선형 대수 예제

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}]$

단계 1

고유값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

특성방정식 $p (λ)$ 를 구하기 위하여 공식을 세웁니다.

$p (λ) = 행렬식 (A - λ I_{3})$

단계 1.2

크기가 $3$ 인 단위행렬은 주대각선이 1이고 나머지는 0인 $3 \times 3$ 정방행렬입니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

단계 1.3

알고 있는 값을 $p (λ) = 행렬식 (A - λ I_{3})$ 에 대입합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$A$ 에 $[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}]$ 를 대입합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] - λ I_{3})$

단계 1.3.2

$I_{3}$ 에 $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ 를 대입합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

단계 1.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1.1

행렬의 각 원소에 $- λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2

행렬의 각 원소를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1.2.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2.2

$- λ \cdot 0$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1.2.2.1

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2.2.2

$0$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2.3

$- λ \cdot 0$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1.2.3.1

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2.3.2

$0$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2.4

$- λ \cdot 0$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1.2.4.1

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2.4.2

$0$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2.5

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2.6

$- λ \cdot 0$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1.2.6.1

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2.6.2

$0$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2.7

$- λ \cdot 0$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1.2.7.1

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2.7.2

$0$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2.8

$- λ \cdot 0$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1.2.8.1

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2.8.2

$0$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2.9

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

단계 1.4.2

해당하는 원소를 더합니다.

$p (λ) = 행렬식 [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 + 0 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 0 - λ & 1 + 0 \\ - 2 + 0 & - 2 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

단계 1.4.3

Simplify each element.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.3.1

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$p (λ) = 행렬식 [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 0 - λ & 1 + 0 \\ - 2 + 0 & - 2 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

단계 1.4.3.2

$- 1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$p (λ) = 행렬식 [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & - 1 \\ 1 + 0 & 0 - λ & 1 + 0 \\ - 2 + 0 & - 2 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

단계 1.4.3.3

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$p (λ) = 행렬식 [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & - 1 \\ 1 & 0 - λ & 1 + 0 \\ - 2 + 0 & - 2 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

단계 1.4.3.4

$0$ 에서 $λ$ 을 뺍니다.

$p (λ) = 행렬식 [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & - 1 \\ 1 & - λ & 1 + 0 \\ - 2 + 0 & - 2 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

단계 1.4.3.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$p (λ) = 행렬식 [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & - 1 \\ 1 & - λ & 1 \\ - 2 + 0 & - 2 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

단계 1.4.3.6

$- 2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$p (λ) = 행렬식 [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & - 1 \\ 1 & - λ & 1 \\ - 2 & - 2 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

단계 1.4.3.7

$- 2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$p (λ) = 행렬식 [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & - 1 \\ 1 & - λ & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 - λ \end{array}]$

단계 1.4.3.8

$0$ 에서 $λ$ 을 뺍니다.

$p (λ) = 행렬식 [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & - 1 \\ 1 & - λ & 1 \\ - 2 & - 2 & - λ \end{array}]$

단계 1.5

Find the determinant.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

단계 1.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

단계 1.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - λ & 1 \\ - 2 & - λ \end{array} |$

단계 1.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(1 - λ) | \begin{array}{c} - λ & 1 \\ - 2 & - λ \end{array} |$

단계 1.5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - λ \end{array} |$

단계 1.5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 2 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - λ \end{array} |$

단계 1.5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - λ \\ - 2 & - 2 \end{array} |$

단계 1.5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 1 & - λ \\ - 2 & - 2 \end{array} |$

단계 1.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} - λ & 1 \\ - 2 & - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & - λ \\ - 2 & - 2 \end{array} |$

단계 1.5.2

$| \begin{array}{c} - λ & 1 \\ - 2 & - λ \end{array} |$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.1

$2 \times 2$ 행렬의 행렬식은 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 공식을 이용해 계산합니다.

$p (λ) = (1 - λ) (- λ (- λ) - (- 2 \cdot 1)) - 2 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & - λ \\ - 2 & - 2 \end{array} |$

단계 1.5.2.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.2.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$p (λ) = (1 - λ) (- 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 2 \cdot 1)) - 2 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & - λ \\ - 2 & - 2 \end{array} |$

단계 1.5.2.2.2

지수를 더하여 $λ$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.2.2.1

$λ$ 를 옮깁니다.

$p (λ) = (1 - λ) (- 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 2 \cdot 1)) - 2 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & - λ \\ - 2 & - 2 \end{array} |$

단계 1.5.2.2.2.2

$λ$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = (1 - λ) (- 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 2 \cdot 1)) - 2 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & - λ \\ - 2 & - 2 \end{array} |$

단계 1.5.2.2.3

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = (1 - λ) (1 λ^{2} - (- 2 \cdot 1)) - 2 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & - λ \\ - 2 & - 2 \end{array} |$

단계 1.5.2.2.4

$λ^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - (- 2 \cdot 1)) - 2 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & - λ \\ - 2 & - 2 \end{array} |$

단계 1.5.2.2.5

$- (- 2 \cdot 1)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.2.5.1

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - - 2) - 2 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & - λ \\ - 2 & - 2 \end{array} |$

단계 1.5.2.2.5.2

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} + 2) - 2 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & - λ \\ - 2 & - 2 \end{array} |$

단계 1.5.3

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - λ \end{array} |$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.1

$2 \times 2$ 행렬의 행렬식은 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 공식을 이용해 계산합니다.

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} + 2) - 2 (1 (- λ) - (- 2 \cdot 1)) - 1 | \begin{array}{c} 1 & - λ \\ - 2 & - 2 \end{array} |$

단계 1.5.3.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.2.1

$- λ$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} + 2) - 2 (- λ - (- 2 \cdot 1)) - 1 | \begin{array}{c} 1 & - λ \\ - 2 & - 2 \end{array} |$

단계 1.5.3.2.2

$- (- 2 \cdot 1)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.2.2.1

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} + 2) - 2 (- λ - - 2) - 1 | \begin{array}{c} 1 & - λ \\ - 2 & - 2 \end{array} |$

단계 1.5.3.2.2.2

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} + 2) - 2 (- λ + 2) - 1 | \begin{array}{c} 1 & - λ \\ - 2 & - 2 \end{array} |$

단계 1.5.4

$| \begin{array}{c} 1 & - λ \\ - 2 & - 2 \end{array} |$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.4.1

$2 \times 2$ 행렬의 행렬식은 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 공식을 이용해 계산합니다.

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} + 2) - 2 (- λ + 2) - 1 (1 \cdot - 2 - (- 2 (- λ)))$

단계 1.5.4.2

행렬식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.4.2.1.1

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} + 2) - 2 (- λ + 2) - 1 (- 2 - (- 2 (- λ)))$

단계 1.5.4.2.1.2

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} + 2) - 2 (- λ + 2) - 1 (- 2 - (2 λ))$

단계 1.5.4.2.1.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} + 2) - 2 (- λ + 2) - 1 (- 2 - 2 λ)$

단계 1.5.4.2.2

$- 2$ 와 $- 2 λ$ 을 다시 정렬합니다.

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} + 2) - 2 (- λ + 2) - 1 (- 2 λ - 2)$

단계 1.5.5

행렬식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.5.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.5.1.1

FOIL 계산법을 이용하여 $(1 - λ) (λ^{2} + 2)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.5.1.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$p (λ) = 1 (λ^{2} + 2) - λ (λ^{2} + 2) - 2 (- λ + 2) - 1 (- 2 λ - 2)$

단계 1.5.5.1.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$p (λ) = 1 λ^{2} + 1 \cdot 2 - λ (λ^{2} + 2) - 2 (- λ + 2) - 1 (- 2 λ - 2)$

단계 1.5.5.1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$p (λ) = 1 λ^{2} + 1 \cdot 2 - λ \cdot λ^{2} - λ \cdot 2 - 2 (- λ + 2) - 1 (- 2 λ - 2)$

단계 1.5.5.1.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.5.1.2.1

$λ^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = λ^{2} + 1 \cdot 2 - λ \cdot λ^{2} - λ \cdot 2 - 2 (- λ + 2) - 1 (- 2 λ - 2)$

단계 1.5.5.1.2.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = λ^{2} + 2 - λ \cdot λ^{2} - λ \cdot 2 - 2 (- λ + 2) - 1 (- 2 λ - 2)$

단계 1.5.5.1.2.3

지수를 더하여 $λ$ 에 $λ^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.5.1.2.3.1

$λ^{2}$ 를 옮깁니다.

$p (λ) = λ^{2} + 2 - (λ^{2} λ) - λ \cdot 2 - 2 (- λ + 2) - 1 (- 2 λ - 2)$

단계 1.5.5.1.2.3.2

$λ^{2}$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.5.1.2.3.2.1

$λ$ 를 $1$ 승 합니다.

$p (λ) = λ^{2} + 2 - (λ^{2} λ^{1}) - λ \cdot 2 - 2 (- λ + 2) - 1 (- 2 λ - 2)$

단계 1.5.5.1.2.3.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$p (λ) = λ^{2} + 2 - λ^{2 + 1} - λ \cdot 2 - 2 (- λ + 2) - 1 (- 2 λ - 2)$

단계 1.5.5.1.2.3.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$p (λ) = λ^{2} + 2 - λ^{3} - λ \cdot 2 - 2 (- λ + 2) - 1 (- 2 λ - 2)$

단계 1.5.5.1.2.4

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = λ^{2} + 2 - λ^{3} - 2 λ - 2 (- λ + 2) - 1 (- 2 λ - 2)$

단계 1.5.5.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$p (λ) = λ^{2} + 2 - λ^{3} - 2 λ - 2 (- λ) - 2 \cdot 2 - 1 (- 2 λ - 2)$

단계 1.5.5.1.4

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$p (λ) = λ^{2} + 2 - λ^{3} - 2 λ + 2 λ - 2 \cdot 2 - 1 (- 2 λ - 2)$

단계 1.5.5.1.5

$- 2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$p (λ) = λ^{2} + 2 - λ^{3} - 2 λ + 2 λ - 4 - 1 (- 2 λ - 2)$

단계 1.5.5.1.6

분배 법칙을 적용합니다.

$p (λ) = λ^{2} + 2 - λ^{3} - 2 λ + 2 λ - 4 - 1 (- 2 λ) - 1 \cdot - 2$

단계 1.5.5.1.7

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = λ^{2} + 2 - λ^{3} - 2 λ + 2 λ - 4 + 2 λ - 1 \cdot - 2$

단계 1.5.5.1.8

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$p (λ) = λ^{2} + 2 - λ^{3} - 2 λ + 2 λ - 4 + 2 λ + 2$

단계 1.5.5.2

$λ^{2} + 2 - λ^{3} - 2 λ + 2 λ - 4 + 2 λ + 2$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.5.2.1

$- 2 λ$ 를 $2 λ$ 에 더합니다.

$p (λ) = λ^{2} + 2 - λ^{3} + 0 - 4 + 2 λ + 2$

단계 1.5.5.2.2

$λ^{2} + 2 - λ^{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$p (λ) = λ^{2} + 2 - λ^{3} - 4 + 2 λ + 2$

단계 1.5.5.3

$2$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$p (λ) = λ^{2} - λ^{3} - 2 + 2 λ + 2$

단계 1.5.5.4

$λ^{2} - λ^{3} - 2 + 2 λ + 2$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.5.4.1

$- 2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$p (λ) = λ^{2} - λ^{3} + 2 λ + 0$

단계 1.5.5.4.2

$λ^{2} - λ^{3} + 2 λ$ 를 $0$ 에 더합니다.

$p (λ) = λ^{2} - λ^{3} + 2 λ$

단계 1.5.5.5

$λ^{2}$ 와 $- λ^{3}$ 을 다시 정렬합니다.

$p (λ) = - λ^{3} + λ^{2} + 2 λ$

단계 1.6

특성다항식이 $0$ 이 되도록 하여 고유값 $λ$ 를 구합니다.

$- λ^{3} + λ^{2} + 2 λ = 0$

단계 1.7

$λ$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.1

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.1.1

$- λ^{3} + λ^{2} + 2 λ$ 에서 $- λ$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.1.1.1

$- λ^{3}$ 에서 $- λ$ 를 인수분해합니다.

$- λ \cdot λ^{2} + λ^{2} + 2 λ = 0$

단계 1.7.1.1.2

$λ^{2}$ 에서 $- λ$ 를 인수분해합니다.

$- λ \cdot λ^{2} - λ (- λ) + 2 λ = 0$

단계 1.7.1.1.3

$2 λ$ 에서 $- λ$ 를 인수분해합니다.

$- λ \cdot λ^{2} - λ (- λ) - λ \cdot - 2 = 0$

단계 1.7.1.1.4

$- λ (λ^{2}) - λ (- λ)$ 에서 $- λ$ 를 인수분해합니다.

$- λ (λ^{2} - λ) - λ \cdot - 2 = 0$

단계 1.7.1.1.5

$- λ (λ^{2} - λ) - λ (- 2)$ 에서 $- λ$ 를 인수분해합니다.

$- λ (λ^{2} - λ - 2) = 0$

단계 1.7.1.2

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.1.2.1

AC 방법을 이용하여 $λ^{2} - λ - 2$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.1.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 2$ 이고 합은 $- 1$ 입니다.

$- 2, 1$

단계 1.7.1.2.1.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$- λ ((λ - 2) (λ + 1)) = 0$

단계 1.7.1.2.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$- λ (λ - 2) (λ + 1) = 0$

단계 1.7.2

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$λ = 0$

$λ - 2 = 0$

$λ + 1 = 0$

단계 1.7.3

$λ$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$λ = 0$

단계 1.7.4

$λ - 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $λ$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.4.1

$λ - 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$λ - 2 = 0$

단계 1.7.4.2

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$λ = 2$

단계 1.7.5

$λ + 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $λ$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.5.1

$λ + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$λ + 1 = 0$

단계 1.7.5.2

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$λ = - 1$

단계 1.7.6

$- λ (λ - 2) (λ + 1) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$λ = 0, 2, - 1$

단계 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{3})$

단계 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 0$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

알고 있는 값을 공식에 대입합니다.

$N ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + 0 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

단계 3.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

행렬의 각 원소에 $0$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

단계 3.2.1.2

행렬의 각 원소를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.2.1

$0$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

단계 3.2.1.2.2

$0$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

단계 3.2.1.2.3

$0$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

단계 3.2.1.2.4

$0$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

단계 3.2.1.2.5

$0$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

단계 3.2.1.2.6

$0$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

단계 3.2.1.2.7

$0$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

단계 3.2.1.2.8

$0$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

단계 3.2.1.2.9

$0$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

단계 3.2.2

Adding any matrix to a null matrix is the matrix itself.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

해당하는 원소를 더합니다.

$[\begin{array}{c} 1 + 0 & 2 + 0 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ - 2 + 0 & - 2 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

단계 3.2.2.2

Simplify each element.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.2.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 + 0 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ - 2 + 0 & - 2 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

단계 3.2.2.2.2

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ - 2 + 0 & - 2 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

단계 3.2.2.2.3

$- 1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ - 2 + 0 & - 2 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

단계 3.2.2.2.4

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ - 2 + 0 & - 2 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

단계 3.2.2.2.5

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 + 0 \\ - 2 + 0 & - 2 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

단계 3.2.2.2.6

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 + 0 & - 2 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

단계 3.2.2.2.7

$- 2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

단계 3.2.2.2.8

$- 2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 + 0 \end{array}]$

단계 3.2.2.2.9

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}]$

단계 3.3

Find the null space when $λ = 0$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ - 2 & - 2 & 0 & 0 \end{array}]$

단계 3.3.2

기약 행 사다리꼴을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & 0 \\ 1 - 1 & 0 - 2 & 1 + 1 & 0 - 0 \\ - 2 & - 2 & 0 & 0 \end{array}]$

단계 3.3.2.1.2

$R_{2}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & 0 \\ 0 & - 2 & 2 & 0 \\ - 2 & - 2 & 0 & 0 \end{array}]$

단계 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & 0 \\ 0 & - 2 & 2 & 0 \\ - 2 + 2 \cdot 1 & - 2 + 2 \cdot 2 & 0 + 2 \cdot - 1 & 0 + 2 \cdot 0 \end{array}]$

단계 3.3.2.2.2

$R_{3}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & 0 \\ 0 & - 2 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & - 2 & 0 \end{array}]$

단계 3.3.2.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{2}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{2}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & 0 \\ - \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot 2 & - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ 0 & 2 & - 2 & 0 \end{array}]$

단계 3.3.2.3.2

$R_{2}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 2 & - 2 & 0 \end{array}]$

단계 3.3.2.4

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.4.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & - 2 - 2 \cdot - 1 & 0 - 2 \cdot 0 \end{array}]$

단계 3.3.2.4.2

$R_{3}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

단계 3.3.2.5

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & - 1 - 2 \cdot - 1 & 0 - 2 \cdot 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

단계 3.3.2.5.2

$R_{1}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

단계 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + z = 0$

$y - z = 0$

$0 = 0$

단계 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - z \\ z \\ z \end{array}]$

단계 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}]$

단계 3.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

단계 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}]}$

단계 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 2$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

알고 있는 값을 공식에 대입합니다.

$N ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] - 2 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

단계 4.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1

행렬의 각 원소에 $- 2$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

단계 4.2.1.2

행렬의 각 원소를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.2.1

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

단계 4.2.1.2.2

$- 2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

단계 4.2.1.2.3

$- 2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

단계 4.2.1.2.4

$- 2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

단계 4.2.1.2.5

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

단계 4.2.1.2.6

$- 2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

단계 4.2.1.2.7

$- 2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 \\ 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

단계 4.2.1.2.8

$- 2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

단계 4.2.1.2.9

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 \end{array}]$

단계 4.2.2

해당하는 원소를 더합니다.

$[\begin{array}{c} 1 - 2 & 2 + 0 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 0 - 2 & 1 + 0 \\ - 2 + 0 & - 2 + 0 & 0 - 2 \end{array}]$

단계 4.2.3

Simplify each element.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.3.1

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$[\begin{array}{c} - 1 & 2 + 0 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 0 - 2 & 1 + 0 \\ - 2 + 0 & - 2 + 0 & 0 - 2 \end{array}]$

단계 4.2.3.2

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} - 1 & 2 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 0 - 2 & 1 + 0 \\ - 2 + 0 & - 2 + 0 & 0 - 2 \end{array}]$

단계 4.2.3.3

$- 1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} - 1 & 2 & - 1 \\ 1 + 0 & 0 - 2 & 1 + 0 \\ - 2 + 0 & - 2 + 0 & 0 - 2 \end{array}]$

단계 4.2.3.4

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} - 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 - 2 & 1 + 0 \\ - 2 + 0 & - 2 + 0 & 0 - 2 \end{array}]$

단계 4.2.3.5

$0$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$[\begin{array}{c} - 1 & 2 & - 1 \\ 1 & - 2 & 1 + 0 \\ - 2 + 0 & - 2 + 0 & 0 - 2 \end{array}]$

단계 4.2.3.6

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} - 1 & 2 & - 1 \\ 1 & - 2 & 1 \\ - 2 + 0 & - 2 + 0 & 0 - 2 \end{array}]$

단계 4.2.3.7

$- 2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} - 1 & 2 & - 1 \\ 1 & - 2 & 1 \\ - 2 & - 2 + 0 & 0 - 2 \end{array}]$

단계 4.2.3.8

$- 2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} - 1 & 2 & - 1 \\ 1 & - 2 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 - 2 \end{array}]$

단계 4.2.3.9

$0$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$[\begin{array}{c} - 1 & 2 & - 1 \\ 1 & - 2 & 1 \\ - 2 & - 2 & - 2 \end{array}]$

단계 4.3

Find the null space when $λ = 2$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 2 & - 1 & 0 \\ 1 & - 2 & 1 & 0 \\ - 2 & - 2 & - 2 & 0 \end{array}]$

단계 4.3.2

기약 행 사다리꼴을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - - 1 & - 1 \cdot 2 & - - 1 & - 0 \\ 1 & - 2 & 1 & 0 \\ - 2 & - 2 & - 2 & 0 \end{array}]$

단계 4.3.2.1.2

$R_{1}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 1 & 0 \\ 1 & - 2 & 1 & 0 \\ - 2 & - 2 & - 2 & 0 \end{array}]$

단계 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 1 & 0 \\ 1 - 1 & - 2 + 2 & 1 - 1 & 0 - 0 \\ - 2 & - 2 & - 2 & 0 \end{array}]$

단계 4.3.2.2.2

$R_{2}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ - 2 & - 2 & - 2 & 0 \end{array}]$

단계 4.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ - 2 + 2 \cdot 1 & - 2 + 2 \cdot - 2 & - 2 + 2 \cdot 1 & 0 + 2 \cdot 0 \end{array}]$

단계 4.3.2.3.2

$R_{3}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 6 & 0 & 0 \end{array}]$

단계 4.3.2.4

Swap $R_{3}$ with $R_{2}$ to put a nonzero entry at $2, 2$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 1 & 0 \\ 0 & - 6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

단계 4.3.2.5

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{6}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.5.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{6}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 1 & 0 \\ - \frac{1}{6} \cdot 0 & - \frac{1}{6} \cdot - 6 & - \frac{1}{6} \cdot 0 & - \frac{1}{6} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

단계 4.3.2.5.2

$R_{2}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

단계 4.3.2.6

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + 2 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.6.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + 2 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 2 \cdot 0 & - 2 + 2 \cdot 1 & 1 + 2 \cdot 0 & 0 + 2 \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

단계 4.3.2.6.2

$R_{1}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

단계 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + z = 0$

$y = 0$

$0 = 0$

단계 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - z \\ 0 \\ z \end{array}]$

단계 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

단계 4.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

단계 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

단계 5

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = - 1$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

알고 있는 값을 공식에 대입합니다.

$N ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

단계 5.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

해당하는 원소를 더합니다.

$[\begin{array}{c} 1 + 1 & 2 + 0 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 1 & 1 + 0 \\ - 2 + 0 & - 2 + 0 & 0 + 1 \end{array}]$

단계 5.2.2

Simplify each element.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 2 & 2 + 0 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 1 & 1 + 0 \\ - 2 + 0 & - 2 + 0 & 0 + 1 \end{array}]$

단계 5.2.2.2

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 1 & 1 + 0 \\ - 2 + 0 & - 2 + 0 & 0 + 1 \end{array}]$

단계 5.2.2.3

$- 1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & - 1 \\ 1 + 0 & 0 + 1 & 1 + 0 \\ - 2 + 0 & - 2 + 0 & 0 + 1 \end{array}]$

단계 5.2.2.4

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 + 1 & 1 + 0 \\ - 2 + 0 & - 2 + 0 & 0 + 1 \end{array}]$

단계 5.2.2.5

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & - 1 \\ 1 & 1 & 1 + 0 \\ - 2 + 0 & - 2 + 0 & 0 + 1 \end{array}]$

단계 5.2.2.6

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & - 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ - 2 + 0 & - 2 + 0 & 0 + 1 \end{array}]$

단계 5.2.2.7

$- 2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & - 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ - 2 & - 2 + 0 & 0 + 1 \end{array}]$

단계 5.2.2.8

$- 2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & - 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 + 1 \end{array}]$

단계 5.2.2.9

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & - 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ - 2 & - 2 & 1 \end{array}]$

단계 5.3

Find the null space when $λ = - 1$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & - 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ - 2 & - 2 & 1 & 0 \end{array}]$

단계 5.3.2

기약 행 사다리꼴을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{2}{2} & \frac{- 1}{2} & \frac{0}{2} \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ - 2 & - 2 & 1 & 0 \end{array}]$

단계 5.3.2.1.2

$R_{1}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ - 2 & - 2 & 1 & 0 \end{array}]$

단계 5.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 1 - 1 & 1 - 1 & 1 + \frac{1}{2} & 0 - 0 \\ - 2 & - 2 & 1 & 0 \end{array}]$

단계 5.3.2.2.2

$R_{2}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{3}{2} & 0 \\ - 2 & - 2 & 1 & 0 \end{array}]$

단계 5.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{3}{2} & 0 \\ - 2 + 2 \cdot 1 & - 2 + 2 \cdot 1 & 1 + 2 (- \frac{1}{2}) & 0 + 2 \cdot 0 \end{array}]$

단계 5.3.2.3.2

$R_{3}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{3}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

단계 5.3.2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{2}{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $1$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{2}{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{2}{3} \cdot 0 & \frac{2}{3} \cdot 0 & \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} & \frac{2}{3} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

단계 5.3.2.4.2

$R_{2}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

단계 5.3.2.5

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{1}{2} R_{2}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{1}{2} R_{2}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{1}{2} \cdot 0 & 1 + \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1 & 0 + \frac{1}{2} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

단계 5.3.2.5.2

$R_{1}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

단계 5.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + y = 0$

$z = 0$

$0 = 0$

단계 5.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - y \\ y \\ 0 \end{array}]$

단계 5.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = y [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}]$

단계 5.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}] | y \in R}$

단계 5.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}]}$

단계 6

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}]}$