선형 대수 예제

$[\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 36 & 0 & - 23 \end{array}]$

단계 1

특성방정식 $p (λ)$ 를 구하기 위하여 공식을 세웁니다.

$p (λ) = 행렬식 (A - λ I_{3})$

단계 2

크기가 $3$ 인 단위행렬은 주대각선이 1이고 나머지는 0인 $3 \times 3$ 정방행렬입니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

단계 3

알고 있는 값을 $p (λ) = 행렬식 (A - λ I_{3})$ 에 대입합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$A$ 에 $[\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 36 & 0 & - 23 \end{array}]$ 를 대입합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 36 & 0 & - 23 \end{array}] - λ I_{3})$

단계 3.2

$I_{3}$ 에 $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ 를 대입합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 36 & 0 & - 23 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

단계 4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

행렬의 각 원소에 $- λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 36 & 0 & - 23 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 4.1.2

행렬의 각 원소를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 36 & 0 & - 23 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 4.1.2.2

$- λ \cdot 0$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.2.1

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 36 & 0 & - 23 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 4.1.2.2.2

$0$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 36 & 0 & - 23 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 4.1.2.3

$- λ \cdot 0$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.3.1

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 36 & 0 & - 23 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 4.1.2.3.2

$0$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 36 & 0 & - 23 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 4.1.2.4

$- λ \cdot 0$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.4.1

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 36 & 0 & - 23 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 4.1.2.4.2

$0$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 36 & 0 & - 23 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 4.1.2.5

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 36 & 0 & - 23 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 4.1.2.6

$- λ \cdot 0$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.6.1

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 36 & 0 & - 23 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 4.1.2.6.2

$0$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 36 & 0 & - 23 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 4.1.2.7

$- λ \cdot 0$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.7.1

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 36 & 0 & - 23 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 4.1.2.7.2

$0$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 36 & 0 & - 23 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 4.1.2.8

$- λ \cdot 0$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.8.1

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 36 & 0 & - 23 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 4.1.2.8.2

$0$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 36 & 0 & - 23 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 4.1.2.9

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 36 & 0 & - 23 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

단계 4.2

해당하는 원소를 더합니다.

$p (λ) = 행렬식 [\begin{array}{c} - 2 - λ & 0 + 0 & - 36 + 0 \\ 0 + 0 & - 3 - λ & 0 + 0 \\ - 36 + 0 & 0 + 0 & - 23 - λ \end{array}]$

단계 4.3

Simplify each element.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$p (λ) = 행렬식 [\begin{array}{c} - 2 - λ & 0 & - 36 + 0 \\ 0 + 0 & - 3 - λ & 0 + 0 \\ - 36 + 0 & 0 + 0 & - 23 - λ \end{array}]$

단계 4.3.2

$- 36$ 를 $0$ 에 더합니다.

$p (λ) = 행렬식 [\begin{array}{c} - 2 - λ & 0 & - 36 \\ 0 + 0 & - 3 - λ & 0 + 0 \\ - 36 + 0 & 0 + 0 & - 23 - λ \end{array}]$

단계 4.3.3

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$p (λ) = 행렬식 [\begin{array}{c} - 2 - λ & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 - λ & 0 + 0 \\ - 36 + 0 & 0 + 0 & - 23 - λ \end{array}]$

단계 4.3.4

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$p (λ) = 행렬식 [\begin{array}{c} - 2 - λ & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 - λ & 0 \\ - 36 + 0 & 0 + 0 & - 23 - λ \end{array}]$

단계 4.3.5

$- 36$ 를 $0$ 에 더합니다.

$p (λ) = 행렬식 [\begin{array}{c} - 2 - λ & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 - λ & 0 \\ - 36 & 0 + 0 & - 23 - λ \end{array}]$

단계 4.3.6

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$p (λ) = 행렬식 [\begin{array}{c} - 2 - λ & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 - λ & 0 \\ - 36 & 0 & - 23 - λ \end{array}]$

단계 5

Find the determinant.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $2$ by its cofactor and add.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

단계 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

단계 5.1.3

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & - 36 \\ 0 & - 23 - λ \end{array} |$

단계 5.1.4

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & - 36 \\ 0 & - 23 - λ \end{array} |$

단계 5.1.5

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 - λ & - 36 \\ - 36 & - 23 - λ \end{array} |$

단계 5.1.6

Multiply element $a_{22}$ by its cofactor.

$(- 3 - λ) | \begin{array}{c} - 2 - λ & - 36 \\ - 36 & - 23 - λ \end{array} |$

단계 5.1.7

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 - λ & 0 \\ - 36 & 0 \end{array} |$

단계 5.1.8

Multiply element $a_{23}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 0 \\ - 36 & 0 \end{array} |$

단계 5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = 0 | \begin{array}{c} 0 & - 36 \\ 0 & - 23 - λ \end{array} | + (- 3 - λ) | \begin{array}{c} - 2 - λ & - 36 \\ - 36 & - 23 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 0 \\ - 36 & 0 \end{array} |$

단계 5.2

$0$ 에 $| \begin{array}{c} 0 & - 36 \\ 0 & - 23 - λ \end{array} |$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 0 + (- 3 - λ) | \begin{array}{c} - 2 - λ & - 36 \\ - 36 & - 23 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 0 \\ - 36 & 0 \end{array} |$

단계 5.3

$0$ 에 $| \begin{array}{c} - 2 - λ & 0 \\ - 36 & 0 \end{array} |$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 0 + (- 3 - λ) | \begin{array}{c} - 2 - λ & - 36 \\ - 36 & - 23 - λ \end{array} | + 0$

단계 5.4

$| \begin{array}{c} - 2 - λ & - 36 \\ - 36 & - 23 - λ \end{array} |$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

$2 \times 2$ 행렬의 행렬식은 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 공식을 이용해 계산합니다.

$p (λ) = 0 + (- 3 - λ) ((- 2 - λ) (- 23 - λ) - (- 36 \cdot - 36)) + 0$

단계 5.4.2

행렬식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.1.1

FOIL 계산법을 이용하여 $(- 2 - λ) (- 23 - λ)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.1.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$p (λ) = 0 + (- 3 - λ) (- 2 (- 23 - λ) - λ (- 23 - λ) - (- 36 \cdot - 36)) + 0$

단계 5.4.2.1.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$p (λ) = 0 + (- 3 - λ) (- 2 \cdot - 23 - 2 (- λ) - λ (- 23 - λ) - (- 36 \cdot - 36)) + 0$

단계 5.4.2.1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$p (λ) = 0 + (- 3 - λ) (- 2 \cdot - 23 - 2 (- λ) - λ \cdot - 23 - λ (- λ) - (- 36 \cdot - 36)) + 0$

단계 5.4.2.1.2

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.1.2.1.1

$- 2$ 에 $- 23$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 0 + (- 3 - λ) (46 - 2 (- λ) - λ \cdot - 23 - λ (- λ) - (- 36 \cdot - 36)) + 0$

단계 5.4.2.1.2.1.2

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 0 + (- 3 - λ) (46 + 2 λ - λ \cdot - 23 - λ (- λ) - (- 36 \cdot - 36)) + 0$

단계 5.4.2.1.2.1.3

$- 23$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 0 + (- 3 - λ) (46 + 2 λ + 23 λ - λ (- λ) - (- 36 \cdot - 36)) + 0$

단계 5.4.2.1.2.1.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$p (λ) = 0 + (- 3 - λ) (46 + 2 λ + 23 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 36 \cdot - 36)) + 0$

단계 5.4.2.1.2.1.5

지수를 더하여 $λ$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.1.2.1.5.1

$λ$ 를 옮깁니다.

$p (λ) = 0 + (- 3 - λ) (46 + 2 λ + 23 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 36 \cdot - 36)) + 0$

단계 5.4.2.1.2.1.5.2

$λ$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 0 + (- 3 - λ) (46 + 2 λ + 23 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 36 \cdot - 36)) + 0$

단계 5.4.2.1.2.1.6

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 0 + (- 3 - λ) (46 + 2 λ + 23 λ + 1 λ^{2} - (- 36 \cdot - 36)) + 0$

단계 5.4.2.1.2.1.7

$λ^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 0 + (- 3 - λ) (46 + 2 λ + 23 λ + λ^{2} - (- 36 \cdot - 36)) + 0$

단계 5.4.2.1.2.2

$2 λ$ 를 $23 λ$ 에 더합니다.

$p (λ) = 0 + (- 3 - λ) (46 + 25 λ + λ^{2} - (- 36 \cdot - 36)) + 0$

단계 5.4.2.1.3

$- (- 36 \cdot - 36)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.1.3.1

$- 36$ 에 $- 36$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 0 + (- 3 - λ) (46 + 25 λ + λ^{2} - 1 \cdot 1296) + 0$

단계 5.4.2.1.3.2

$- 1$ 에 $1296$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 0 + (- 3 - λ) (46 + 25 λ + λ^{2} - 1296) + 0$

단계 5.4.2.2

$46$ 에서 $1296$ 을 뺍니다.

$p (λ) = 0 + (- 3 - λ) (25 λ + λ^{2} - 1250) + 0$

단계 5.4.2.3

$25 λ$ 와 $λ^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$p (λ) = 0 + (- 3 - λ) (λ^{2} + 25 λ - 1250) + 0$

단계 5.5

행렬식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.1

$0 + (- 3 - λ) (λ^{2} + 25 λ - 1250) + 0$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.1.1

$0$ 를 $(- 3 - λ) (λ^{2} + 25 λ - 1250)$ 에 더합니다.

$p (λ) = (- 3 - λ) (λ^{2} + 25 λ - 1250) + 0$

단계 5.5.1.2

$(- 3 - λ) (λ^{2} + 25 λ - 1250)$ 를 $0$ 에 더합니다.

$p (λ) = (- 3 - λ) (λ^{2} + 25 λ - 1250)$

단계 5.5.2

첫 번째 수식의 항과 두 번째 수식의 항을 각각 곱하여 $(- 3 - λ) (λ^{2} + 25 λ - 1250)$ 를 전개합니다.

$p (λ) = - 3 λ^{2} - 3 (25 λ) - 3 \cdot - 1250 - λ \cdot λ^{2} - λ (25 λ) - λ \cdot - 1250$

단계 5.5.3

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.3.1

$25$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$p (λ) = - 3 λ^{2} - 75 λ - 3 \cdot - 1250 - λ \cdot λ^{2} - λ (25 λ) - λ \cdot - 1250$

단계 5.5.3.2

$- 3$ 에 $- 1250$ 을 곱합니다.

$p (λ) = - 3 λ^{2} - 75 λ + 3750 - λ \cdot λ^{2} - λ (25 λ) - λ \cdot - 1250$

단계 5.5.3.3

지수를 더하여 $λ$ 에 $λ^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.3.3.1

$λ^{2}$ 를 옮깁니다.

$p (λ) = - 3 λ^{2} - 75 λ + 3750 - (λ^{2} λ) - λ (25 λ) - λ \cdot - 1250$

단계 5.5.3.3.2

$λ^{2}$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.3.3.2.1

$λ$ 를 $1$ 승 합니다.

$p (λ) = - 3 λ^{2} - 75 λ + 3750 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (25 λ) - λ \cdot - 1250$

단계 5.5.3.3.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$p (λ) = - 3 λ^{2} - 75 λ + 3750 - λ^{2 + 1} - λ (25 λ) - λ \cdot - 1250$

단계 5.5.3.3.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$p (λ) = - 3 λ^{2} - 75 λ + 3750 - λ^{3} - λ (25 λ) - λ \cdot - 1250$

단계 5.5.3.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$p (λ) = - 3 λ^{2} - 75 λ + 3750 - λ^{3} - 1 \cdot 25 λ \cdot λ - λ \cdot - 1250$

단계 5.5.3.5

지수를 더하여 $λ$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.3.5.1

$λ$ 를 옮깁니다.

$p (λ) = - 3 λ^{2} - 75 λ + 3750 - λ^{3} - 1 \cdot 25 (λ \cdot λ) - λ \cdot - 1250$

단계 5.5.3.5.2

$λ$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = - 3 λ^{2} - 75 λ + 3750 - λ^{3} - 1 \cdot 25 λ^{2} - λ \cdot - 1250$

단계 5.5.3.6

$- 1$ 에 $25$ 을 곱합니다.

$p (λ) = - 3 λ^{2} - 75 λ + 3750 - λ^{3} - 25 λ^{2} - λ \cdot - 1250$

단계 5.5.3.7

$- 1250$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = - 3 λ^{2} - 75 λ + 3750 - λ^{3} - 25 λ^{2} + 1250 λ$

단계 5.5.4

$- 3 λ^{2}$ 에서 $25 λ^{2}$ 을 뺍니다.

$p (λ) = - 28 λ^{2} - 75 λ + 3750 - λ^{3} + 1250 λ$

단계 5.5.5

$- 75 λ$ 를 $1250 λ$ 에 더합니다.

$p (λ) = - 28 λ^{2} + 1175 λ + 3750 - λ^{3}$

단계 5.5.6

$3750$ 를 옮깁니다.

$p (λ) = - 28 λ^{2} + 1175 λ - λ^{3} + 3750$

단계 5.5.7

$1175 λ$ 를 옮깁니다.

$p (λ) = - 28 λ^{2} - λ^{3} + 1175 λ + 3750$

단계 5.5.8

$- 28 λ^{2}$ 와 $- λ^{3}$ 을 다시 정렬합니다.

$p (λ) = - λ^{3} - 28 λ^{2} + 1175 λ + 3750$

단계 6

특성다항식이 $0$ 이 되도록 하여 고유값 $λ$ 를 구합니다.

$- λ^{3} - 28 λ^{2} + 1175 λ + 3750 = 0$

단계 7

$λ$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1

유리근 정리르 이용하여 $- λ^{3} - 28 λ^{2} + 1175 λ + 3750$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 3750, \pm 2, \pm 1875, \pm 3, \pm 1250, \pm 5, \pm 750, \pm 6, \pm 625, \pm 10, \pm 375, \pm 15, \pm 250, \pm 25, \pm 150, \pm 30, \pm 125, \pm 50, \pm 75$

$q = \pm 1$

단계 7.1.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm 3750, \pm 2, \pm 1875, \pm 3, \pm 1250, \pm 5, \pm 750, \pm 6, \pm 625, \pm 10, \pm 375, \pm 15, \pm 250, \pm 25, \pm 150, \pm 30, \pm 125, \pm 50, \pm 75$

단계 7.1.1.3

$- 3$ 을 대입하고 식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $- 3$ 은 다항식의 근입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.3.1

$- 3$ 을 다항식에 대입합니다.

$- {(- 3)}^{3} - 28 {(- 3)}^{2} + 1175 \cdot - 3 + 3750$

단계 7.1.1.3.2

$- 3$ 를 $3$ 승 합니다.

$- - 27 - 28 {(- 3)}^{2} + 1175 \cdot - 3 + 3750$

단계 7.1.1.3.3

$- 1$ 에 $- 27$ 을 곱합니다.

$27 - 28 {(- 3)}^{2} + 1175 \cdot - 3 + 3750$

단계 7.1.1.3.4

$- 3$ 를 $2$ 승 합니다.

$27 - 28 \cdot 9 + 1175 \cdot - 3 + 3750$

단계 7.1.1.3.5

$- 28$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$27 - 252 + 1175 \cdot - 3 + 3750$

단계 7.1.1.3.6

$27$ 에서 $252$ 을 뺍니다.

$- 225 + 1175 \cdot - 3 + 3750$

단계 7.1.1.3.7

$1175$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$- 225 - 3525 + 3750$

단계 7.1.1.3.8

$- 225$ 에서 $3525$ 을 뺍니다.

$- 3750 + 3750$

단계 7.1.1.3.9

$- 3750$ 를 $3750$ 에 더합니다.

$0$

단계 7.1.1.4

$- 3$ 는 알고 있는 해이므로 다항식을 $λ + 3$ 으로 나누어 몫 다항식을 구합니다. 이 다항식은 나머지 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{- λ^{3} - 28 λ^{2} + 1175 λ + 3750}{λ + 3}$

단계 7.1.1.5

$- λ^{3} - 28 λ^{2} + 1175 λ + 3750$ 을 $λ + 3$ 로 나눕니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.5.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$λ$

$3$

$λ^{3}$

$28 λ^{2}$

$1175 λ$

$3750$

단계 7.1.1.5.2

피제수 $- λ^{3}$ 의 고차항을 제수 $λ$ 의 고차항으로 나눕니다.

				-	$λ^{2}$
	$λ$	+	$3$	-	$λ^{3}$	-	$28 λ^{2}$	+	$1175 λ$	+	$3750$

단계 7.1.1.5.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

			-	$λ^{2}$
$λ$	+	$3$	-	$λ^{3}$	-	$28 λ^{2}$	+	$1175 λ$	+	$3750$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$

단계 7.1.1.5.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- λ^{3} - 3 λ^{2}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

			-	$λ^{2}$
$λ$	+	$3$	-	$λ^{3}$	-	$28 λ^{2}$	+	$1175 λ$	+	$3750$
			+	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$

단계 7.1.1.5.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

			-	$λ^{2}$
$λ$	+	$3$	-	$λ^{3}$	-	$28 λ^{2}$	+	$1175 λ$	+	$3750$
			+	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$25 λ^{2}$

단계 7.1.1.5.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

			-	$λ^{2}$
$λ$	+	$3$	-	$λ^{3}$	-	$28 λ^{2}$	+	$1175 λ$	+	$3750$
			+	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$25 λ^{2}$	+	$1175 λ$

단계 7.1.1.5.7

피제수 $- 25 λ^{2}$ 의 고차항을 제수 $λ$ 의 고차항으로 나눕니다.

			-	$λ^{2}$	-	$25 λ$
$λ$	+	$3$	-	$λ^{3}$	-	$28 λ^{2}$	+	$1175 λ$	+	$3750$
			+	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$25 λ^{2}$	+	$1175 λ$

단계 7.1.1.5.8

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

			-	$λ^{2}$	-	$25 λ$
$λ$	+	$3$	-	$λ^{3}$	-	$28 λ^{2}$	+	$1175 λ$	+	$3750$
			+	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$25 λ^{2}$	+	$1175 λ$
					-	$25 λ^{2}$	-	$75 λ$

단계 7.1.1.5.9

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 25 λ^{2} - 75 λ$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

			-	$λ^{2}$	-	$25 λ$
$λ$	+	$3$	-	$λ^{3}$	-	$28 λ^{2}$	+	$1175 λ$	+	$3750$
			+	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$25 λ^{2}$	+	$1175 λ$
					+	$25 λ^{2}$	+	$75 λ$

단계 7.1.1.5.10

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

			-	$λ^{2}$	-	$25 λ$
$λ$	+	$3$	-	$λ^{3}$	-	$28 λ^{2}$	+	$1175 λ$	+	$3750$
			+	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$25 λ^{2}$	+	$1175 λ$
					+	$25 λ^{2}$	+	$75 λ$
							+	$1250 λ$

단계 7.1.1.5.11

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

			-	$λ^{2}$	-	$25 λ$
$λ$	+	$3$	-	$λ^{3}$	-	$28 λ^{2}$	+	$1175 λ$	+	$3750$
			+	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$25 λ^{2}$	+	$1175 λ$
					+	$25 λ^{2}$	+	$75 λ$
							+	$1250 λ$	+	$3750$

단계 7.1.1.5.12

피제수 $1250 λ$ 의 고차항을 제수 $λ$ 의 고차항으로 나눕니다.

			-	$λ^{2}$	-	$25 λ$	+	$1250$
$λ$	+	$3$	-	$λ^{3}$	-	$28 λ^{2}$	+	$1175 λ$	+	$3750$
			+	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$25 λ^{2}$	+	$1175 λ$
					+	$25 λ^{2}$	+	$75 λ$
							+	$1250 λ$	+	$3750$

단계 7.1.1.5.13

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

			-	$λ^{2}$	-	$25 λ$	+	$1250$
$λ$	+	$3$	-	$λ^{3}$	-	$28 λ^{2}$	+	$1175 λ$	+	$3750$
			+	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$25 λ^{2}$	+	$1175 λ$
					+	$25 λ^{2}$	+	$75 λ$
							+	$1250 λ$	+	$3750$
							+	$1250 λ$	+	$3750$

단계 7.1.1.5.14

식을 피제수에서 빼야 하므로 $1250 λ + 3750$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

			-	$λ^{2}$	-	$25 λ$	+	$1250$
$λ$	+	$3$	-	$λ^{3}$	-	$28 λ^{2}$	+	$1175 λ$	+	$3750$
			+	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$25 λ^{2}$	+	$1175 λ$
					+	$25 λ^{2}$	+	$75 λ$
							+	$1250 λ$	+	$3750$
							-	$1250 λ$	-	$3750$

단계 7.1.1.5.15

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

			-	$λ^{2}$	-	$25 λ$	+	$1250$
$λ$	+	$3$	-	$λ^{3}$	-	$28 λ^{2}$	+	$1175 λ$	+	$3750$
			+	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$25 λ^{2}$	+	$1175 λ$
					+	$25 λ^{2}$	+	$75 λ$
							+	$1250 λ$	+	$3750$
							-	$1250 λ$	-	$3750$
										$0$

단계 7.1.1.5.16

나머지가 $0$ 이므로, 몫이 최종해입니다.

$- λ^{2} - 25 λ + 1250$

단계 7.1.1.6

$- λ^{3} - 28 λ^{2} + 1175 λ + 3750$ 을 인수의 집합으로 표현합니다.

$(λ + 3) (- λ^{2} - 25 λ + 1250) = 0$

단계 7.1.2

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.2.1

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.2.1.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = - 1 \cdot 1250 = - 1250$ 이고 합이 $b = - 25$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.2.1.1.1

$- 25 λ$ 에서 $- 25$ 를 인수분해합니다.

$(λ + 3) (- λ^{2} - 25 λ + 1250) = 0$

단계 7.1.2.1.1.2

$- 25$ 를 $25$ + $- 50$ 로 다시 씁니다.

$(λ + 3) (- λ^{2} + (25 - 50) λ + 1250) = 0$

단계 7.1.2.1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$(λ + 3) (- λ^{2} + 25 λ - 50 λ + 1250) = 0$

단계 7.1.2.1.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.2.1.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$(λ + 3) ((- λ^{2} + 25 λ) - 50 λ + 1250) = 0$

단계 7.1.2.1.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$(λ + 3) (λ (- λ + 25) + 50 (- λ + 25)) = 0$

단계 7.1.2.1.3

최대공약수 $- λ + 25$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$(λ + 3) ((- λ + 25) (λ + 50)) = 0$

단계 7.1.2.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$(λ + 3) (- λ + 25) (λ + 50) = 0$

단계 7.2

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$λ + 3 = 0$

$- λ + 25 = 0$

$λ + 50 = 0$

단계 7.3

$λ + 3$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $λ$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1

$λ + 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$λ + 3 = 0$

단계 7.3.2

방정식의 양변에서 $3$ 를 뺍니다.

$λ = - 3$

단계 7.4

$- λ + 25$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $λ$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.1

$- λ + 25$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$- λ + 25 = 0$

단계 7.4.2

$- λ + 25 = 0$ 을 $λ$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.2.1

방정식의 양변에서 $25$ 를 뺍니다.

$- λ = - 25$

단계 7.4.2.2

$- λ = - 25$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.2.2.1

$- λ = - 25$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- λ}{- 1} = \frac{- 25}{- 1}$

단계 7.4.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.2.2.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{λ}{1} = \frac{- 25}{- 1}$

단계 7.4.2.2.2.2

$λ$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$λ = \frac{- 25}{- 1}$

단계 7.4.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.2.2.3.1

$- 25$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$λ = 25$

단계 7.5

$λ + 50$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $λ$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.5.1

$λ + 50$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$λ + 50 = 0$

단계 7.5.2

방정식의 양변에서 $50$ 를 뺍니다.

$λ = - 50$

단계 7.6

$(λ + 3) (- λ + 25) (λ + 50) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$λ = - 3, 25, - 50$