선형 대수 예제

$[\begin{array}{c} 0.4 & 1 - c \\ 0.6 & c \end{array}]$

단계 1

특성방정식 $p (λ)$ 를 구하기 위하여 공식을 세웁니다.

$p (λ) = 행렬식 (A - λ I_{2})$

단계 2

크기가 $2$ 인 단위행렬은 주대각선이 1이고 나머지는 0인 $2 \times 2$ 정방행렬입니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

단계 3

알고 있는 값을 $p (λ) = 행렬식 (A - λ I_{2})$ 에 대입합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$A$ 에 $[\begin{array}{c} 0.4 & 1 - c \\ 0.6 & c \end{array}]$ 를 대입합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 0.4 & 1 - c \\ 0.6 & c \end{array}] - λ I_{2})$

단계 3.2

$I_{2}$ 에 $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ 를 대입합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 0.4 & 1 - c \\ 0.6 & c \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

단계 4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

행렬의 각 원소에 $- λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 0.4 & 1 - c \\ 0.6 & c \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 4.1.2

행렬의 각 원소를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 0.4 & 1 - c \\ 0.6 & c \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 4.1.2.2

$- λ \cdot 0$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.2.1

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 0.4 & 1 - c \\ 0.6 & c \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 4.1.2.2.2

$0$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 0.4 & 1 - c \\ 0.6 & c \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 4.1.2.3

$- λ \cdot 0$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.3.1

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 0.4 & 1 - c \\ 0.6 & c \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 4.1.2.3.2

$0$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 0.4 & 1 - c \\ 0.6 & c \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 4.1.2.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 0.4 & 1 - c \\ 0.6 & c \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

단계 4.2

해당하는 원소를 더합니다.

$p (λ) = 행렬식 [\begin{array}{c} 0.4 - λ & 1 - c + 0 \\ 0.6 + 0 & c - λ \end{array}]$

단계 4.3

Simplify each element.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$1 - c$ 를 $0$ 에 더합니다.

$p (λ) = 행렬식 [\begin{array}{c} 0.4 - λ & 1 - c \\ 0.6 + 0 & c - λ \end{array}]$

단계 4.3.2

$0.6$ 를 $0$ 에 더합니다.

$p (λ) = 행렬식 [\begin{array}{c} 0.4 - λ & 1 - c \\ 0.6 & c - λ \end{array}]$

단계 5

Find the determinant.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$2 \times 2$ 행렬의 행렬식은 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 공식을 이용해 계산합니다.

$p (λ) = (0.4 - λ) (c - λ) - 0.6 (1 - c)$

단계 5.2

행렬식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

FOIL 계산법을 이용하여 $(0.4 - λ) (c - λ)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$p (λ) = 0.4 (c - λ) - λ (c - λ) - 0.6 (1 - c)$

단계 5.2.1.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$p (λ) = 0.4 c + 0.4 (- λ) - λ (c - λ) - 0.6 (1 - c)$

단계 5.2.1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$p (λ) = 0.4 c + 0.4 (- λ) - λ c - λ (- λ) - 0.6 (1 - c)$

단계 5.2.1.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.2.1

$- 1$ 에 $0.4$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 0.4 c - 0.4 λ - λ c - λ (- λ) - 0.6 (1 - c)$

단계 5.2.1.2.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$p (λ) = 0.4 c - 0.4 λ - λ c - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 0.6 (1 - c)$

단계 5.2.1.2.3

지수를 더하여 $λ$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.2.3.1

$λ$ 를 옮깁니다.

$p (λ) = 0.4 c - 0.4 λ - λ c - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 0.6 (1 - c)$

단계 5.2.1.2.3.2

$λ$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 0.4 c - 0.4 λ - λ c - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 0.6 (1 - c)$

단계 5.2.1.2.4

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 0.4 c - 0.4 λ - λ c + 1 λ^{2} - 0.6 (1 - c)$

단계 5.2.1.2.5

$λ^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 0.4 c - 0.4 λ - λ c + λ^{2} - 0.6 (1 - c)$

단계 5.2.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$p (λ) = 0.4 c - 0.4 λ - λ c + λ^{2} - 0.6 \cdot 1 - 0.6 (- c)$

단계 5.2.1.4

$- 0.6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 0.4 c - 0.4 λ - λ c + λ^{2} - 0.6 - 0.6 (- c)$

단계 5.2.1.5

$- 1$ 에 $- 0.6$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 0.4 c - 0.4 λ - λ c + λ^{2} - 0.6 + 0.6 c$

단계 5.2.2

$0.4 c$ 를 $0.6 c$ 에 더합니다.

$p (λ) = c - 0.4 λ - λ c + λ^{2} - 0.6$

단계 5.2.3

$λ$ 를 옮깁니다.

$p (λ) = c - 0.4 λ - 1 c λ + λ^{2} - 0.6$

단계 5.2.4

$- 0.4 λ$ 를 옮깁니다.

$p (λ) = c - 1 c λ + λ^{2} - 0.4 λ - 0.6$

단계 5.2.5

$c$ 를 옮깁니다.

$p (λ) = - 1 c λ + λ^{2} + c - 0.4 λ - 0.6$

단계 6

특성다항식이 $0$ 이 되도록 하여 고유값 $λ$ 를 구합니다.

$- 1 c λ + λ^{2} + c - 0.4 λ - 0.6 = 0$

단계 7

$λ$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$- 1 c$ 을 $- c$ 로 바꿔 씁니다.

$- c λ + λ^{2} + c - 0.4 λ - 0.6 = 0$

단계 7.2

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 7.3

이차함수의 근의 공식에 $a = 1$ , $b = - c - 0.4$ , $c = c - 0.6$ 을 대입하여 $λ$ 를 구합니다.

$\frac{- (- c - 0.4) \pm \sqrt{{(- c - 0.4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (c - 0.6))}}{2 \cdot 1}$

단계 7.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{{(- c - 0.4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (c - 0.6)}}{2 \cdot 1}$

단계 7.4.1.2

$- - c$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.1.2.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$λ = \frac{1 c + 0.4 \pm \sqrt{{(- c - 0.4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (c - 0.6)}}{2 \cdot 1}$

단계 7.4.1.2.2

$c$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{{(- c - 0.4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (c - 0.6)}}{2 \cdot 1}$

단계 7.4.1.3

$- 1$ 에 $- 0.4$ 을 곱합니다.

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{{(- c - 0.4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (c - 0.6)}}{2 \cdot 1}$

단계 7.4.1.4

${(- c - 0.4)}^{2}$ 을 $(- c - 0.4) (- c - 0.4)$ 로 바꿔 씁니다.

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{(- c - 0.4) (- c - 0.4) - 4 \cdot 1 \cdot (c - 0.6)}}{2 \cdot 1}$

단계 7.4.1.5

FOIL 계산법을 이용하여 $(- c - 0.4) (- c - 0.4)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.1.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{- c (- c - 0.4) - 0.4 (- c - 0.4) - 4 \cdot 1 \cdot (c - 0.6)}}{2 \cdot 1}$

단계 7.4.1.5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{- c (- c) - c \cdot - 0.4 - 0.4 (- c - 0.4) - 4 \cdot 1 \cdot (c - 0.6)}}{2 \cdot 1}$

단계 7.4.1.5.3

분배 법칙을 적용합니다.

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{- c (- c) - c \cdot - 0.4 - 0.4 (- c) - 0.4 \cdot - 0.4 - 4 \cdot 1 \cdot (c - 0.6)}}{2 \cdot 1}$

단계 7.4.1.6

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.1.6.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.1.6.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{- 1 \cdot (- 1 c \cdot c) - c \cdot - 0.4 - 0.4 (- c) - 0.4 \cdot - 0.4 - 4 \cdot 1 \cdot (c - 0.6)}}{2 \cdot 1}$

단계 7.4.1.6.1.2

지수를 더하여 $c$ 에 $c$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.1.6.1.2.1

$c$ 를 옮깁니다.

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{- 1 \cdot (- 1 (c \cdot c)) - c \cdot - 0.4 - 0.4 (- c) - 0.4 \cdot - 0.4 - 4 \cdot 1 \cdot (c - 0.6)}}{2 \cdot 1}$

단계 7.4.1.6.1.2.2

$c$ 에 $c$ 을 곱합니다.

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{- 1 \cdot (- 1 c^{2}) - c \cdot - 0.4 - 0.4 (- c) - 0.4 \cdot - 0.4 - 4 \cdot 1 \cdot (c - 0.6)}}{2 \cdot 1}$

단계 7.4.1.6.1.3

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{1 c^{2} - c \cdot - 0.4 - 0.4 (- c) - 0.4 \cdot - 0.4 - 4 \cdot 1 \cdot (c - 0.6)}}{2 \cdot 1}$

단계 7.4.1.6.1.4

$c^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{c^{2} - c \cdot - 0.4 - 0.4 (- c) - 0.4 \cdot - 0.4 - 4 \cdot 1 \cdot (c - 0.6)}}{2 \cdot 1}$

단계 7.4.1.6.1.5

$- 0.4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{c^{2} + 0.4 c - 0.4 (- c) - 0.4 \cdot - 0.4 - 4 \cdot 1 \cdot (c - 0.6)}}{2 \cdot 1}$

단계 7.4.1.6.1.6

$- 1$ 에 $- 0.4$ 을 곱합니다.

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{c^{2} + 0.4 c + 0.4 c - 0.4 \cdot - 0.4 - 4 \cdot 1 \cdot (c - 0.6)}}{2 \cdot 1}$

단계 7.4.1.6.1.7

$- 0.4$ 에 $- 0.4$ 을 곱합니다.

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{c^{2} + 0.4 c + 0.4 c + 0.16 - 4 \cdot 1 \cdot (c - 0.6)}}{2 \cdot 1}$

단계 7.4.1.6.2

$0.4 c$ 를 $0.4 c$ 에 더합니다.

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{c^{2} + 0.8 c + 0.16 - 4 \cdot 1 \cdot (c - 0.6)}}{2 \cdot 1}$

단계 7.4.1.7

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{c^{2} + 0.8 c + 0.16 - 4 \cdot (c - 0.6)}}{2 \cdot 1}$

단계 7.4.1.8

분배 법칙을 적용합니다.

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{c^{2} + 0.8 c + 0.16 - 4 c - 4 \cdot - 0.6}}{2 \cdot 1}$

단계 7.4.1.9

$- 4$ 에 $- 0.6$ 을 곱합니다.

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{c^{2} + 0.8 c + 0.16 - 4 c + 2.4}}{2 \cdot 1}$

단계 7.4.1.10

$0.8 c$ 에서 $4 c$ 을 뺍니다.

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{c^{2} - 3.2 c + 0.16 + 2.4}}{2 \cdot 1}$

단계 7.4.1.11

$0.16$ 를 $2.4$ 에 더합니다.

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{c^{2} - 3.2 c + 2.56}}{2 \cdot 1}$

단계 7.4.1.12

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.1.12.1

$2.56$ 을 ${1.6}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{c^{2} - 3.2 c + {1.6}^{2}}}{2 \cdot 1}$

단계 7.4.1.12.2

중간 항이 첫 번째 항 및 세 번째 항에서 제곱되는 수를 곱한 값의 두 배인지 확인합니다.

$3.2 c = 2 \cdot c \cdot 1.6$

단계 7.4.1.12.3

다항식을 다시 씁니다.

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{c^{2} - 2 \cdot c \cdot 1.6 + {1.6}^{2}}}{2 \cdot 1}$

단계 7.4.1.12.4

$a = c$ 이고 $b = 1.6$ 일 때 완전제곱 삼항식 법칙 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ 을 이용하여 인수분해합니다.

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{{(c - 1.6)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

단계 7.4.1.13

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$λ = \frac{c + 0.4 \pm (c - 1.6)}{2 \cdot 1}$

단계 7.4.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$λ = \frac{c + 0.4 \pm (c - 1.6)}{2}$

단계 7.5

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$λ = \frac{5 c - 3}{5}$

$λ = 1$

$λ = \frac{5 c - 3}{5}$

$λ = 1$