선형 대수 예제

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}]$

단계 1

특성방정식 $p (λ)$ 를 구하기 위하여 공식을 세웁니다.

$p (λ) = 행렬식 (A - λ I_{2})$

단계 2

크기가 $2$ 인 단위행렬은 주대각선이 1이고 나머지는 0인 $2 \times 2$ 정방행렬입니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

단계 3

알고 있는 값을 $p (λ) = 행렬식 (A - λ I_{2})$ 에 대입합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$A$ 에 $[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}]$ 를 대입합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}] - λ I_{2})$

단계 3.2

$I_{2}$ 에 $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ 를 대입합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

단계 4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

행렬의 각 원소에 $- λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 4.1.2

행렬의 각 원소를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 4.1.2.2

$- λ \cdot 0$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.2.1

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 4.1.2.2.2

$0$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 4.1.2.3

$- λ \cdot 0$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.3.1

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 4.1.2.3.2

$0$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 4.1.2.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

단계 4.2

해당하는 원소를 더합니다.

$p (λ) = 행렬식 [\begin{array}{c} 1 - λ & 3 + 0 \\ 2 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

단계 4.3

Simplify each element.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$p (λ) = 행렬식 [\begin{array}{c} 1 - λ & 3 \\ 2 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

단계 4.3.2

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$p (λ) = 행렬식 [\begin{array}{c} 1 - λ & 3 \\ 2 & - 1 - λ \end{array}]$

단계 5

Find the determinant.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$2 \times 2$ 행렬의 행렬식은 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 공식을 이용해 계산합니다.

$p (λ) = (1 - λ) (- 1 - λ) - 2 \cdot 3$

단계 5.2

행렬식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

FOIL 계산법을 이용하여 $(1 - λ) (- 1 - λ)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$p (λ) = 1 (- 1 - λ) - λ (- 1 - λ) - 2 \cdot 3$

단계 5.2.1.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$p (λ) = 1 \cdot - 1 + 1 (- λ) - λ (- 1 - λ) - 2 \cdot 3$

단계 5.2.1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$p (λ) = 1 \cdot - 1 + 1 (- λ) - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - 2 \cdot 3$

단계 5.2.1.2

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.2.1.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = - 1 + 1 (- λ) - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - 2 \cdot 3$

단계 5.2.1.2.1.2

$- λ$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = - 1 - λ - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - 2 \cdot 3$

단계 5.2.1.2.1.3

$- λ \cdot - 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.2.1.3.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = - 1 - λ + 1 λ - λ (- λ) - 2 \cdot 3$

단계 5.2.1.2.1.3.2

$λ$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = - 1 - λ + λ - λ (- λ) - 2 \cdot 3$

단계 5.2.1.2.1.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$p (λ) = - 1 - λ + λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 2 \cdot 3$

단계 5.2.1.2.1.5

지수를 더하여 $λ$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.2.1.5.1

$λ$ 를 옮깁니다.

$p (λ) = - 1 - λ + λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 2 \cdot 3$

단계 5.2.1.2.1.5.2

$λ$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = - 1 - λ + λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 2 \cdot 3$

단계 5.2.1.2.1.6

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = - 1 - λ + λ + 1 λ^{2} - 2 \cdot 3$

단계 5.2.1.2.1.7

$λ^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = - 1 - λ + λ + λ^{2} - 2 \cdot 3$

단계 5.2.1.2.2

$- λ$ 를 $λ$ 에 더합니다.

$p (λ) = - 1 + 0 + λ^{2} - 2 \cdot 3$

단계 5.2.1.2.3

$- 1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$p (λ) = - 1 + λ^{2} - 2 \cdot 3$

단계 5.2.1.3

$- 2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$p (λ) = - 1 + λ^{2} - 6$

단계 5.2.2

$- 1$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$p (λ) = λ^{2} - 7$

단계 6

특성다항식이 $0$ 이 되도록 하여 고유값 $λ$ 를 구합니다.

$λ^{2} - 7 = 0$

단계 7

$λ$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

방정식의 양변에 $7$ 를 더합니다.

$λ^{2} = 7$

단계 7.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$λ = \pm \sqrt{7}$

단계 7.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$λ = \sqrt{7}$

단계 7.3.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$λ = - \sqrt{7}$

단계 7.3.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$λ = \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

단계 8

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$λ = \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

소수 형태:

$λ = 2.64575131 \dots, - 2.64575131 \dots$