{2}$

$R_{2}$ (

$2$ 행)을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & 2 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 5 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 2 & - 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

행의 일부 원소를

$0$ 로 변환하기 위하여

$R_{3}$ (행

$3$ )에 행 연산

$R_{3} = - 2 \cdot R_{1} + R_{3}$ 을 실행합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

행의 일부 원소를 원하는 값인

$0$ 로 변환하기 위하여

$R_{3}$ (행

$3$ )을 행연산

$R_{3} = - 2 \cdot R_{1} + R_{3}$ 로 바꿉니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & 2 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 5 & 2 & 1 & 0 \\ - 2 \cdot R_{1} + R_{3} & - 2 \cdot R_{1} + R_{3} & - 2 \cdot R_{1} + R_{3} & - 2 \cdot R_{1} + R_{3} & - 2 \cdot R_{1} + R_{3} & - 2 \cdot R_{1} + R_{3} \end{array}]$

$R_{3} = - 2 \cdot R_{1} + R_{3}$

행연산

$R_{3} = - 2 \cdot R_{1} + R_{3}$ 에 대하여

$R_{3}$ (행

$3$ )에 원소의 실제값을 대입합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & 2 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 5 & 2 & 1 & 0 \\ (- 2) \cdot (1) + 2 & (- 2) \cdot (- \frac{3}{2}) + 2 & (- 2) \cdot (2) - 1 & (- 2) \cdot (\frac{1}{2}) + 0 & (- 2) \cdot (0) + 0 & (- 2) \cdot (0) + 1 \end{array}]$

$R_{3} = - 2 \cdot R_{1} + R_{3}$

$R_{3}$ (

$3$ 행)을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & 2 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 5 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & - 5 & - 1 & 0 & 1 \end{array}]$

행의 일부 원소를

$1$ 로 변환하기 위하여

$R_{2}$ (행

$2$ )에 행 연산

$R_{2} = - \frac{1}{5} R_{2}$ 을 실행합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

행의 일부 원소를 원하는 값인

$1$ 로 변환하기 위하여

$R_{2}$ (행

$2$ )을 행연산

$R_{2} = - \frac{1}{5} R_{2}$ 로 바꿉니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & 2 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ - \frac{1}{5} R_{2} & - \frac{1}{5} R_{2} & - \frac{1}{5} R_{2} & - \frac{1}{5} R_{2} & - \frac{1}{5} R_{2} & - \frac{1}{5} R_{2} \\ 0 & 5 & - 5 & - 1 & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{2} = - \frac{1}{5} R_{2}$

행연산

$R_{2} = - \frac{1}{5} R_{2}$ 에 대하여

$R_{2}$ (행

$2$ )에 원소의 실제값을 대입합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & 2 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ (- \frac{1}{5}) \cdot (0) & (- \frac{1}{5}) \cdot (- 5) & (- \frac{1}{5}) \cdot (5) & (- \frac{1}{5}) \cdot (2) & (- \frac{1}{5}) \cdot (1) & (- \frac{1}{5}) \cdot (0) \\ 0 & 5 & - 5 & - 1 & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{2} = - \frac{1}{5} R_{2}$

$R_{2}$ (

$2$ 행)을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & 2 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & - \frac{2}{5} & - \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 5 & - 5 & - 1 & 0 & 1 \end{array}]$

행의 일부 원소를

$0$ 로 변환하기 위하여

$R_{1}$ (행

$1$ )에 행 연산

$R_{1} = \frac{3}{2} R_{2} + R_{1}$ 을 실행합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

행의 일부 원소를 원하는 값인

$0$ 로 변환하기 위하여

$R_{1}$ (행

$1$ )을 행연산

$R_{1} = \frac{3}{2} R_{2} + R_{1}$ 로 바꿉니다.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{2} R_{2} + R_{1} & \frac{3}{2} R_{2} + R_{1} & \frac{3}{2} R_{2} + R_{1} & \frac{3}{2} R_{2} + R_{1} & \frac{3}{2} R_{2} + R_{1} & \frac{3}{2} R_{2} + R_{1} \\ 0 & 1 & - 1 & - \frac{2}{5} & - \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 5 & - 5 & - 1 & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{1} = \frac{3}{2} R_{2} + R_{1}$

행연산

$R_{1} = \frac{3}{2} R_{2} + R_{1}$ 에 대하여

$R_{1}$ (행

$1$ )에 원소의 실제값을 대입합니다.

$[\begin{array}{c} (\frac{3}{2}) \cdot (0) + 1 & (\frac{3}{2}) \cdot (1) - \frac{3}{2} & (\frac{3}{2}) \cdot (- 1) + 2 & (\frac{3}{2}) \cdot (- \frac{2}{5}) + \frac{1}{2} & (\frac{3}{2}) \cdot (- \frac{1}{5}) + 0 & (\frac{3}{2}) \cdot (0) + 0 \\ 0 & 1 & - 1 & - \frac{2}{5} & - \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 5 & - 5 & - 1 & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{1} = \frac{3}{2} R_{2} + R_{1}$

$R_{1}$ (

$1$ 행)을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{2} & - \frac{1}{10} & - \frac{3}{10} & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & - \frac{2}{5} & - \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 5 & - 5 & - 1 & 0 & 1 \end{array}]$

행의 일부 원소를

$0$ 로 변환하기 위하여

$R_{3}$ (행

$3$ )에 행 연산

$R_{3} = - 5 \cdot R_{2} + R_{3}$ 을 실행합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

행의 일부 원소를 원하는 값인

$0$ 로 변환하기 위하여

$R_{3}$ (행

$3$ )을 행연산

$R_{3} = - 5 \cdot R_{2} + R_{3}$ 로 바꿉니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{2} & - \frac{1}{10} & - \frac{3}{10} & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & - \frac{2}{5} & - \frac{1}{5} & 0 \\ - 5 \cdot R_{2} + R_{3} & - 5 \cdot R_{2} + R_{3} & - 5 \cdot R_{2} + R_{3} & - 5 \cdot R_{2} + R_{3} & - 5 \cdot R_{2} + R_{3} & - 5 \cdot R_{2} + R_{3} \end{array}]$

$R_{3} = - 5 \cdot R_{2} + R_{3}$

행연산

$R_{3} = - 5 \cdot R_{2} + R_{3}$ 에 대하여

$R_{3}$ (행

$3$ )에 원소의 실제값을 대입합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{2} & - \frac{1}{10} & - \frac{3}{10} & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & - \frac{2}{5} & - \frac{1}{5} & 0 \\ (- 5) \cdot (0) + 0 & (- 5) \cdot (1) + 5 & (- 5) \cdot (- 1) - 5 & (- 5) \cdot (- \frac{2}{5}) - 1 & (- 5) \cdot (- \frac{1}{5}) + 0 & (- 5) \cdot (0) + 1 \end{array}]$

$R_{3} = - 5 \cdot R_{2} + R_{3}$

$R_{3}$ (

$3$ 행)을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{2} & - \frac{1}{10} & - \frac{3}{10} & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & - \frac{2}{5} & - \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \end{array}]$

행의 일부 원소를

$0$ 로 변환하기 위하여

$R_{1}$ (행

$1$ )에 행 연산

$R_{1} = \frac{1}{10} R_{3} + R_{1}$ 을 실행합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

행의 일부 원소를 원하는 값인

$0$ 로 변환하기 위하여

$R_{1}$ (행

$1$ )을 행연산

$R_{1} = \frac{1}{10} R_{3} + R_{1}$ 로 바꿉니다.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{10} R_{3} + R_{1} & \frac{1}{10} R_{3} + R_{1} & \frac{1}{10} R_{3} + R_{1} & \frac{1}{10} R_{3} + R_{1} & \frac{1}{10} R_{3} + R_{1} & \frac{1}{10} R_{3} + R_{1} \\ 0 & 1 & - 1 & - \frac{2}{5} & - \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \end{array}]$

$R_{1} = \frac{1}{10} R_{3} + R_{1}$

행연산

$R_{1} = \frac{1}{10} R_{3} + R_{1}$ 에 대하여

$R_{1}$ (행

$1$ )에 원소의 실제값을 대입합니다.

$[\begin{array}{c} (\frac{1}{10}) \cdot (0) + 1 & (\frac{1}{10}) \cdot (0) + 0 & (\frac{1}{10}) \cdot (0) + \frac{1}{2} & (\frac{1}{10}) \cdot (1) - \frac{1}{10} & (\frac{1}{10}) \cdot (1) - \frac{3}{10} & (\frac{1}{10}) \cdot (1) + 0 \\ 0 & 1 & - 1 & - \frac{2}{5} & - \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \end{array}]$

$R_{1} = \frac{1}{10} R_{3} + R_{1}$

$R_{1}$ (

$1$ 행)을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & - \frac{1}{5} & \frac{1}{10} \\ 0 & 1 & - 1 & - \frac{2}{5} & - \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \end{array}]$

행의 일부 원소를

$0$ 로 변환하기 위하여

$R_{2}$ (행

$2$ )에 행 연산

$R_{2} = \frac{2}{5} R_{3} + R_{2}$ 을 실행합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

행의 일부 원소를 원하는 값인

$0$ 로 변환하기 위하여

$R_{2}$ (행

$2$ )을 행연산

$R_{2} = \frac{2}{5} R_{3} + R_{2}$ 로 바꿉니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & - \frac{1}{5} & \frac{1}{10} \\ \frac{2}{5} R_{3} + R_{2} & \frac{2}{5} R_{3} + R_{2} & \frac{2}{5} R_{3} + R_{2} & \frac{2}{5} R_{3} + R_{2} & \frac{2}{5} R_{3} + R_{2} & \frac{2}{5} R_{3} + R_{2} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \end{array}]$

$R_{2} = \frac{2}{5} R_{3} + R_{2}$

행연산

$R_{2} = \frac{2}{5} R_{3} + R_{2}$ 에 대하여

$R_{2}$ (행

$2$ )에 원소의 실제값을 대입합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & - \frac{1}{5} & \frac{1}{10} \\ (\frac{2}{5}) \cdot (0) + 0 & (\frac{2}{5}) \cdot (0) + 1 & (\frac{2}{5}) \cdot (0) - 1 & (\frac{2}{5}) \cdot (1) - \frac{2}{5} & (\frac{2}{5}) \cdot (1) - \frac{1}{5} & (\frac{2}{5}) \cdot (1) + 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \end{array}]$

$R_{2} = \frac{2}{5} R_{3} + R_{2}$

$R_{2}$ (

$2$ 행)을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & - \frac{1}{5} & \frac{1}{10} \\ 0 & 1 & - 1 & 0 & \frac{1}{5} & \frac{2}{5} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \end{array}]$

행렬의 행렬식이 0이므로 역행렬이 존재하지 않습니다.

역이 존재하지 않음

Step 3

이 행렬은 역이 존재하지 않으므로 역행렬을 이용해 풀 수 없습니다.

해 없음