선형 대수 예제

$[\begin{array}{c} 23 & - 5 \\ 65 & - 7 \end{array}]$

단계 1

특성방정식 $p (λ)$ 를 구하기 위하여 공식을 세웁니다.

$p (λ) = 행렬식 (A - λ I_{2})$

단계 2

크기가 $2$ 인 단위행렬은 주대각선이 1이고 나머지는 0인 $2 \times 2$ 정방행렬입니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

단계 3

알고 있는 값을 $p (λ) = 행렬식 (A - λ I_{2})$ 에 대입합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$A$ 에 $[\begin{array}{c} 23 & - 5 \\ 65 & - 7 \end{array}]$ 를 대입합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 23 & - 5 \\ 65 & - 7 \end{array}] - λ I_{2})$

단계 3.2

$I_{2}$ 에 $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ 를 대입합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 23 & - 5 \\ 65 & - 7 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

단계 4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

행렬의 각 원소에 $- λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 23 & - 5 \\ 65 & - 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 4.1.2

행렬의 각 원소를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 23 & - 5 \\ 65 & - 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 4.1.2.2

$- λ \cdot 0$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.2.1

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 23 & - 5 \\ 65 & - 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 4.1.2.2.2

$0$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 23 & - 5 \\ 65 & - 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 4.1.2.3

$- λ \cdot 0$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.3.1

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 23 & - 5 \\ 65 & - 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 4.1.2.3.2

$0$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 23 & - 5 \\ 65 & - 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 4.1.2.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 23 & - 5 \\ 65 & - 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

단계 4.2

해당하는 원소를 더합니다.

$p (λ) = 행렬식 [\begin{array}{c} 23 - λ & - 5 + 0 \\ 65 + 0 & - 7 - λ \end{array}]$

단계 4.3

Simplify each element.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$- 5$ 를 $0$ 에 더합니다.

$p (λ) = 행렬식 [\begin{array}{c} 23 - λ & - 5 \\ 65 + 0 & - 7 - λ \end{array}]$

단계 4.3.2

$65$ 를 $0$ 에 더합니다.

$p (λ) = 행렬식 [\begin{array}{c} 23 - λ & - 5 \\ 65 & - 7 - λ \end{array}]$

단계 5

Find the determinant.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$2 \times 2$ 행렬의 행렬식은 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 공식을 이용해 계산합니다.

$p (λ) = (23 - λ) (- 7 - λ) - 65 \cdot - 5$

단계 5.2

행렬식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

FOIL 계산법을 이용하여 $(23 - λ) (- 7 - λ)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$p (λ) = 23 (- 7 - λ) - λ (- 7 - λ) - 65 \cdot - 5$

단계 5.2.1.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$p (λ) = 23 \cdot - 7 + 23 (- λ) - λ (- 7 - λ) - 65 \cdot - 5$

단계 5.2.1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$p (λ) = 23 \cdot - 7 + 23 (- λ) - λ \cdot - 7 - λ (- λ) - 65 \cdot - 5$

단계 5.2.1.2

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.2.1.1

$23$ 에 $- 7$ 을 곱합니다.

$p (λ) = - 161 + 23 (- λ) - λ \cdot - 7 - λ (- λ) - 65 \cdot - 5$

단계 5.2.1.2.1.2

$- 1$ 에 $23$ 을 곱합니다.

$p (λ) = - 161 - 23 λ - λ \cdot - 7 - λ (- λ) - 65 \cdot - 5$

단계 5.2.1.2.1.3

$- 7$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = - 161 - 23 λ + 7 λ - λ (- λ) - 65 \cdot - 5$

단계 5.2.1.2.1.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$p (λ) = - 161 - 23 λ + 7 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 65 \cdot - 5$

단계 5.2.1.2.1.5

지수를 더하여 $λ$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.2.1.5.1

$λ$ 를 옮깁니다.

$p (λ) = - 161 - 23 λ + 7 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 65 \cdot - 5$

단계 5.2.1.2.1.5.2

$λ$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = - 161 - 23 λ + 7 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 65 \cdot - 5$

단계 5.2.1.2.1.6

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = - 161 - 23 λ + 7 λ + 1 λ^{2} - 65 \cdot - 5$

단계 5.2.1.2.1.7

$λ^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = - 161 - 23 λ + 7 λ + λ^{2} - 65 \cdot - 5$

단계 5.2.1.2.2

$- 23 λ$ 를 $7 λ$ 에 더합니다.

$p (λ) = - 161 - 16 λ + λ^{2} - 65 \cdot - 5$

단계 5.2.1.3

$- 65$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$p (λ) = - 161 - 16 λ + λ^{2} + 325$

단계 5.2.2

$- 161$ 를 $325$ 에 더합니다.

$p (λ) = - 16 λ + λ^{2} + 164$

단계 5.2.3

$- 16 λ$ 와 $λ^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$p (λ) = λ^{2} - 16 λ + 164$

단계 6

특성다항식이 $0$ 이 되도록 하여 고유값 $λ$ 를 구합니다.

$λ^{2} - 16 λ + 164 = 0$

단계 7

$λ$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 7.2

이차함수의 근의 공식에 $a = 1$ , $b = - 16$ , $c = 164$ 을 대입하여 $λ$ 를 구합니다.

$\frac{16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 164)}}{2 \cdot 1}$

단계 7.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1.1

$- 16$ 를 $2$ 승 합니다.

$λ = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 1 \cdot 164}}{2 \cdot 1}$

단계 7.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 164$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1.2.1

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$λ = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 164}}{2 \cdot 1}$

단계 7.3.1.2.2

$- 4$ 에 $164$ 을 곱합니다.

$λ = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 656}}{2 \cdot 1}$

단계 7.3.1.3

$256$ 에서 $656$ 을 뺍니다.

$λ = \frac{16 \pm \sqrt{- 400}}{2 \cdot 1}$

단계 7.3.1.4

$- 400$ 을 $- 1 (400)$ 로 바꿔 씁니다.

$λ = \frac{16 \pm \sqrt{- 1 \cdot 400}}{2 \cdot 1}$

단계 7.3.1.5

$\sqrt{- 1 (400)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{400}$ 로 바꿔 씁니다.

$λ = \frac{16 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{400}}{2 \cdot 1}$

단계 7.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$λ = \frac{16 \pm i \cdot \sqrt{400}}{2 \cdot 1}$

단계 7.3.1.7

$400$ 을 $20^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$λ = \frac{16 \pm i \cdot \sqrt{20^{2}}}{2 \cdot 1}$

단계 7.3.1.8

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$λ = \frac{16 \pm i \cdot 20}{2 \cdot 1}$

단계 7.3.1.9

$i$ 의 왼쪽으로 $20$ 이동하기

$λ = \frac{16 \pm 20 i}{2 \cdot 1}$

단계 7.3.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$λ = \frac{16 \pm 20 i}{2}$

단계 7.3.3

$\frac{16 \pm 20 i}{2}$ 을 간단히 합니다.

$λ = 8 \pm 10 i$

단계 7.4

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$λ = 8 + 10 i, 8 - 10 i$