선형 대수 예제

$[\begin{array}{c} 2 & - 3 & 3 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 5 & - 1 \end{array}]$

단계 1

Consider the corresponding sign chart.

$[\begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array}]$

단계 2

Use the sign chart and the given matrix to find the cofactor of each element.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

Calculate the minor for element $a_{11}$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & - 1 \end{array} |$

단계 2.1.2

Evaluate the determinant.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1

$2 \times 2$ 행렬의 행렬식은 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 공식을 이용해 계산합니다.

$a_{11} = 1 \cdot - 1 - 5 \cdot 1$

단계 2.1.2.2

행렬식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.2.1.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$a_{11} = - 1 - 5 \cdot 1$

단계 2.1.2.2.1.2

$- 5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$a_{11} = - 1 - 5$

단계 2.1.2.2.2

$- 1$ 에서 $5$ 을 뺍니다.

$a_{11} = - 6$

단계 2.2

Calculate the minor for element $a_{12}$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & - 1 \end{array} |$

단계 2.2.2

Evaluate the determinant.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

$2 \times 2$ 행렬의 행렬식은 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 공식을 이용해 계산합니다.

$a_{12} = 2 \cdot - 1 - 1 \cdot 1$

단계 2.2.2.2

행렬식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.2.1.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$a_{12} = - 2 - 1 \cdot 1$

단계 2.2.2.2.1.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$a_{12} = - 2 - 1$

단계 2.2.2.2.2

$- 2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$a_{12} = - 3$

단계 2.3

Calculate the minor for element $a_{13}$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 5 \end{array} |$

단계 2.3.2

Evaluate the determinant.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

$2 \times 2$ 행렬의 행렬식은 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 공식을 이용해 계산합니다.

$a_{13} = 2 \cdot 5 - 1 \cdot 1$

단계 2.3.2.2

행렬식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.2.1.1

$2$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$a_{13} = 10 - 1 \cdot 1$

단계 2.3.2.2.1.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$a_{13} = 10 - 1$

단계 2.3.2.2.2

$10$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$a_{13} = 9$

단계 2.4

Calculate the minor for element $a_{21}$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 3 & 3 \\ 5 & - 1 \end{array} |$

단계 2.4.2

Evaluate the determinant.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.1

$2 \times 2$ 행렬의 행렬식은 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 공식을 이용해 계산합니다.

$a_{21} = - 3 \cdot - 1 - 5 \cdot 3$

단계 2.4.2.2

행렬식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.2.1.1

$- 3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$a_{21} = 3 - 5 \cdot 3$

단계 2.4.2.2.1.2

$- 5$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$a_{21} = 3 - 15$

단계 2.4.2.2.2

$3$ 에서 $15$ 을 뺍니다.

$a_{21} = - 12$

단계 2.5

Calculate the minor for element $a_{22}$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 1 & - 1 \end{array} |$

단계 2.5.2

Evaluate the determinant.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.1

$2 \times 2$ 행렬의 행렬식은 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 공식을 이용해 계산합니다.

$a_{22} = 2 \cdot - 1 - 1 \cdot 3$

단계 2.5.2.2

행렬식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.2.1.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$a_{22} = - 2 - 1 \cdot 3$

단계 2.5.2.2.1.2

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$a_{22} = - 2 - 3$

단계 2.5.2.2.2

$- 2$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$a_{22} = - 5$

단계 2.6

Calculate the minor for element $a_{23}$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.1

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & - 3 \\ 1 & 5 \end{array} |$

단계 2.6.2

Evaluate the determinant.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.2.1

$2 \times 2$ 행렬의 행렬식은 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 공식을 이용해 계산합니다.

$a_{23} = 2 \cdot 5 - 1 \cdot - 3$

단계 2.6.2.2

행렬식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.2.2.1.1

$2$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$a_{23} = 10 - 1 \cdot - 3$

단계 2.6.2.2.1.2

$- 1$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$a_{23} = 10 + 3$

단계 2.6.2.2.2

$10$ 를 $3$ 에 더합니다.

$a_{23} = 13$

단계 2.7

Calculate the minor for element $a_{31}$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.7.1

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 3 & 3 \\ 1 & 1 \end{array} |$

단계 2.7.2

Evaluate the determinant.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.7.2.1

$2 \times 2$ 행렬의 행렬식은 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 공식을 이용해 계산합니다.

$a_{31} = - 3 \cdot 1 - 1 \cdot 3$

단계 2.7.2.2

행렬식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.7.2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.7.2.2.1.1

$- 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$a_{31} = - 3 - 1 \cdot 3$

단계 2.7.2.2.1.2

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$a_{31} = - 3 - 3$

단계 2.7.2.2.2

$- 3$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$a_{31} = - 6$

단계 2.8

Calculate the minor for element $a_{32}$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.8.1

The minor for $a_{32}$ is the determinant with row $3$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 2 & 1 \end{array} |$

단계 2.8.2

Evaluate the determinant.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.8.2.1

$2 \times 2$ 행렬의 행렬식은 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 공식을 이용해 계산합니다.

$a_{32} = 2 \cdot 1 - 2 \cdot 3$

단계 2.8.2.2

행렬식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.8.2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.8.2.2.1.1

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$a_{32} = 2 - 2 \cdot 3$

단계 2.8.2.2.1.2

$- 2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$a_{32} = 2 - 6$

단계 2.8.2.2.2

$2$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$a_{32} = - 4$

단계 2.9

Calculate the minor for element $a_{33}$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.9.1

The minor for $a_{33}$ is the determinant with row $3$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & - 3 \\ 2 & 1 \end{array} |$

단계 2.9.2

Evaluate the determinant.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.9.2.1

$2 \times 2$ 행렬의 행렬식은 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 공식을 이용해 계산합니다.

$a_{33} = 2 \cdot 1 - 2 \cdot - 3$

단계 2.9.2.2

행렬식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.9.2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.9.2.2.1.1

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$a_{33} = 2 - 2 \cdot - 3$

단계 2.9.2.2.1.2

$- 2$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$a_{33} = 2 + 6$

단계 2.9.2.2.2

$2$ 를 $6$ 에 더합니다.

$a_{33} = 8$

단계 2.10

The cofactor matrix is a matrix of the minors with the sign changed for the elements in the $-$ positions on the sign chart.

$[\begin{array}{c} - 6 & 3 & 9 \\ 12 & - 5 & - 13 \\ - 6 & 4 & 8 \end{array}]$