선형 대수 예제

$a = [\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}]$

단계 1

고유값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

특성방정식 $p (λ)$ 를 구하기 위하여 공식을 세웁니다.

$p (λ) = 행렬식 (A - λ I_{3})$

단계 1.2

크기가 $3$ 인 단위행렬은 주대각선이 1이고 나머지는 0인 $3 \times 3$ 정방행렬입니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

단계 1.3

알고 있는 값을 $p (λ) = 행렬식 (A - λ I_{3})$ 에 대입합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$A$ 에 $[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}]$ 를 대입합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] - λ I_{3})$

단계 1.3.2

$I_{3}$ 에 $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ 를 대입합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

단계 1.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1.1

행렬의 각 원소에 $- λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2

행렬의 각 원소를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1.2.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2.2

$- λ \cdot 0$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1.2.2.1

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2.2.2

$0$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2.3

$- λ \cdot 0$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1.2.3.1

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2.3.2

$0$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2.4

$- λ \cdot 0$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1.2.4.1

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2.4.2

$0$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2.5

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2.6

$- λ \cdot 0$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1.2.6.1

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2.6.2

$0$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2.7

$- λ \cdot 0$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1.2.7.1

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2.7.2

$0$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2.8

$- λ \cdot 0$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1.2.8.1

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2.8.2

$0$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2.9

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

단계 1.4.2

해당하는 원소를 더합니다.

$p (λ) = 행렬식 [\begin{array}{c} 8 - λ & - 6 + 0 & 2 + 0 \\ - 6 + 0 & 7 - λ & - 4 + 0 \\ 2 + 0 & - 4 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

단계 1.4.3

Simplify each element.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.3.1

$- 6$ 를 $0$ 에 더합니다.

$p (λ) = 행렬식 [\begin{array}{c} 8 - λ & - 6 & 2 + 0 \\ - 6 + 0 & 7 - λ & - 4 + 0 \\ 2 + 0 & - 4 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

단계 1.4.3.2

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$p (λ) = 행렬식 [\begin{array}{c} 8 - λ & - 6 & 2 \\ - 6 + 0 & 7 - λ & - 4 + 0 \\ 2 + 0 & - 4 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

단계 1.4.3.3

$- 6$ 를 $0$ 에 더합니다.

$p (λ) = 행렬식 [\begin{array}{c} 8 - λ & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 - λ & - 4 + 0 \\ 2 + 0 & - 4 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

단계 1.4.3.4

$- 4$ 를 $0$ 에 더합니다.

$p (λ) = 행렬식 [\begin{array}{c} 8 - λ & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 - λ & - 4 \\ 2 + 0 & - 4 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

단계 1.4.3.5

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$p (λ) = 행렬식 [\begin{array}{c} 8 - λ & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 - λ & - 4 \\ 2 & - 4 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

단계 1.4.3.6

$- 4$ 를 $0$ 에 더합니다.

$p (λ) = 행렬식 [\begin{array}{c} 8 - λ & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 - λ & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 - λ \end{array}]$

단계 1.5

Find the determinant.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

단계 1.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

단계 1.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 7 - λ & - 4 \\ - 4 & 3 - λ \end{array} |$

단계 1.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(8 - λ) | \begin{array}{c} 7 - λ & - 4 \\ - 4 & 3 - λ \end{array} |$

단계 1.5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 6 & - 4 \\ 2 & 3 - λ \end{array} |$

단계 1.5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$6 | \begin{array}{c} - 6 & - 4 \\ 2 & 3 - λ \end{array} |$

단계 1.5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 6 & 7 - λ \\ 2 & - 4 \end{array} |$

단계 1.5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$2 | \begin{array}{c} - 6 & 7 - λ \\ 2 & - 4 \end{array} |$

단계 1.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (8 - λ) | \begin{array}{c} 7 - λ & - 4 \\ - 4 & 3 - λ \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} - 6 & - 4 \\ 2 & 3 - λ \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} - 6 & 7 - λ \\ 2 & - 4 \end{array} |$

단계 1.5.2

$| \begin{array}{c} 7 - λ & - 4 \\ - 4 & 3 - λ \end{array} |$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.1

$2 \times 2$ 행렬의 행렬식은 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 공식을 이용해 계산합니다.

$p (λ) = (8 - λ) ((7 - λ) (3 - λ) - (- 4 \cdot - 4)) + 6 | \begin{array}{c} - 6 & - 4 \\ 2 & 3 - λ \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} - 6 & 7 - λ \\ 2 & - 4 \end{array} |$

단계 1.5.2.2

행렬식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.2.1.1

FOIL 계산법을 이용하여 $(7 - λ) (3 - λ)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.2.1.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$p (λ) = (8 - λ) (7 (3 - λ) - λ (3 - λ) - (- 4 \cdot - 4)) + 6 | \begin{array}{c} - 6 & - 4 \\ 2 & 3 - λ \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} - 6 & 7 - λ \\ 2 & - 4 \end{array} |$

단계 1.5.2.2.1.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$p (λ) = (8 - λ) (7 \cdot 3 + 7 (- λ) - λ (3 - λ) - (- 4 \cdot - 4)) + 6 | \begin{array}{c} - 6 & - 4 \\ 2 & 3 - λ \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} - 6 & 7 - λ \\ 2 & - 4 \end{array} |$

단계 1.5.2.2.1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$p (λ) = (8 - λ) (7 \cdot 3 + 7 (- λ) - λ \cdot 3 - λ (- λ) - (- 4 \cdot - 4)) + 6 | \begin{array}{c} - 6 & - 4 \\ 2 & 3 - λ \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} - 6 & 7 - λ \\ 2 & - 4 \end{array} |$

단계 1.5.2.2.1.2

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.2.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.2.1.2.1.1

$7$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$p (λ) = (8 - λ) (21 + 7 (- λ) - λ \cdot 3 - λ (- λ) - (- 4 \cdot - 4)) + 6 | \begin{array}{c} - 6 & - 4 \\ 2 & 3 - λ \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} - 6 & 7 - λ \\ 2 & - 4 \end{array} |$

단계 1.5.2.2.1.2.1.2

$- 1$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$p (λ) = (8 - λ) (21 - 7 λ - λ \cdot 3 - λ (- λ) - (- 4 \cdot - 4)) + 6 | \begin{array}{c} - 6 & - 4 \\ 2 & 3 - λ \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} - 6 & 7 - λ \\ 2 & - 4 \end{array} |$

단계 1.5.2.2.1.2.1.3

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = (8 - λ) (21 - 7 λ - 3 λ - λ (- λ) - (- 4 \cdot - 4)) + 6 | \begin{array}{c} - 6 & - 4 \\ 2 & 3 - λ \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} - 6 & 7 - λ \\ 2 & - 4 \end{array} |$

단계 1.5.2.2.1.2.1.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$p (λ) = (8 - λ) (21 - 7 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 4 \cdot - 4)) + 6 | \begin{array}{c} - 6 & - 4 \\ 2 & 3 - λ \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} - 6 & 7 - λ \\ 2 & - 4 \end{array} |$

단계 1.5.2.2.1.2.1.5

지수를 더하여 $λ$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.2.1.2.1.5.1

$λ$ 를 옮깁니다.

$p (λ) = (8 - λ) (21 - 7 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 4 \cdot - 4)) + 6 | \begin{array}{c} - 6 & - 4 \\ 2 & 3 - λ \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} - 6 & 7 - λ \\ 2 & - 4 \end{array} |$

단계 1.5.2.2.1.2.1.5.2

$λ$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = (8 - λ) (21 - 7 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 4 \cdot - 4)) + 6 | \begin{array}{c} - 6 & - 4 \\ 2 & 3 - λ \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} - 6 & 7 - λ \\ 2 & - 4 \end{array} |$

단계 1.5.2.2.1.2.1.6

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = (8 - λ) (21 - 7 λ - 3 λ + 1 λ^{2} - (- 4 \cdot - 4)) + 6 | \begin{array}{c} - 6 & - 4 \\ 2 & 3 - λ \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} - 6 & 7 - λ \\ 2 & - 4 \end{array} |$

단계 1.5.2.2.1.2.1.7

$λ^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = (8 - λ) (21 - 7 λ - 3 λ + λ^{2} - (- 4 \cdot - 4)) + 6 | \begin{array}{c} - 6 & - 4 \\ 2 & 3 - λ \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} - 6 & 7 - λ \\ 2 & - 4 \end{array} |$

단계 1.5.2.2.1.2.2

$- 7 λ$ 에서 $3 λ$ 을 뺍니다.

$p (λ) = (8 - λ) (21 - 10 λ + λ^{2} - (- 4 \cdot - 4)) + 6 | \begin{array}{c} - 6 & - 4 \\ 2 & 3 - λ \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} - 6 & 7 - λ \\ 2 & - 4 \end{array} |$

단계 1.5.2.2.1.3

$- (- 4 \cdot - 4)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.2.1.3.1

$- 4$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$p (λ) = (8 - λ) (21 - 10 λ + λ^{2} - 1 \cdot 16) + 6 | \begin{array}{c} - 6 & - 4 \\ 2 & 3 - λ \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} - 6 & 7 - λ \\ 2 & - 4 \end{array} |$

단계 1.5.2.2.1.3.2

$- 1$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$p (λ) = (8 - λ) (21 - 10 λ + λ^{2} - 16) + 6 | \begin{array}{c} - 6 & - 4 \\ 2 & 3 - λ \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} - 6 & 7 - λ \\ 2 & - 4 \end{array} |$

단계 1.5.2.2.2

$21$ 에서 $16$ 을 뺍니다.

$p (λ) = (8 - λ) (- 10 λ + λ^{2} + 5) + 6 | \begin{array}{c} - 6 & - 4 \\ 2 & 3 - λ \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} - 6 & 7 - λ \\ 2 & - 4 \end{array} |$

단계 1.5.2.2.3

$- 10 λ$ 와 $λ^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$p (λ) = (8 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 5) + 6 | \begin{array}{c} - 6 & - 4 \\ 2 & 3 - λ \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} - 6 & 7 - λ \\ 2 & - 4 \end{array} |$

단계 1.5.3

$| \begin{array}{c} - 6 & - 4 \\ 2 & 3 - λ \end{array} |$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.1

$2 \times 2$ 행렬의 행렬식은 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 공식을 이용해 계산합니다.

$p (λ) = (8 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 5) + 6 (- 6 (3 - λ) - 2 \cdot - 4) + 2 | \begin{array}{c} - 6 & 7 - λ \\ 2 & - 4 \end{array} |$

단계 1.5.3.2

행렬식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.2.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$p (λ) = (8 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 5) + 6 (- 6 \cdot 3 - 6 (- λ) - 2 \cdot - 4) + 2 | \begin{array}{c} - 6 & 7 - λ \\ 2 & - 4 \end{array} |$

단계 1.5.3.2.1.2

$- 6$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$p (λ) = (8 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 5) + 6 (- 18 - 6 (- λ) - 2 \cdot - 4) + 2 | \begin{array}{c} - 6 & 7 - λ \\ 2 & - 4 \end{array} |$

단계 1.5.3.2.1.3

$- 1$ 에 $- 6$ 을 곱합니다.

$p (λ) = (8 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 5) + 6 (- 18 + 6 λ - 2 \cdot - 4) + 2 | \begin{array}{c} - 6 & 7 - λ \\ 2 & - 4 \end{array} |$

단계 1.5.3.2.1.4

$- 2$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$p (λ) = (8 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 5) + 6 (- 18 + 6 λ + 8) + 2 | \begin{array}{c} - 6 & 7 - λ \\ 2 & - 4 \end{array} |$

단계 1.5.3.2.2

$- 18$ 를 $8$ 에 더합니다.

$p (λ) = (8 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 5) + 6 (6 λ - 10) + 2 | \begin{array}{c} - 6 & 7 - λ \\ 2 & - 4 \end{array} |$

단계 1.5.4

$| \begin{array}{c} - 6 & 7 - λ \\ 2 & - 4 \end{array} |$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.4.1

$2 \times 2$ 행렬의 행렬식은 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 공식을 이용해 계산합니다.

$p (λ) = (8 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 5) + 6 (6 λ - 10) + 2 (- 6 \cdot - 4 - 2 (7 - λ))$

단계 1.5.4.2

행렬식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.4.2.1.1

$- 6$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$p (λ) = (8 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 5) + 6 (6 λ - 10) + 2 (24 - 2 (7 - λ))$

단계 1.5.4.2.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$p (λ) = (8 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 5) + 6 (6 λ - 10) + 2 (24 - 2 \cdot 7 - 2 (- λ))$

단계 1.5.4.2.1.3

$- 2$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$p (λ) = (8 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 5) + 6 (6 λ - 10) + 2 (24 - 14 - 2 (- λ))$

단계 1.5.4.2.1.4

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$p (λ) = (8 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 5) + 6 (6 λ - 10) + 2 (24 - 14 + 2 λ)$

단계 1.5.4.2.2

$24$ 에서 $14$ 을 뺍니다.

$p (λ) = (8 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 5) + 6 (6 λ - 10) + 2 (10 + 2 λ)$

단계 1.5.4.2.3

$10$ 와 $2 λ$ 을 다시 정렬합니다.

$p (λ) = (8 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 5) + 6 (6 λ - 10) + 2 (2 λ + 10)$

단계 1.5.5

행렬식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.5.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.5.1.1

첫 번째 수식의 항과 두 번째 수식의 항을 각각 곱하여 $(8 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 5)$ 를 전개합니다.

$p (λ) = 8 λ^{2} + 8 (- 10 λ) + 8 \cdot 5 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 10 λ) - λ \cdot 5 + 6 (6 λ - 10) + 2 (2 λ + 10)$

단계 1.5.5.1.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.5.1.2.1

$- 10$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 8 λ^{2} - 80 λ + 8 \cdot 5 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 10 λ) - λ \cdot 5 + 6 (6 λ - 10) + 2 (2 λ + 10)$

단계 1.5.5.1.2.2

$8$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 8 λ^{2} - 80 λ + 40 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 10 λ) - λ \cdot 5 + 6 (6 λ - 10) + 2 (2 λ + 10)$

단계 1.5.5.1.2.3

지수를 더하여 $λ$ 에 $λ^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.5.1.2.3.1

$λ^{2}$ 를 옮깁니다.

$p (λ) = 8 λ^{2} - 80 λ + 40 - (λ^{2} λ) - λ (- 10 λ) - λ \cdot 5 + 6 (6 λ - 10) + 2 (2 λ + 10)$

단계 1.5.5.1.2.3.2

$λ^{2}$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.5.1.2.3.2.1

$λ$ 를 $1$ 승 합니다.

$p (λ) = 8 λ^{2} - 80 λ + 40 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 10 λ) - λ \cdot 5 + 6 (6 λ - 10) + 2 (2 λ + 10)$

단계 1.5.5.1.2.3.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$p (λ) = 8 λ^{2} - 80 λ + 40 - λ^{2 + 1} - λ (- 10 λ) - λ \cdot 5 + 6 (6 λ - 10) + 2 (2 λ + 10)$

단계 1.5.5.1.2.3.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$p (λ) = 8 λ^{2} - 80 λ + 40 - λ^{3} - λ (- 10 λ) - λ \cdot 5 + 6 (6 λ - 10) + 2 (2 λ + 10)$

단계 1.5.5.1.2.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$p (λ) = 8 λ^{2} - 80 λ + 40 - λ^{3} - 1 \cdot - 10 λ \cdot λ - λ \cdot 5 + 6 (6 λ - 10) + 2 (2 λ + 10)$

단계 1.5.5.1.2.5

지수를 더하여 $λ$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.5.1.2.5.1

$λ$ 를 옮깁니다.

$p (λ) = 8 λ^{2} - 80 λ + 40 - λ^{3} - 1 \cdot - 10 (λ \cdot λ) - λ \cdot 5 + 6 (6 λ - 10) + 2 (2 λ + 10)$

단계 1.5.5.1.2.5.2

$λ$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 8 λ^{2} - 80 λ + 40 - λ^{3} - 1 \cdot - 10 λ^{2} - λ \cdot 5 + 6 (6 λ - 10) + 2 (2 λ + 10)$

단계 1.5.5.1.2.6

$- 1$ 에 $- 10$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 8 λ^{2} - 80 λ + 40 - λ^{3} + 10 λ^{2} - λ \cdot 5 + 6 (6 λ - 10) + 2 (2 λ + 10)$

단계 1.5.5.1.2.7

$5$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 8 λ^{2} - 80 λ + 40 - λ^{3} + 10 λ^{2} - 5 λ + 6 (6 λ - 10) + 2 (2 λ + 10)$

단계 1.5.5.1.3

$8 λ^{2}$ 를 $10 λ^{2}$ 에 더합니다.

$p (λ) = 18 λ^{2} - 80 λ + 40 - λ^{3} - 5 λ + 6 (6 λ - 10) + 2 (2 λ + 10)$

단계 1.5.5.1.4

$- 80 λ$ 에서 $5 λ$ 을 뺍니다.

$p (λ) = 18 λ^{2} - 85 λ + 40 - λ^{3} + 6 (6 λ - 10) + 2 (2 λ + 10)$

단계 1.5.5.1.5

분배 법칙을 적용합니다.

$p (λ) = 18 λ^{2} - 85 λ + 40 - λ^{3} + 6 (6 λ) + 6 \cdot - 10 + 2 (2 λ + 10)$

단계 1.5.5.1.6

$6$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 18 λ^{2} - 85 λ + 40 - λ^{3} + 36 λ + 6 \cdot - 10 + 2 (2 λ + 10)$

단계 1.5.5.1.7

$6$ 에 $- 10$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 18 λ^{2} - 85 λ + 40 - λ^{3} + 36 λ - 60 + 2 (2 λ + 10)$

단계 1.5.5.1.8

분배 법칙을 적용합니다.

$p (λ) = 18 λ^{2} - 85 λ + 40 - λ^{3} + 36 λ - 60 + 2 (2 λ) + 2 \cdot 10$

단계 1.5.5.1.9

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 18 λ^{2} - 85 λ + 40 - λ^{3} + 36 λ - 60 + 4 λ + 2 \cdot 10$

단계 1.5.5.1.10

$2$ 에 $10$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 18 λ^{2} - 85 λ + 40 - λ^{3} + 36 λ - 60 + 4 λ + 20$

단계 1.5.5.2

$- 85 λ$ 를 $36 λ$ 에 더합니다.

$p (λ) = 18 λ^{2} - 49 λ + 40 - λ^{3} - 60 + 4 λ + 20$

단계 1.5.5.3

$- 49 λ$ 를 $4 λ$ 에 더합니다.

$p (λ) = 18 λ^{2} - 45 λ + 40 - λ^{3} - 60 + 20$

단계 1.5.5.4

$40$ 에서 $60$ 을 뺍니다.

$p (λ) = 18 λ^{2} - 45 λ - λ^{3} - 20 + 20$

단계 1.5.5.5

$18 λ^{2} - 45 λ - λ^{3} - 20 + 20$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.5.5.1

$- 20$ 를 $20$ 에 더합니다.

$p (λ) = 18 λ^{2} - 45 λ - λ^{3} + 0$

단계 1.5.5.5.2

$18 λ^{2} - 45 λ - λ^{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$p (λ) = 18 λ^{2} - 45 λ - λ^{3}$

단계 1.5.5.6

$- 45 λ$ 를 옮깁니다.

$p (λ) = 18 λ^{2} - λ^{3} - 45 λ$

단계 1.5.5.7

$18 λ^{2}$ 와 $- λ^{3}$ 을 다시 정렬합니다.

$p (λ) = - λ^{3} + 18 λ^{2} - 45 λ$

단계 1.6

특성다항식이 $0$ 이 되도록 하여 고유값 $λ$ 를 구합니다.

$- λ^{3} + 18 λ^{2} - 45 λ = 0$

단계 1.7

$λ$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.1

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.1.1

$- λ^{3} + 18 λ^{2} - 45 λ$ 에서 $- λ$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.1.1.1

$- λ^{3}$ 에서 $- λ$ 를 인수분해합니다.

$- λ \cdot λ^{2} + 18 λ^{2} - 45 λ = 0$

단계 1.7.1.1.2

$18 λ^{2}$ 에서 $- λ$ 를 인수분해합니다.

$- λ \cdot λ^{2} - λ (- 18 λ) - 45 λ = 0$

단계 1.7.1.1.3

$- 45 λ$ 에서 $- λ$ 를 인수분해합니다.

$- λ \cdot λ^{2} - λ (- 18 λ) - λ \cdot 45 = 0$

단계 1.7.1.1.4

$- λ (λ^{2}) - λ (- 18 λ)$ 에서 $- λ$ 를 인수분해합니다.

$- λ (λ^{2} - 18 λ) - λ \cdot 45 = 0$

단계 1.7.1.1.5

$- λ (λ^{2} - 18 λ) - λ (45)$ 에서 $- λ$ 를 인수분해합니다.

$- λ (λ^{2} - 18 λ + 45) = 0$

단계 1.7.1.2

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.1.2.1

AC 방법을 이용하여 $λ^{2} - 18 λ + 45$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.1.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $45$ 이고 합은 $- 18$ 입니다.

$- 15, - 3$

단계 1.7.1.2.1.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$- λ ((λ - 15) (λ - 3)) = 0$

단계 1.7.1.2.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$- λ (λ - 15) (λ - 3) = 0$

단계 1.7.2

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$λ = 0$

$λ - 15 = 0$

$λ - 3 = 0$

단계 1.7.3

$λ$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$λ = 0$

단계 1.7.4

$λ - 15$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $λ$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.4.1

$λ - 15$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$λ - 15 = 0$

단계 1.7.4.2

방정식의 양변에 $15$ 를 더합니다.

$λ = 15$

단계 1.7.5

$λ - 3$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $λ$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.5.1

$λ - 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$λ - 3 = 0$

단계 1.7.5.2

방정식의 양변에 $3$ 를 더합니다.

$λ = 3$

단계 1.7.6

$- λ (λ - 15) (λ - 3) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$λ = 0, 15, 3$

단계 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{a} = N (a - λ I_{3})$

단계 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 0$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

알고 있는 값을 공식에 대입합니다.

$N ([\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + 0 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

단계 3.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

행렬의 각 원소에 $0$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

단계 3.2.1.2

행렬의 각 원소를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.2.1

$0$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

단계 3.2.1.2.2

$0$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

단계 3.2.1.2.3

$0$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

단계 3.2.1.2.4

$0$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

단계 3.2.1.2.5

$0$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

단계 3.2.1.2.6

$0$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

단계 3.2.1.2.7

$0$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

단계 3.2.1.2.8

$0$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

단계 3.2.1.2.9

$0$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

단계 3.2.2

Adding any matrix to a null matrix is the matrix itself.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

해당하는 원소를 더합니다.

$[\begin{array}{c} 8 + 0 & - 6 + 0 & 2 + 0 \\ - 6 + 0 & 7 + 0 & - 4 + 0 \\ 2 + 0 & - 4 + 0 & 3 + 0 \end{array}]$

단계 3.2.2.2

Simplify each element.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.2.1

$8$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 + 0 & 2 + 0 \\ - 6 + 0 & 7 + 0 & - 4 + 0 \\ 2 + 0 & - 4 + 0 & 3 + 0 \end{array}]$

단계 3.2.2.2.2

$- 6$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 + 0 \\ - 6 + 0 & 7 + 0 & - 4 + 0 \\ 2 + 0 & - 4 + 0 & 3 + 0 \end{array}]$

단계 3.2.2.2.3

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 + 0 & 7 + 0 & - 4 + 0 \\ 2 + 0 & - 4 + 0 & 3 + 0 \end{array}]$

단계 3.2.2.2.4

$- 6$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 + 0 & - 4 + 0 \\ 2 + 0 & - 4 + 0 & 3 + 0 \end{array}]$

단계 3.2.2.2.5

$7$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 + 0 \\ 2 + 0 & - 4 + 0 & 3 + 0 \end{array}]$

단계 3.2.2.2.6

$- 4$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 + 0 & - 4 + 0 & 3 + 0 \end{array}]$

단계 3.2.2.2.7

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 + 0 & 3 + 0 \end{array}]$

단계 3.2.2.2.8

$- 4$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 + 0 \end{array}]$

단계 3.2.2.2.9

$3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}]$

단계 3.3

Find the null space when $λ = 0$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 & 0 \\ - 6 & 7 & - 4 & 0 \\ 2 & - 4 & 3 & 0 \end{array}]$

단계 3.3.2

기약 행 사다리꼴을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{8}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{8}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{8}{8} & \frac{- 6}{8} & \frac{2}{8} & \frac{0}{8} \\ - 6 & 7 & - 4 & 0 \\ 2 & - 4 & 3 & 0 \end{array}]$

단계 3.3.2.1.2

$R_{1}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{4} & \frac{1}{4} & 0 \\ - 6 & 7 & - 4 & 0 \\ 2 & - 4 & 3 & 0 \end{array}]$

단계 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 6 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 6 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{4} & \frac{1}{4} & 0 \\ - 6 + 6 \cdot 1 & 7 + 6 (- \frac{3}{4}) & - 4 + 6 (\frac{1}{4}) & 0 + 6 \cdot 0 \\ 2 & - 4 & 3 & 0 \end{array}]$

단계 3.3.2.2.2

$R_{2}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{4} & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & \frac{5}{2} & - \frac{5}{2} & 0 \\ 2 & - 4 & 3 & 0 \end{array}]$

단계 3.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{4} & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & \frac{5}{2} & - \frac{5}{2} & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & - 4 - 2 (- \frac{3}{4}) & 3 - 2 (\frac{1}{4}) & 0 - 2 \cdot 0 \end{array}]$

단계 3.3.2.3.2

$R_{3}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{4} & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & \frac{5}{2} & - \frac{5}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{5}{2} & \frac{5}{2} & 0 \end{array}]$

단계 3.3.2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{2}{5}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{2}{5}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{4} & \frac{1}{4} & 0 \\ \frac{2}{5} \cdot 0 & \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2} & \frac{2}{5} (- \frac{5}{2}) & \frac{2}{5} \cdot 0 \\ 0 & - \frac{5}{2} & \frac{5}{2} & 0 \end{array}]$

단계 3.3.2.4.2

$R_{2}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{4} & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & - \frac{5}{2} & \frac{5}{2} & 0 \end{array}]$

단계 3.3.2.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + \frac{5}{2} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + \frac{5}{2} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{4} & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 + \frac{5}{2} \cdot 0 & - \frac{5}{2} + \frac{5}{2} \cdot 1 & \frac{5}{2} + \frac{5}{2} \cdot - 1 & 0 + \frac{5}{2} \cdot 0 \end{array}]$

단계 3.3.2.5.2

$R_{3}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{4} & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

단계 3.3.2.6

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{3}{4} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.6.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{3}{4} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{3}{4} \cdot 0 & - \frac{3}{4} + \frac{3}{4} \cdot 1 & \frac{1}{4} + \frac{3}{4} \cdot - 1 & 0 + \frac{3}{4} \cdot 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

단계 3.3.2.6.2

$R_{1}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

단계 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - \frac{1}{2} z = 0$

$y - z = 0$

$0 = 0$

단계 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{z}{2} \\ z \\ z \end{array}]$

단계 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} \frac{1}{2} \\ 1 \\ 1 \end{array}]$

단계 3.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} \frac{1}{2} \\ 1 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

단계 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} \frac{1}{2} \\ 1 \\ 1 \end{array}]}$

단계 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 15$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

알고 있는 값을 공식에 대입합니다.

$N ([\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] - 15 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

단계 4.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1

행렬의 각 원소에 $- 15$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 15 \cdot 1 & - 15 \cdot 0 & - 15 \cdot 0 \\ - 15 \cdot 0 & - 15 \cdot 1 & - 15 \cdot 0 \\ - 15 \cdot 0 & - 15 \cdot 0 & - 15 \cdot 1 \end{array}]$

단계 4.2.1.2

행렬의 각 원소를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.2.1

$- 15$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 15 & - 15 \cdot 0 & - 15 \cdot 0 \\ - 15 \cdot 0 & - 15 \cdot 1 & - 15 \cdot 0 \\ - 15 \cdot 0 & - 15 \cdot 0 & - 15 \cdot 1 \end{array}]$

단계 4.2.1.2.2

$- 15$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 15 & 0 & - 15 \cdot 0 \\ - 15 \cdot 0 & - 15 \cdot 1 & - 15 \cdot 0 \\ - 15 \cdot 0 & - 15 \cdot 0 & - 15 \cdot 1 \end{array}]$

단계 4.2.1.2.3

$- 15$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 15 & 0 & 0 \\ - 15 \cdot 0 & - 15 \cdot 1 & - 15 \cdot 0 \\ - 15 \cdot 0 & - 15 \cdot 0 & - 15 \cdot 1 \end{array}]$

단계 4.2.1.2.4

$- 15$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 15 & 0 & 0 \\ 0 & - 15 \cdot 1 & - 15 \cdot 0 \\ - 15 \cdot 0 & - 15 \cdot 0 & - 15 \cdot 1 \end{array}]$

단계 4.2.1.2.5

$- 15$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 15 & 0 & 0 \\ 0 & - 15 & - 15 \cdot 0 \\ - 15 \cdot 0 & - 15 \cdot 0 & - 15 \cdot 1 \end{array}]$

단계 4.2.1.2.6

$- 15$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 15 & 0 & 0 \\ 0 & - 15 & 0 \\ - 15 \cdot 0 & - 15 \cdot 0 & - 15 \cdot 1 \end{array}]$

단계 4.2.1.2.7

$- 15$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 15 & 0 & 0 \\ 0 & - 15 & 0 \\ 0 & - 15 \cdot 0 & - 15 \cdot 1 \end{array}]$

단계 4.2.1.2.8

$- 15$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 15 & 0 & 0 \\ 0 & - 15 & 0 \\ 0 & 0 & - 15 \cdot 1 \end{array}]$

단계 4.2.1.2.9

$- 15$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 15 & 0 & 0 \\ 0 & - 15 & 0 \\ 0 & 0 & - 15 \end{array}]$

단계 4.2.2

해당하는 원소를 더합니다.

$[\begin{array}{c} 8 - 15 & - 6 + 0 & 2 + 0 \\ - 6 + 0 & 7 - 15 & - 4 + 0 \\ 2 + 0 & - 4 + 0 & 3 - 15 \end{array}]$

단계 4.2.3

Simplify each element.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.3.1

$8$ 에서 $15$ 을 뺍니다.

$[\begin{array}{c} - 7 & - 6 + 0 & 2 + 0 \\ - 6 + 0 & 7 - 15 & - 4 + 0 \\ 2 + 0 & - 4 + 0 & 3 - 15 \end{array}]$

단계 4.2.3.2

$- 6$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} - 7 & - 6 & 2 + 0 \\ - 6 + 0 & 7 - 15 & - 4 + 0 \\ 2 + 0 & - 4 + 0 & 3 - 15 \end{array}]$

단계 4.2.3.3

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} - 7 & - 6 & 2 \\ - 6 + 0 & 7 - 15 & - 4 + 0 \\ 2 + 0 & - 4 + 0 & 3 - 15 \end{array}]$

단계 4.2.3.4

$- 6$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} - 7 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 - 15 & - 4 + 0 \\ 2 + 0 & - 4 + 0 & 3 - 15 \end{array}]$

단계 4.2.3.5

$7$ 에서 $15$ 을 뺍니다.

$[\begin{array}{c} - 7 & - 6 & 2 \\ - 6 & - 8 & - 4 + 0 \\ 2 + 0 & - 4 + 0 & 3 - 15 \end{array}]$

단계 4.2.3.6

$- 4$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} - 7 & - 6 & 2 \\ - 6 & - 8 & - 4 \\ 2 + 0 & - 4 + 0 & 3 - 15 \end{array}]$

단계 4.2.3.7

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} - 7 & - 6 & 2 \\ - 6 & - 8 & - 4 \\ 2 & - 4 + 0 & 3 - 15 \end{array}]$

단계 4.2.3.8

$- 4$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} - 7 & - 6 & 2 \\ - 6 & - 8 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 - 15 \end{array}]$

단계 4.2.3.9

$3$ 에서 $15$ 을 뺍니다.

$[\begin{array}{c} - 7 & - 6 & 2 \\ - 6 & - 8 & - 4 \\ 2 & - 4 & - 12 \end{array}]$

단계 4.3

Find the null space when $λ = 15$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 7 & - 6 & 2 & 0 \\ - 6 & - 8 & - 4 & 0 \\ 2 & - 4 & - 12 & 0 \end{array}]$

단계 4.3.2

기약 행 사다리꼴을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{7}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{7}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{7} \cdot - 7 & - \frac{1}{7} \cdot - 6 & - \frac{1}{7} \cdot 2 & - \frac{1}{7} \cdot 0 \\ - 6 & - 8 & - 4 & 0 \\ 2 & - 4 & - 12 & 0 \end{array}]$

단계 4.3.2.1.2

$R_{1}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{6}{7} & - \frac{2}{7} & 0 \\ - 6 & - 8 & - 4 & 0 \\ 2 & - 4 & - 12 & 0 \end{array}]$

단계 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 6 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 6 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{6}{7} & - \frac{2}{7} & 0 \\ - 6 + 6 \cdot 1 & - 8 + 6 (\frac{6}{7}) & - 4 + 6 (- \frac{2}{7}) & 0 + 6 \cdot 0 \\ 2 & - 4 & - 12 & 0 \end{array}]$

단계 4.3.2.2.2

$R_{2}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{6}{7} & - \frac{2}{7} & 0 \\ 0 & - \frac{20}{7} & - \frac{40}{7} & 0 \\ 2 & - 4 & - 12 & 0 \end{array}]$

단계 4.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{6}{7} & - \frac{2}{7} & 0 \\ 0 & - \frac{20}{7} & - \frac{40}{7} & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & - 4 - 2 (\frac{6}{7}) & - 12 - 2 (- \frac{2}{7}) & 0 - 2 \cdot 0 \end{array}]$

단계 4.3.2.3.2

$R_{3}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{6}{7} & - \frac{2}{7} & 0 \\ 0 & - \frac{20}{7} & - \frac{40}{7} & 0 \\ 0 & - \frac{40}{7} & - \frac{80}{7} & 0 \end{array}]$

단계 4.3.2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{7}{20}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{7}{20}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{6}{7} & - \frac{2}{7} & 0 \\ - \frac{7}{20} \cdot 0 & - \frac{7}{20} (- \frac{20}{7}) & - \frac{7}{20} (- \frac{40}{7}) & - \frac{7}{20} \cdot 0 \\ 0 & - \frac{40}{7} & - \frac{80}{7} & 0 \end{array}]$

단계 4.3.2.4.2

$R_{2}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{6}{7} & - \frac{2}{7} & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & - \frac{40}{7} & - \frac{80}{7} & 0 \end{array}]$

단계 4.3.2.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + \frac{40}{7} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + \frac{40}{7} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{6}{7} & - \frac{2}{7} & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 + \frac{40}{7} \cdot 0 & - \frac{40}{7} + \frac{40}{7} \cdot 1 & - \frac{80}{7} + \frac{40}{7} \cdot 2 & 0 + \frac{40}{7} \cdot 0 \end{array}]$

단계 4.3.2.5.2

$R_{3}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{6}{7} & - \frac{2}{7} & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

단계 4.3.2.6

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{6}{7} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.6.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{6}{7} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{6}{7} \cdot 0 & \frac{6}{7} - \frac{6}{7} \cdot 1 & - \frac{2}{7} - \frac{6}{7} \cdot 2 & 0 - \frac{6}{7} \cdot 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

단계 4.3.2.6.2

$R_{1}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

단계 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - 2 z = 0$

$y + 2 z = 0$

$0 = 0$

단계 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 2 z \\ - 2 z \\ z \end{array}]$

단계 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} 2 \\ - 2 \\ 1 \end{array}]$

단계 4.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} 2 \\ - 2 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

단계 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 2 \\ - 2 \\ 1 \end{array}]}$

단계 5

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 3$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

알고 있는 값을 공식에 대입합니다.

$N ([\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] - 3 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

단계 5.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

행렬의 각 원소에 $- 3$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

단계 5.2.1.2

행렬의 각 원소를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.2.1

$- 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

단계 5.2.1.2.2

$- 3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

단계 5.2.1.2.3

$- 3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

단계 5.2.1.2.4

$- 3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

단계 5.2.1.2.5

$- 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

단계 5.2.1.2.6

$- 3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

단계 5.2.1.2.7

$- 3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 \\ 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

단계 5.2.1.2.8

$- 3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

단계 5.2.1.2.9

$- 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 \end{array}]$

단계 5.2.2

해당하는 원소를 더합니다.

$[\begin{array}{c} 8 - 3 & - 6 + 0 & 2 + 0 \\ - 6 + 0 & 7 - 3 & - 4 + 0 \\ 2 + 0 & - 4 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

단계 5.2.3

Simplify each element.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1

$8$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$[\begin{array}{c} 5 & - 6 + 0 & 2 + 0 \\ - 6 + 0 & 7 - 3 & - 4 + 0 \\ 2 + 0 & - 4 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

단계 5.2.3.2

$- 6$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 5 & - 6 & 2 + 0 \\ - 6 + 0 & 7 - 3 & - 4 + 0 \\ 2 + 0 & - 4 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

단계 5.2.3.3

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 5 & - 6 & 2 \\ - 6 + 0 & 7 - 3 & - 4 + 0 \\ 2 + 0 & - 4 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

단계 5.2.3.4

$- 6$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 5 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 - 3 & - 4 + 0 \\ 2 + 0 & - 4 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

단계 5.2.3.5

$7$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$[\begin{array}{c} 5 & - 6 & 2 \\ - 6 & 4 & - 4 + 0 \\ 2 + 0 & - 4 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

단계 5.2.3.6

$- 4$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 5 & - 6 & 2 \\ - 6 & 4 & - 4 \\ 2 + 0 & - 4 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

단계 5.2.3.7

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 5 & - 6 & 2 \\ - 6 & 4 & - 4 \\ 2 & - 4 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

단계 5.2.3.8

$- 4$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 5 & - 6 & 2 \\ - 6 & 4 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 - 3 \end{array}]$

단계 5.2.3.9

$3$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$[\begin{array}{c} 5 & - 6 & 2 \\ - 6 & 4 & - 4 \\ 2 & - 4 & 0 \end{array}]$

단계 5.3

Find the null space when $λ = 3$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & - 6 & 2 & 0 \\ - 6 & 4 & - 4 & 0 \\ 2 & - 4 & 0 & 0 \end{array}]$

단계 5.3.2

기약 행 사다리꼴을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{5}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{5}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{5} & \frac{- 6}{5} & \frac{2}{5} & \frac{0}{5} \\ - 6 & 4 & - 4 & 0 \\ 2 & - 4 & 0 & 0 \end{array}]$

단계 5.3.2.1.2

$R_{1}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{6}{5} & \frac{2}{5} & 0 \\ - 6 & 4 & - 4 & 0 \\ 2 & - 4 & 0 & 0 \end{array}]$

단계 5.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 6 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 6 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{6}{5} & \frac{2}{5} & 0 \\ - 6 + 6 \cdot 1 & 4 + 6 (- \frac{6}{5}) & - 4 + 6 (\frac{2}{5}) & 0 + 6 \cdot 0 \\ 2 & - 4 & 0 & 0 \end{array}]$

단계 5.3.2.2.2

$R_{2}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{6}{5} & \frac{2}{5} & 0 \\ 0 & - \frac{16}{5} & - \frac{8}{5} & 0 \\ 2 & - 4 & 0 & 0 \end{array}]$

단계 5.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{6}{5} & \frac{2}{5} & 0 \\ 0 & - \frac{16}{5} & - \frac{8}{5} & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & - 4 - 2 (- \frac{6}{5}) & 0 - 2 (\frac{2}{5}) & 0 - 2 \cdot 0 \end{array}]$

단계 5.3.2.3.2

$R_{3}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{6}{5} & \frac{2}{5} & 0 \\ 0 & - \frac{16}{5} & - \frac{8}{5} & 0 \\ 0 & - \frac{8}{5} & - \frac{4}{5} & 0 \end{array}]$

단계 5.3.2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{5}{16}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{5}{16}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{6}{5} & \frac{2}{5} & 0 \\ - \frac{5}{16} \cdot 0 & - \frac{5}{16} (- \frac{16}{5}) & - \frac{5}{16} (- \frac{8}{5}) & - \frac{5}{16} \cdot 0 \\ 0 & - \frac{8}{5} & - \frac{4}{5} & 0 \end{array}]$

단계 5.3.2.4.2

$R_{2}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{6}{5} & \frac{2}{5} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{8}{5} & - \frac{4}{5} & 0 \end{array}]$

단계 5.3.2.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + \frac{8}{5} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + \frac{8}{5} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{6}{5} & \frac{2}{5} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 + \frac{8}{5} \cdot 0 & - \frac{8}{5} + \frac{8}{5} \cdot 1 & - \frac{4}{5} + \frac{8}{5} \cdot \frac{1}{2} & 0 + \frac{8}{5} \cdot 0 \end{array}]$

단계 5.3.2.5.2

$R_{3}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{6}{5} & \frac{2}{5} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

단계 5.3.2.6

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{6}{5} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.6.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{6}{5} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{6}{5} \cdot 0 & - \frac{6}{5} + \frac{6}{5} \cdot 1 & \frac{2}{5} + \frac{6}{5} \cdot \frac{1}{2} & 0 + \frac{6}{5} \cdot 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

단계 5.3.2.6.2

$R_{1}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

단계 5.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + z = 0$

$y + \frac{1}{2} z = 0$

$0 = 0$

단계 5.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - z \\ - \frac{z}{2} \\ z \end{array}]$

단계 5.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} - 1 \\ - \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}]$

단계 5.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} - 1 \\ - \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

단계 5.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - 1 \\ - \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}]}$

단계 6

The eigenspace of $a$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} \frac{1}{2} \\ 1 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 2 \\ - 2 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - 1 \\ - \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}]}$