선형 대수 예제

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}]$

단계 1

고유값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

특성방정식 $p (λ)$ 를 구하기 위하여 공식을 세웁니다.

$p (λ) = 행렬식 (A - λ I_{3})$

단계 1.2

크기가 $3$ 인 단위행렬은 주대각선이 1이고 나머지는 0인 $3 \times 3$ 정방행렬입니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

단계 1.3

알고 있는 값을 $p (λ) = 행렬식 (A - λ I_{3})$ 에 대입합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$A$ 에 $[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}]$ 를 대입합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] - λ I_{3})$

단계 1.3.2

$I_{3}$ 에 $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ 를 대입합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

단계 1.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1.1

행렬의 각 원소에 $- λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2

행렬의 각 원소를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1.2.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2.2

$- λ \cdot 0$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1.2.2.1

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2.2.2

$0$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2.3

$- λ \cdot 0$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1.2.3.1

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2.3.2

$0$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2.4

$- λ \cdot 0$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1.2.4.1

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2.4.2

$0$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2.5

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2.6

$- λ \cdot 0$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1.2.6.1

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2.6.2

$0$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2.7

$- λ \cdot 0$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1.2.7.1

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2.7.2

$0$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2.8

$- λ \cdot 0$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1.2.8.1

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2.8.2

$0$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2.9

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

단계 1.4.2

해당하는 원소를 더합니다.

$p (λ) = 행렬식 [\begin{array}{c} 3 - λ & - 2 + 0 & 4 + 0 \\ - 10 + 0 & - 10 - λ & 4 + 0 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 6 - λ \end{array}]$

단계 1.4.3

Simplify each element.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.3.1

$- 2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$p (λ) = 행렬식 [\begin{array}{c} 3 - λ & - 2 & 4 + 0 \\ - 10 + 0 & - 10 - λ & 4 + 0 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 6 - λ \end{array}]$

단계 1.4.3.2

$4$ 를 $0$ 에 더합니다.

$p (λ) = 행렬식 [\begin{array}{c} 3 - λ & - 2 & 4 \\ - 10 + 0 & - 10 - λ & 4 + 0 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 6 - λ \end{array}]$

단계 1.4.3.3

$- 10$ 를 $0$ 에 더합니다.

$p (λ) = 행렬식 [\begin{array}{c} 3 - λ & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 - λ & 4 + 0 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 6 - λ \end{array}]$

단계 1.4.3.4

$4$ 를 $0$ 에 더합니다.

$p (λ) = 행렬식 [\begin{array}{c} 3 - λ & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 - λ & 4 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 6 - λ \end{array}]$

단계 1.4.3.5

$- 5$ 를 $0$ 에 더합니다.

$p (λ) = 행렬식 [\begin{array}{c} 3 - λ & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 - λ & 4 \\ - 5 & - 1 + 0 & - 6 - λ \end{array}]$

단계 1.4.3.6

$- 1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$p (λ) = 행렬식 [\begin{array}{c} 3 - λ & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 - λ & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 - λ \end{array}]$

단계 1.5

Find the determinant.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

단계 1.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

단계 1.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 10 - λ & 4 \\ - 1 & - 6 - λ \end{array} |$

단계 1.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(3 - λ) | \begin{array}{c} - 10 - λ & 4 \\ - 1 & - 6 - λ \end{array} |$

단계 1.5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 10 & 4 \\ - 5 & - 6 - λ \end{array} |$

단계 1.5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$2 | \begin{array}{c} - 10 & 4 \\ - 5 & - 6 - λ \end{array} |$

단계 1.5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

단계 1.5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$4 | \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

단계 1.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (3 - λ) | \begin{array}{c} - 10 - λ & 4 \\ - 1 & - 6 - λ \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} - 10 & 4 \\ - 5 & - 6 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

단계 1.5.2

$| \begin{array}{c} - 10 - λ & 4 \\ - 1 & - 6 - λ \end{array} |$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.1

$2 \times 2$ 행렬의 행렬식은 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 공식을 이용해 계산합니다.

$p (λ) = (3 - λ) ((- 10 - λ) (- 6 - λ) - (- 1 \cdot 4)) + 2 | \begin{array}{c} - 10 & 4 \\ - 5 & - 6 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

단계 1.5.2.2

행렬식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.2.1.1

FOIL 계산법을 이용하여 $(- 10 - λ) (- 6 - λ)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.2.1.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$p (λ) = (3 - λ) (- 10 (- 6 - λ) - λ (- 6 - λ) - (- 1 \cdot 4)) + 2 | \begin{array}{c} - 10 & 4 \\ - 5 & - 6 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

단계 1.5.2.2.1.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$p (λ) = (3 - λ) (- 10 \cdot - 6 - 10 (- λ) - λ (- 6 - λ) - (- 1 \cdot 4)) + 2 | \begin{array}{c} - 10 & 4 \\ - 5 & - 6 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

단계 1.5.2.2.1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$p (λ) = (3 - λ) (- 10 \cdot - 6 - 10 (- λ) - λ \cdot - 6 - λ (- λ) - (- 1 \cdot 4)) + 2 | \begin{array}{c} - 10 & 4 \\ - 5 & - 6 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

단계 1.5.2.2.1.2

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.2.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.2.1.2.1.1

$- 10$ 에 $- 6$ 을 곱합니다.

$p (λ) = (3 - λ) (60 - 10 (- λ) - λ \cdot - 6 - λ (- λ) - (- 1 \cdot 4)) + 2 | \begin{array}{c} - 10 & 4 \\ - 5 & - 6 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

단계 1.5.2.2.1.2.1.2

$- 1$ 에 $- 10$ 을 곱합니다.

$p (λ) = (3 - λ) (60 + 10 λ - λ \cdot - 6 - λ (- λ) - (- 1 \cdot 4)) + 2 | \begin{array}{c} - 10 & 4 \\ - 5 & - 6 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

단계 1.5.2.2.1.2.1.3

$- 6$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = (3 - λ) (60 + 10 λ + 6 λ - λ (- λ) - (- 1 \cdot 4)) + 2 | \begin{array}{c} - 10 & 4 \\ - 5 & - 6 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

단계 1.5.2.2.1.2.1.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$p (λ) = (3 - λ) (60 + 10 λ + 6 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 1 \cdot 4)) + 2 | \begin{array}{c} - 10 & 4 \\ - 5 & - 6 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

단계 1.5.2.2.1.2.1.5

지수를 더하여 $λ$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.2.1.2.1.5.1

$λ$ 를 옮깁니다.

$p (λ) = (3 - λ) (60 + 10 λ + 6 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 1 \cdot 4)) + 2 | \begin{array}{c} - 10 & 4 \\ - 5 & - 6 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

단계 1.5.2.2.1.2.1.5.2

$λ$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = (3 - λ) (60 + 10 λ + 6 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 4)) + 2 | \begin{array}{c} - 10 & 4 \\ - 5 & - 6 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

단계 1.5.2.2.1.2.1.6

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = (3 - λ) (60 + 10 λ + 6 λ + 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 4)) + 2 | \begin{array}{c} - 10 & 4 \\ - 5 & - 6 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

단계 1.5.2.2.1.2.1.7

$λ^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = (3 - λ) (60 + 10 λ + 6 λ + λ^{2} - (- 1 \cdot 4)) + 2 | \begin{array}{c} - 10 & 4 \\ - 5 & - 6 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

단계 1.5.2.2.1.2.2

$10 λ$ 를 $6 λ$ 에 더합니다.

$p (λ) = (3 - λ) (60 + 16 λ + λ^{2} - (- 1 \cdot 4)) + 2 | \begin{array}{c} - 10 & 4 \\ - 5 & - 6 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

단계 1.5.2.2.1.3

$- (- 1 \cdot 4)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.2.1.3.1

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$p (λ) = (3 - λ) (60 + 16 λ + λ^{2} - - 4) + 2 | \begin{array}{c} - 10 & 4 \\ - 5 & - 6 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

단계 1.5.2.2.1.3.2

$- 1$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$p (λ) = (3 - λ) (60 + 16 λ + λ^{2} + 4) + 2 | \begin{array}{c} - 10 & 4 \\ - 5 & - 6 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

단계 1.5.2.2.2

$60$ 를 $4$ 에 더합니다.

$p (λ) = (3 - λ) (16 λ + λ^{2} + 64) + 2 | \begin{array}{c} - 10 & 4 \\ - 5 & - 6 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

단계 1.5.2.2.3

$16 λ$ 와 $λ^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} + 16 λ + 64) + 2 | \begin{array}{c} - 10 & 4 \\ - 5 & - 6 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

단계 1.5.3

$| \begin{array}{c} - 10 & 4 \\ - 5 & - 6 - λ \end{array} |$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.1

$2 \times 2$ 행렬의 행렬식은 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 공식을 이용해 계산합니다.

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} + 16 λ + 64) + 2 (- 10 (- 6 - λ) - (- 5 \cdot 4)) + 4 | \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

단계 1.5.3.2

행렬식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.2.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} + 16 λ + 64) + 2 (- 10 \cdot - 6 - 10 (- λ) - (- 5 \cdot 4)) + 4 | \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

단계 1.5.3.2.1.2

$- 10$ 에 $- 6$ 을 곱합니다.

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} + 16 λ + 64) + 2 (60 - 10 (- λ) - (- 5 \cdot 4)) + 4 | \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

단계 1.5.3.2.1.3

$- 1$ 에 $- 10$ 을 곱합니다.

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} + 16 λ + 64) + 2 (60 + 10 λ - (- 5 \cdot 4)) + 4 | \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

단계 1.5.3.2.1.4

$- (- 5 \cdot 4)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.2.1.4.1

$- 5$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} + 16 λ + 64) + 2 (60 + 10 λ - - 20) + 4 | \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

단계 1.5.3.2.1.4.2

$- 1$ 에 $- 20$ 을 곱합니다.

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} + 16 λ + 64) + 2 (60 + 10 λ + 20) + 4 | \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

단계 1.5.3.2.2

$60$ 를 $20$ 에 더합니다.

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} + 16 λ + 64) + 2 (10 λ + 80) + 4 | \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

단계 1.5.4

$| \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.4.1

$2 \times 2$ 행렬의 행렬식은 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 공식을 이용해 계산합니다.

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} + 16 λ + 64) + 2 (10 λ + 80) + 4 (- 10 \cdot - 1 - (- 5 (- 10 - λ)))$

단계 1.5.4.2

행렬식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.4.2.1.1

$- 10$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} + 16 λ + 64) + 2 (10 λ + 80) + 4 (10 - (- 5 (- 10 - λ)))$

단계 1.5.4.2.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} + 16 λ + 64) + 2 (10 λ + 80) + 4 (10 - (- 5 \cdot - 10 - 5 (- λ)))$

단계 1.5.4.2.1.3

$- 5$ 에 $- 10$ 을 곱합니다.

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} + 16 λ + 64) + 2 (10 λ + 80) + 4 (10 - (50 - 5 (- λ)))$

단계 1.5.4.2.1.4

$- 1$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} + 16 λ + 64) + 2 (10 λ + 80) + 4 (10 - (50 + 5 λ))$

단계 1.5.4.2.1.5

분배 법칙을 적용합니다.

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} + 16 λ + 64) + 2 (10 λ + 80) + 4 (10 - 1 \cdot 50 - (5 λ))$

단계 1.5.4.2.1.6

$- 1$ 에 $50$ 을 곱합니다.

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} + 16 λ + 64) + 2 (10 λ + 80) + 4 (10 - 50 - (5 λ))$

단계 1.5.4.2.1.7

$5$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} + 16 λ + 64) + 2 (10 λ + 80) + 4 (10 - 50 - 5 λ)$

단계 1.5.4.2.2

$10$ 에서 $50$ 을 뺍니다.

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} + 16 λ + 64) + 2 (10 λ + 80) + 4 (- 40 - 5 λ)$

단계 1.5.4.2.3

$- 40$ 와 $- 5 λ$ 을 다시 정렬합니다.

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} + 16 λ + 64) + 2 (10 λ + 80) + 4 (- 5 λ - 40)$

단계 1.5.5

행렬식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.5.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.5.1.1

첫 번째 수식의 항과 두 번째 수식의 항을 각각 곱하여 $(3 - λ) (λ^{2} + 16 λ + 64)$ 를 전개합니다.

$p (λ) = 3 λ^{2} + 3 (16 λ) + 3 \cdot 64 - λ \cdot λ^{2} - λ (16 λ) - λ \cdot 64 + 2 (10 λ + 80) + 4 (- 5 λ - 40)$

단계 1.5.5.1.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.5.1.2.1

$16$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 3 λ^{2} + 48 λ + 3 \cdot 64 - λ \cdot λ^{2} - λ (16 λ) - λ \cdot 64 + 2 (10 λ + 80) + 4 (- 5 λ - 40)$

단계 1.5.5.1.2.2

$3$ 에 $64$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 3 λ^{2} + 48 λ + 192 - λ \cdot λ^{2} - λ (16 λ) - λ \cdot 64 + 2 (10 λ + 80) + 4 (- 5 λ - 40)$

단계 1.5.5.1.2.3

지수를 더하여 $λ$ 에 $λ^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.5.1.2.3.1

$λ^{2}$ 를 옮깁니다.

$p (λ) = 3 λ^{2} + 48 λ + 192 - (λ^{2} λ) - λ (16 λ) - λ \cdot 64 + 2 (10 λ + 80) + 4 (- 5 λ - 40)$

단계 1.5.5.1.2.3.2

$λ^{2}$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.5.1.2.3.2.1

$λ$ 를 $1$ 승 합니다.

$p (λ) = 3 λ^{2} + 48 λ + 192 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (16 λ) - λ \cdot 64 + 2 (10 λ + 80) + 4 (- 5 λ - 40)$

단계 1.5.5.1.2.3.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$p (λ) = 3 λ^{2} + 48 λ + 192 - λ^{2 + 1} - λ (16 λ) - λ \cdot 64 + 2 (10 λ + 80) + 4 (- 5 λ - 40)$

단계 1.5.5.1.2.3.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$p (λ) = 3 λ^{2} + 48 λ + 192 - λ^{3} - λ (16 λ) - λ \cdot 64 + 2 (10 λ + 80) + 4 (- 5 λ - 40)$

단계 1.5.5.1.2.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$p (λ) = 3 λ^{2} + 48 λ + 192 - λ^{3} - 1 \cdot 16 λ \cdot λ - λ \cdot 64 + 2 (10 λ + 80) + 4 (- 5 λ - 40)$

단계 1.5.5.1.2.5

지수를 더하여 $λ$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.5.1.2.5.1

$λ$ 를 옮깁니다.

$p (λ) = 3 λ^{2} + 48 λ + 192 - λ^{3} - 1 \cdot 16 (λ \cdot λ) - λ \cdot 64 + 2 (10 λ + 80) + 4 (- 5 λ - 40)$

단계 1.5.5.1.2.5.2

$λ$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 3 λ^{2} + 48 λ + 192 - λ^{3} - 1 \cdot 16 λ^{2} - λ \cdot 64 + 2 (10 λ + 80) + 4 (- 5 λ - 40)$

단계 1.5.5.1.2.6

$- 1$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 3 λ^{2} + 48 λ + 192 - λ^{3} - 16 λ^{2} - λ \cdot 64 + 2 (10 λ + 80) + 4 (- 5 λ - 40)$

단계 1.5.5.1.2.7

$64$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 3 λ^{2} + 48 λ + 192 - λ^{3} - 16 λ^{2} - 64 λ + 2 (10 λ + 80) + 4 (- 5 λ - 40)$

단계 1.5.5.1.3

$3 λ^{2}$ 에서 $16 λ^{2}$ 을 뺍니다.

$p (λ) = - 13 λ^{2} + 48 λ + 192 - λ^{3} - 64 λ + 2 (10 λ + 80) + 4 (- 5 λ - 40)$

단계 1.5.5.1.4

$48 λ$ 에서 $64 λ$ 을 뺍니다.

$p (λ) = - 13 λ^{2} - 16 λ + 192 - λ^{3} + 2 (10 λ + 80) + 4 (- 5 λ - 40)$

단계 1.5.5.1.5

분배 법칙을 적용합니다.

$p (λ) = - 13 λ^{2} - 16 λ + 192 - λ^{3} + 2 (10 λ) + 2 \cdot 80 + 4 (- 5 λ - 40)$

단계 1.5.5.1.6

$10$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$p (λ) = - 13 λ^{2} - 16 λ + 192 - λ^{3} + 20 λ + 2 \cdot 80 + 4 (- 5 λ - 40)$

단계 1.5.5.1.7

$2$ 에 $80$ 을 곱합니다.

$p (λ) = - 13 λ^{2} - 16 λ + 192 - λ^{3} + 20 λ + 160 + 4 (- 5 λ - 40)$

단계 1.5.5.1.8

분배 법칙을 적용합니다.

$p (λ) = - 13 λ^{2} - 16 λ + 192 - λ^{3} + 20 λ + 160 + 4 (- 5 λ) + 4 \cdot - 40$

단계 1.5.5.1.9

$- 5$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$p (λ) = - 13 λ^{2} - 16 λ + 192 - λ^{3} + 20 λ + 160 - 20 λ + 4 \cdot - 40$

단계 1.5.5.1.10

$4$ 에 $- 40$ 을 곱합니다.

$p (λ) = - 13 λ^{2} - 16 λ + 192 - λ^{3} + 20 λ + 160 - 20 λ - 160$

단계 1.5.5.2

$- 13 λ^{2} - 16 λ + 192 - λ^{3} + 20 λ + 160 - 20 λ - 160$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.5.2.1

$20 λ$ 에서 $20 λ$ 을 뺍니다.

$p (λ) = - 13 λ^{2} - 16 λ + 192 - λ^{3} + 0 + 160 - 160$

단계 1.5.5.2.2

$- 13 λ^{2} - 16 λ + 192 - λ^{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$p (λ) = - 13 λ^{2} - 16 λ + 192 - λ^{3} + 160 - 160$

단계 1.5.5.2.3

$160$ 에서 $160$ 을 뺍니다.

$p (λ) = - 13 λ^{2} - 16 λ + 192 - λ^{3} + 0$

단계 1.5.5.2.4

$- 13 λ^{2} - 16 λ + 192 - λ^{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$p (λ) = - 13 λ^{2} - 16 λ + 192 - λ^{3}$

단계 1.5.5.3

$192$ 를 옮깁니다.

$p (λ) = - 13 λ^{2} - 16 λ - λ^{3} + 192$

단계 1.5.5.4

$- 16 λ$ 를 옮깁니다.

$p (λ) = - 13 λ^{2} - λ^{3} - 16 λ + 192$

단계 1.5.5.5

$- 13 λ^{2}$ 와 $- λ^{3}$ 을 다시 정렬합니다.

$p (λ) = - λ^{3} - 13 λ^{2} - 16 λ + 192$

단계 1.6

특성다항식이 $0$ 이 되도록 하여 고유값 $λ$ 를 구합니다.

$- λ^{3} - 13 λ^{2} - 16 λ + 192 = 0$

단계 1.7

$λ$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.1

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.1.1

유리근 정리르 이용하여 $- λ^{3} - 13 λ^{2} - 16 λ + 192$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.1.1.1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 192, \pm 2, \pm 96, \pm 3, \pm 64, \pm 4, \pm 48, \pm 6, \pm 32, \pm 8, \pm 24, \pm 12, \pm 16$

$q = \pm 1$

단계 1.7.1.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm 192, \pm 2, \pm 96, \pm 3, \pm 64, \pm 4, \pm 48, \pm 6, \pm 32, \pm 8, \pm 24, \pm 12, \pm 16$

단계 1.7.1.1.3

$3$ 을 대입하고 식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $3$ 은 다항식의 근입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.1.1.3.1

$3$ 을 다항식에 대입합니다.

$- 3^{3} - 13 \cdot 3^{2} - 16 \cdot 3 + 192$

단계 1.7.1.1.3.2

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$- 1 \cdot 27 - 13 \cdot 3^{2} - 16 \cdot 3 + 192$

단계 1.7.1.1.3.3

$- 1$ 에 $27$ 을 곱합니다.

$- 27 - 13 \cdot 3^{2} - 16 \cdot 3 + 192$

단계 1.7.1.1.3.4

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$- 27 - 13 \cdot 9 - 16 \cdot 3 + 192$

단계 1.7.1.1.3.5

$- 13$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$- 27 - 117 - 16 \cdot 3 + 192$

단계 1.7.1.1.3.6

$- 27$ 에서 $117$ 을 뺍니다.

$- 144 - 16 \cdot 3 + 192$

단계 1.7.1.1.3.7

$- 16$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- 144 - 48 + 192$

단계 1.7.1.1.3.8

$- 144$ 에서 $48$ 을 뺍니다.

$- 192 + 192$

단계 1.7.1.1.3.9

$- 192$ 를 $192$ 에 더합니다.

$0$

단계 1.7.1.1.4

$3$ 는 알고 있는 해이므로 다항식을 $λ - 3$ 으로 나누어 몫 다항식을 구합니다. 이 다항식은 나머지 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{- λ^{3} - 13 λ^{2} - 16 λ + 192}{λ - 3}$

단계 1.7.1.1.5

$- λ^{3} - 13 λ^{2} - 16 λ + 192$ 을 $λ - 3$ 로 나눕니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.1.1.5.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$λ$

$3$

$λ^{3}$

$13 λ^{2}$

$16 λ$

$192$

단계 1.7.1.1.5.2

피제수 $- λ^{3}$ 의 고차항을 제수 $λ$ 의 고차항으로 나눕니다.

				-	$λ^{2}$
	$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	-	$13 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$192$

단계 1.7.1.1.5.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	-	$13 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$192$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$

단계 1.7.1.1.5.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- λ^{3} + 3 λ^{2}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	-	$13 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$192$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$

단계 1.7.1.1.5.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	-	$13 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$192$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					-	$16 λ^{2}$

단계 1.7.1.1.5.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	-	$13 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$192$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					-	$16 λ^{2}$	-	$16 λ$

단계 1.7.1.1.5.7

피제수 $- 16 λ^{2}$ 의 고차항을 제수 $λ$ 의 고차항으로 나눕니다.

			-	$λ^{2}$	-	$16 λ$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	-	$13 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$192$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					-	$16 λ^{2}$	-	$16 λ$

단계 1.7.1.1.5.8

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

			-	$λ^{2}$	-	$16 λ$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	-	$13 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$192$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					-	$16 λ^{2}$	-	$16 λ$
					-	$16 λ^{2}$	+	$48 λ$

단계 1.7.1.1.5.9

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 16 λ^{2} + 48 λ$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

			-	$λ^{2}$	-	$16 λ$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	-	$13 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$192$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					-	$16 λ^{2}$	-	$16 λ$
					+	$16 λ^{2}$	-	$48 λ$

단계 1.7.1.1.5.10

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

			-	$λ^{2}$	-	$16 λ$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	-	$13 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$192$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					-	$16 λ^{2}$	-	$16 λ$
					+	$16 λ^{2}$	-	$48 λ$
							-	$64 λ$

단계 1.7.1.1.5.11

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

			-	$λ^{2}$	-	$16 λ$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	-	$13 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$192$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					-	$16 λ^{2}$	-	$16 λ$
					+	$16 λ^{2}$	-	$48 λ$
							-	$64 λ$	+	$192$

단계 1.7.1.1.5.12

피제수 $- 64 λ$ 의 고차항을 제수 $λ$ 의 고차항으로 나눕니다.

			-	$λ^{2}$	-	$16 λ$	-	$64$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	-	$13 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$192$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					-	$16 λ^{2}$	-	$16 λ$
					+	$16 λ^{2}$	-	$48 λ$
							-	$64 λ$	+	$192$

단계 1.7.1.1.5.13

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

			-	$λ^{2}$	-	$16 λ$	-	$64$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	-	$13 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$192$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					-	$16 λ^{2}$	-	$16 λ$
					+	$16 λ^{2}$	-	$48 λ$
							-	$64 λ$	+	$192$
							-	$64 λ$	+	$192$

단계 1.7.1.1.5.14

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 64 λ + 192$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

			-	$λ^{2}$	-	$16 λ$	-	$64$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	-	$13 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$192$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					-	$16 λ^{2}$	-	$16 λ$
					+	$16 λ^{2}$	-	$48 λ$
							-	$64 λ$	+	$192$
							+	$64 λ$	-	$192$

단계 1.7.1.1.5.15

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

			-	$λ^{2}$	-	$16 λ$	-	$64$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	-	$13 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$192$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					-	$16 λ^{2}$	-	$16 λ$
					+	$16 λ^{2}$	-	$48 λ$
							-	$64 λ$	+	$192$
							+	$64 λ$	-	$192$
										$0$

단계 1.7.1.1.5.16

나머지가 $0$ 이므로, 몫이 최종해입니다.

$- λ^{2} - 16 λ - 64$

단계 1.7.1.1.6

$- λ^{3} - 13 λ^{2} - 16 λ + 192$ 을 인수의 집합으로 표현합니다.

$(λ - 3) (- λ^{2} - 16 λ - 64) = 0$

단계 1.7.1.2

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.1.2.1

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.1.2.1.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = - 1 \cdot - 64 = 64$ 이고 합이 $b = - 16$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.1.2.1.1.1

$- 16 λ$ 에서 $- 16$ 를 인수분해합니다.

$(λ - 3) (- λ^{2} - 16 λ - 64) = 0$

단계 1.7.1.2.1.1.2

$- 16$ 를 $- 8$ + $- 8$ 로 다시 씁니다.

$(λ - 3) (- λ^{2} + (- 8 - 8) λ - 64) = 0$

단계 1.7.1.2.1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$(λ - 3) (- λ^{2} - 8 λ - 8 λ - 64) = 0$

단계 1.7.1.2.1.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.1.2.1.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$(λ - 3) ((- λ^{2} - 8 λ) - 8 λ - 64) = 0$

단계 1.7.1.2.1.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$(λ - 3) (λ (- λ - 8) + 8 (- λ - 8)) = 0$

단계 1.7.1.2.1.3

최대공약수 $- λ - 8$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$(λ - 3) ((- λ - 8) (λ + 8)) = 0$

단계 1.7.1.2.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$(λ - 3) (- λ - 8) (λ + 8) = 0$

단계 1.7.2

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$λ - 3 = 0$

$- λ - 8 = 0$

$λ + 8 = 0$

단계 1.7.3

$λ - 3$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $λ$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.3.1

$λ - 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$λ - 3 = 0$

단계 1.7.3.2

방정식의 양변에 $3$ 를 더합니다.

$λ = 3$

단계 1.7.4

$- λ - 8$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $λ$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.4.1

$- λ - 8$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$- λ - 8 = 0$

단계 1.7.4.2

$- λ - 8 = 0$ 을 $λ$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.4.2.1

방정식의 양변에 $8$ 를 더합니다.

$- λ = 8$

단계 1.7.4.2.2

$- λ = 8$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.4.2.2.1

$- λ = 8$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- λ}{- 1} = \frac{8}{- 1}$

단계 1.7.4.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.4.2.2.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{λ}{1} = \frac{8}{- 1}$

단계 1.7.4.2.2.2.2

$λ$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$λ = \frac{8}{- 1}$

단계 1.7.4.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.4.2.2.3.1

$8$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$λ = - 8$

단계 1.7.5

$(λ - 3) (- λ - 8) (λ + 8) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$λ = 3, - 8$

단계 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{3})$

단계 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 3$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

알고 있는 값을 공식에 대입합니다.

$N ([\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] - 3 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

단계 3.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

행렬의 각 원소에 $- 3$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

단계 3.2.1.2

행렬의 각 원소를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.2.1

$- 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

단계 3.2.1.2.2

$- 3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

단계 3.2.1.2.3

$- 3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

단계 3.2.1.2.4

$- 3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

단계 3.2.1.2.5

$- 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

단계 3.2.1.2.6

$- 3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

단계 3.2.1.2.7

$- 3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 \\ 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

단계 3.2.1.2.8

$- 3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

단계 3.2.1.2.9

$- 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 \end{array}]$

단계 3.2.2

해당하는 원소를 더합니다.

$[\begin{array}{c} 3 - 3 & - 2 + 0 & 4 + 0 \\ - 10 + 0 & - 10 - 3 & 4 + 0 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 6 - 3 \end{array}]$

단계 3.2.3

Simplify each element.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.3.1

$3$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$[\begin{array}{c} 0 & - 2 + 0 & 4 + 0 \\ - 10 + 0 & - 10 - 3 & 4 + 0 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 6 - 3 \end{array}]$

단계 3.2.3.2

$- 2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 0 & - 2 & 4 + 0 \\ - 10 + 0 & - 10 - 3 & 4 + 0 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 6 - 3 \end{array}]$

단계 3.2.3.3

$4$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 0 & - 2 & 4 \\ - 10 + 0 & - 10 - 3 & 4 + 0 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 6 - 3 \end{array}]$

단계 3.2.3.4

$- 10$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 0 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 - 3 & 4 + 0 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 6 - 3 \end{array}]$

단계 3.2.3.5

$- 10$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$[\begin{array}{c} 0 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 13 & 4 + 0 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 6 - 3 \end{array}]$

단계 3.2.3.6

$4$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 0 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 13 & 4 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 6 - 3 \end{array}]$

단계 3.2.3.7

$- 5$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 0 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 13 & 4 \\ - 5 & - 1 + 0 & - 6 - 3 \end{array}]$

단계 3.2.3.8

$- 1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 0 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 13 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 - 3 \end{array}]$

단계 3.2.3.9

$- 6$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$[\begin{array}{c} 0 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 13 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 9 \end{array}]$

단계 3.3

Find the null space when $λ = 3$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & - 2 & 4 & 0 \\ - 10 & - 13 & 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 9 & 0 \end{array}]$

단계 3.3.2

기약 행 사다리꼴을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

Swap $R_{2}$ with $R_{1}$ to put a nonzero entry at $1, 1$ .

$[\begin{array}{c} - 10 & - 13 & 4 & 0 \\ 0 & - 2 & 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 9 & 0 \end{array}]$

단계 3.3.2.2

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{10}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{10}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{10} \cdot - 10 & - \frac{1}{10} \cdot - 13 & - \frac{1}{10} \cdot 4 & - \frac{1}{10} \cdot 0 \\ 0 & - 2 & 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 9 & 0 \end{array}]$

단계 3.3.2.2.2

$R_{1}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{13}{10} & - \frac{2}{5} & 0 \\ 0 & - 2 & 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 9 & 0 \end{array}]$

단계 3.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 5 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 5 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{13}{10} & - \frac{2}{5} & 0 \\ 0 & - 2 & 4 & 0 \\ - 5 + 5 \cdot 1 & - 1 + 5 (\frac{13}{10}) & - 9 + 5 (- \frac{2}{5}) & 0 + 5 \cdot 0 \end{array}]$

단계 3.3.2.3.2

$R_{3}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{13}{10} & - \frac{2}{5} & 0 \\ 0 & - 2 & 4 & 0 \\ 0 & \frac{11}{2} & - 11 & 0 \end{array}]$

단계 3.3.2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{2}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{2}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{13}{10} & - \frac{2}{5} & 0 \\ - \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot 4 & - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ 0 & \frac{11}{2} & - 11 & 0 \end{array}]$

단계 3.3.2.4.2

$R_{2}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{13}{10} & - \frac{2}{5} & 0 \\ 0 & 1 & - 2 & 0 \\ 0 & \frac{11}{2} & - 11 & 0 \end{array}]$

단계 3.3.2.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - \frac{11}{2} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - \frac{11}{2} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{13}{10} & - \frac{2}{5} & 0 \\ 0 & 1 & - 2 & 0 \\ 0 - \frac{11}{2} \cdot 0 & \frac{11}{2} - \frac{11}{2} \cdot 1 & - 11 - \frac{11}{2} \cdot - 2 & 0 - \frac{11}{2} \cdot 0 \end{array}]$

단계 3.3.2.5.2

$R_{3}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{13}{10} & - \frac{2}{5} & 0 \\ 0 & 1 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

단계 3.3.2.6

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{13}{10} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.6.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{13}{10} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{13}{10} \cdot 0 & \frac{13}{10} - \frac{13}{10} \cdot 1 & - \frac{2}{5} - \frac{13}{10} \cdot - 2 & 0 - \frac{13}{10} \cdot 0 \\ 0 & 1 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

단계 3.3.2.6.2

$R_{1}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{11}{5} & 0 \\ 0 & 1 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

단계 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + \frac{11}{5} z = 0$

$y - 2 z = 0$

$0 = 0$

단계 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{11 z}{5} \\ 2 z \\ z \end{array}]$

단계 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} - \frac{11}{5} \\ 2 \\ 1 \end{array}]$

단계 3.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} - \frac{11}{5} \\ 2 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

단계 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - \frac{11}{5} \\ 2 \\ 1 \end{array}]}$

단계 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = - 8$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

알고 있는 값을 공식에 대입합니다.

$N ([\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + 8 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

단계 4.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1

행렬의 각 원소에 $8$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} 8 \cdot 1 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 \\ 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 & 8 \cdot 0 \\ 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 \end{array}]$

단계 4.2.1.2

행렬의 각 원소를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.2.1

$8$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} 8 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 \\ 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 & 8 \cdot 0 \\ 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 \end{array}]$

단계 4.2.1.2.2

$8$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \cdot 0 \\ 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 & 8 \cdot 0 \\ 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 \end{array}]$

단계 4.2.1.2.3

$8$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} 8 & 0 & 0 \\ 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 & 8 \cdot 0 \\ 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 \end{array}]$

단계 4.2.1.2.4

$8$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} 8 & 0 & 0 \\ 0 & 8 \cdot 1 & 8 \cdot 0 \\ 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 \end{array}]$

단계 4.2.1.2.5

$8$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} 8 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 8 \cdot 0 \\ 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 \end{array}]$

단계 4.2.1.2.6

$8$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} 8 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 \\ 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 \end{array}]$

단계 4.2.1.2.7

$8$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} 8 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 \\ 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 \end{array}]$

단계 4.2.1.2.8

$8$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} 8 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 8 \cdot 1 \end{array}]$

단계 4.2.1.2.9

$8$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} 8 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 8 \end{array}]$

단계 4.2.2

해당하는 원소를 더합니다.

$[\begin{array}{c} 3 + 8 & - 2 + 0 & 4 + 0 \\ - 10 + 0 & - 10 + 8 & 4 + 0 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 6 + 8 \end{array}]$

단계 4.2.3

Simplify each element.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.3.1

$3$ 를 $8$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 11 & - 2 + 0 & 4 + 0 \\ - 10 + 0 & - 10 + 8 & 4 + 0 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 6 + 8 \end{array}]$

단계 4.2.3.2

$- 2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 11 & - 2 & 4 + 0 \\ - 10 + 0 & - 10 + 8 & 4 + 0 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 6 + 8 \end{array}]$

단계 4.2.3.3

$4$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 11 & - 2 & 4 \\ - 10 + 0 & - 10 + 8 & 4 + 0 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 6 + 8 \end{array}]$

단계 4.2.3.4

$- 10$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 11 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 + 8 & 4 + 0 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 6 + 8 \end{array}]$

단계 4.2.3.5

$- 10$ 를 $8$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 11 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 2 & 4 + 0 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 6 + 8 \end{array}]$

단계 4.2.3.6

$4$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 11 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 2 & 4 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 6 + 8 \end{array}]$

단계 4.2.3.7

$- 5$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 11 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 2 & 4 \\ - 5 & - 1 + 0 & - 6 + 8 \end{array}]$

단계 4.2.3.8

$- 1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 11 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 2 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 + 8 \end{array}]$

단계 4.2.3.9

$- 6$ 를 $8$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 11 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 2 & 4 \\ - 5 & - 1 & 2 \end{array}]$

단계 4.3

Find the null space when $λ = - 8$ .

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단계 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 11 & - 2 & 4 & 0 \\ - 10 & - 2 & 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & 2 & 0 \end{array}]$

단계 4.3.2

기약 행 사다리꼴을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{11}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{11}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{11}{11} & \frac{- 2}{11} & \frac{4}{11} & \frac{0}{11} \\ - 10 & - 2 & 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & 2 & 0 \end{array}]$

단계 4.3.2.1.2

$R_{1}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{11} & \frac{4}{11} & 0 \\ - 10 & - 2 & 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & 2 & 0 \end{array}]$

단계 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 10 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 10 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{11} & \frac{4}{11} & 0 \\ - 10 + 10 \cdot 1 & - 2 + 10 (- \frac{2}{11}) & 4 + 10 (\frac{4}{11}) & 0 + 10 \cdot 0 \\ - 5 & - 1 & 2 & 0 \end{array}]$

단계 4.3.2.2.2

$R_{2}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{11} & \frac{4}{11} & 0 \\ 0 & - \frac{42}{11} & \frac{84}{11} & 0 \\ - 5 & - 1 & 2 & 0 \end{array}]$

단계 4.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 5 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 5 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{11} & \frac{4}{11} & 0 \\ 0 & - \frac{42}{11} & \frac{84}{11} & 0 \\ - 5 + 5 \cdot 1 & - 1 + 5 (- \frac{2}{11}) & 2 + 5 (\frac{4}{11}) & 0 + 5 \cdot 0 \end{array}]$

단계 4.3.2.3.2

$R_{3}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{11} & \frac{4}{11} & 0 \\ 0 & - \frac{42}{11} & \frac{84}{11} & 0 \\ 0 & - \frac{21}{11} & \frac{42}{11} & 0 \end{array}]$

단계 4.3.2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{11}{42}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{11}{42}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{11} & \frac{4}{11} & 0 \\ - \frac{11}{42} \cdot 0 & - \frac{11}{42} (- \frac{42}{11}) & - \frac{11}{42} \cdot \frac{84}{11} & - \frac{11}{42} \cdot 0 \\ 0 & - \frac{21}{11} & \frac{42}{11} & 0 \end{array}]$

단계 4.3.2.4.2

$R_{2}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{11} & \frac{4}{11} & 0 \\ 0 & 1 & - 2 & 0 \\ 0 & - \frac{21}{11} & \frac{42}{11} & 0 \end{array}]$

단계 4.3.2.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + \frac{21}{11} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + \frac{21}{11} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{11} & \frac{4}{11} & 0 \\ 0 & 1 & - 2 & 0 \\ 0 + \frac{21}{11} \cdot 0 & - \frac{21}{11} + \frac{21}{11} \cdot 1 & \frac{42}{11} + \frac{21}{11} \cdot - 2 & 0 + \frac{21}{11} \cdot 0 \end{array}]$

단계 4.3.2.5.2

$R_{3}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{11} & \frac{4}{11} & 0 \\ 0 & 1 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

단계 4.3.2.6

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{2}{11} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.6.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{2}{11} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{2}{11} \cdot 0 & - \frac{2}{11} + \frac{2}{11} \cdot 1 & \frac{4}{11} + \frac{2}{11} \cdot - 2 & 0 + \frac{2}{11} \cdot 0 \\ 0 & 1 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

단계 4.3.2.6.2

$R_{1}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

단계 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x = 0$

$y - 2 z = 0$

$0 = 0$

단계 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 2 z \\ z \end{array}]$

단계 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 1 \end{array}]$

단계 4.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

단계 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 1 \end{array}]}$

단계 5

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} - \frac{11}{5} \\ 2 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 1 \end{array}]}$