선형 대수 예제

$[\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} \end{array}]$

단계 1

특성방정식 $p (λ)$ 를 구하기 위하여 공식을 세웁니다.

$p (λ) = 행렬식 (A - λ I_{2})$

단계 2

크기가 $2$ 인 단위행렬은 주대각선이 1이고 나머지는 0인 $2 \times 2$ 정방행렬입니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

단계 3

알고 있는 값을 $p (λ) = 행렬식 (A - λ I_{2})$ 에 대입합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$A$ 에 $[\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} \end{array}]$ 를 대입합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} \end{array}] - λ I_{2})$

단계 3.2

$I_{2}$ 에 $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ 를 대입합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

단계 4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

행렬의 각 원소에 $- λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 4.1.2

행렬의 각 원소를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 4.1.2.2

$- λ \cdot 0$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.2.1

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 4.1.2.2.2

$0$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 4.1.2.3

$- λ \cdot 0$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.3.1

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 4.1.2.3.2

$0$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 4.1.2.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

단계 4.2

해당하는 원소를 더합니다.

$p (λ) = 행렬식 [\begin{array}{c} 0 - λ & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & \sqrt{2} - λ \end{array}]$

단계 4.3

Simplify each element.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$0$ 에서 $λ$ 을 뺍니다.

$p (λ) = 행렬식 [\begin{array}{c} - λ & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & \sqrt{2} - λ \end{array}]$

단계 4.3.2

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$p (λ) = 행렬식 [\begin{array}{c} - λ & 1 \\ - 1 + 0 & \sqrt{2} - λ \end{array}]$

단계 4.3.3

$- 1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$p (λ) = 행렬식 [\begin{array}{c} - λ & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} - λ \end{array}]$

단계 5

Find the determinant.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$2 \times 2$ 행렬의 행렬식은 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 공식을 이용해 계산합니다.

$p (λ) = - λ (\sqrt{2} - λ) - (- 1 \cdot 1)$

단계 5.2

행렬식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$p (λ) = - λ \sqrt{2} - λ (- λ) - (- 1 \cdot 1)$

단계 5.2.1.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$p (λ) = - λ \sqrt{2} - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 1 \cdot 1)$

단계 5.2.1.3

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.3.1

지수를 더하여 $λ$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.3.1.1

$λ$ 를 옮깁니다.

$p (λ) = - λ \sqrt{2} - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 1 \cdot 1)$

단계 5.2.1.3.1.2

$λ$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = - λ \sqrt{2} - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 1)$

단계 5.2.1.3.2

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = - λ \sqrt{2} + 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 1)$

단계 5.2.1.3.3

$λ^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = - λ \sqrt{2} + λ^{2} - (- 1 \cdot 1)$

단계 5.2.1.4

$- (- 1 \cdot 1)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.4.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = - λ \sqrt{2} + λ^{2} - - 1$

단계 5.2.1.4.2

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = - λ \sqrt{2} + λ^{2} + 1$

단계 5.2.2

$- λ \sqrt{2}$ 와 $λ^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$p (λ) = λ^{2} - λ \sqrt{2} + 1$

단계 6

특성다항식이 $0$ 이 되도록 하여 고유값 $λ$ 를 구합니다.

$λ^{2} - λ \sqrt{2} + 1 = 0$

단계 7

$λ$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 7.2

이차함수의 근의 공식에 $a = 1$ , $b = - \sqrt{2}$ , $c = 1$ 을 대입하여 $λ$ 를 구합니다.

$\frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{{(- \sqrt{2})}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

단계 7.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1.1

$- \sqrt{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

단계 7.3.1.2

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{1 {\sqrt{2}}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

단계 7.3.1.3

${\sqrt{2}}^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{{\sqrt{2}}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

단계 7.3.1.4

${\sqrt{2}}^{2}$ 을 $2$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{2}$ 을(를) $2^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

단계 7.3.1.4.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

단계 7.3.1.4.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

단계 7.3.1.4.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1.4.4.1

공약수로 약분합니다.

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

단계 7.3.1.4.4.2

수식을 다시 씁니다.

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

단계 7.3.1.4.5

지수값을 계산합니다.

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

단계 7.3.1.5

$- 4 \cdot 1 \cdot 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1.5.1

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

단계 7.3.1.5.2

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2 - 4}}{2 \cdot 1}$

단계 7.3.1.6

$2$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{- 2}}{2 \cdot 1}$

단계 7.3.1.7

$- 2$ 을 $- 1 (2)$ 로 바꿔 씁니다.

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{- 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

단계 7.3.1.8

$\sqrt{- 1 (2)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

단계 7.3.1.9

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

단계 7.3.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm i \sqrt{2}}{2}$

단계 7.4

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$λ = \frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{2}$