선형 대수 예제

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 \\ - 1 & 4 \end{array}]$

단계 1

고유값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

특성방정식 $p (λ)$ 를 구하기 위하여 공식을 세웁니다.

$p (λ) = 행렬식 (A - λ I_{2})$

단계 1.2

크기가 $2$ 인 단위행렬은 주대각선이 1이고 나머지는 0인 $2 \times 2$ 정방행렬입니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

단계 1.3

알고 있는 값을 $p (λ) = 행렬식 (A - λ I_{2})$ 에 대입합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$A$ 에 $[\begin{array}{c} 3 & - 2 \\ - 1 & 4 \end{array}]$ 를 대입합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 3 & - 2 \\ - 1 & 4 \end{array}] - λ I_{2})$

단계 1.3.2

$I_{2}$ 에 $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ 를 대입합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 3 & - 2 \\ - 1 & 4 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

단계 1.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1.1

행렬의 각 원소에 $- λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 3 & - 2 \\ - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2

행렬의 각 원소를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1.2.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 3 & - 2 \\ - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2.2

$- λ \cdot 0$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1.2.2.1

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 3 & - 2 \\ - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2.2.2

$0$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 3 & - 2 \\ - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2.3

$- λ \cdot 0$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1.2.3.1

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 3 & - 2 \\ - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2.3.2

$0$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 3 & - 2 \\ - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 3 & - 2 \\ - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

단계 1.4.2

해당하는 원소를 더합니다.

$p (λ) = 행렬식 [\begin{array}{c} 3 - λ & - 2 + 0 \\ - 1 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

단계 1.4.3

Simplify each element.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.3.1

$- 2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$p (λ) = 행렬식 [\begin{array}{c} 3 - λ & - 2 \\ - 1 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

단계 1.4.3.2

$- 1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$p (λ) = 행렬식 [\begin{array}{c} 3 - λ & - 2 \\ - 1 & 4 - λ \end{array}]$

단계 1.5

Find the determinant.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

$2 \times 2$ 행렬의 행렬식은 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 공식을 이용해 계산합니다.

$p (λ) = (3 - λ) (4 - λ) - - - 2$

단계 1.5.2

행렬식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.1.1

FOIL 계산법을 이용하여 $(3 - λ) (4 - λ)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.1.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$p (λ) = 3 (4 - λ) - λ (4 - λ) - - - 2$

단계 1.5.2.1.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$p (λ) = 3 \cdot 4 + 3 (- λ) - λ (4 - λ) - - - 2$

단계 1.5.2.1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$p (λ) = 3 \cdot 4 + 3 (- λ) - λ \cdot 4 - λ (- λ) - - - 2$

단계 1.5.2.1.2

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.1.2.1.1

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 12 + 3 (- λ) - λ \cdot 4 - λ (- λ) - - - 2$

단계 1.5.2.1.2.1.2

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 12 - 3 λ - λ \cdot 4 - λ (- λ) - - - 2$

단계 1.5.2.1.2.1.3

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 12 - 3 λ - 4 λ - λ (- λ) - - - 2$

단계 1.5.2.1.2.1.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$p (λ) = 12 - 3 λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - - - 2$

단계 1.5.2.1.2.1.5

지수를 더하여 $λ$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.1.2.1.5.1

$λ$ 를 옮깁니다.

$p (λ) = 12 - 3 λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - - - 2$

단계 1.5.2.1.2.1.5.2

$λ$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 12 - 3 λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - - - 2$

단계 1.5.2.1.2.1.6

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 12 - 3 λ - 4 λ + 1 λ^{2} - - - 2$

단계 1.5.2.1.2.1.7

$λ^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 12 - 3 λ - 4 λ + λ^{2} - - - 2$

단계 1.5.2.1.2.2

$- 3 λ$ 에서 $4 λ$ 을 뺍니다.

$p (λ) = 12 - 7 λ + λ^{2} - - - 2$

단계 1.5.2.1.3

$- - - 2$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.1.3.1

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 12 - 7 λ + λ^{2} - 1 \cdot 2$

단계 1.5.2.1.3.2

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 12 - 7 λ + λ^{2} - 2$

단계 1.5.2.2

$12$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$p (λ) = - 7 λ + λ^{2} + 10$

단계 1.5.2.3

$- 7 λ$ 와 $λ^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$p (λ) = λ^{2} - 7 λ + 10$

단계 1.6

특성다항식이 $0$ 이 되도록 하여 고유값 $λ$ 를 구합니다.

$λ^{2} - 7 λ + 10 = 0$

단계 1.7

$λ$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.1

AC 방법을 이용하여 $λ^{2} - 7 λ + 10$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.1.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $10$ 이고 합은 $- 7$ 입니다.

$- 5, - 2$

단계 1.7.1.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$(λ - 5) (λ - 2) = 0$

단계 1.7.2

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$λ - 5 = 0$

$λ - 2 = 0$

단계 1.7.3

$λ - 5$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $λ$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.3.1

$λ - 5$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$λ - 5 = 0$

단계 1.7.3.2

방정식의 양변에 $5$ 를 더합니다.

$λ = 5$

단계 1.7.4

$λ - 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $λ$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.4.1

$λ - 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$λ - 2 = 0$

단계 1.7.4.2

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$λ = 2$

단계 1.7.5

$(λ - 5) (λ - 2) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$λ = 5, 2$

단계 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{2})$

단계 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 5$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

알고 있는 값을 공식에 대입합니다.

$N ([\begin{array}{c} 3 & - 2 \\ - 1 & 4 \end{array}] - 5 [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

단계 3.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

행렬의 각 원소에 $- 5$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 \\ - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 \cdot 1 & - 5 \cdot 0 \\ - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 1 \end{array}]$

단계 3.2.1.2

행렬의 각 원소를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.2.1

$- 5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 \\ - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 & - 5 \cdot 0 \\ - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 1 \end{array}]$

단계 3.2.1.2.2

$- 5$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 \\ - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 & 0 \\ - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 1 \end{array}]$

단계 3.2.1.2.3

$- 5$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 \\ - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 & 0 \\ 0 & - 5 \cdot 1 \end{array}]$

단계 3.2.1.2.4

$- 5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 \\ - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 & 0 \\ 0 & - 5 \end{array}]$

단계 3.2.2

해당하는 원소를 더합니다.

$[\begin{array}{c} 3 - 5 & - 2 + 0 \\ - 1 + 0 & 4 - 5 \end{array}]$

단계 3.2.3

Simplify each element.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.3.1

$3$ 에서 $5$ 을 뺍니다.

$[\begin{array}{c} - 2 & - 2 + 0 \\ - 1 + 0 & 4 - 5 \end{array}]$

단계 3.2.3.2

$- 2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} - 2 & - 2 \\ - 1 + 0 & 4 - 5 \end{array}]$

단계 3.2.3.3

$- 1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} - 2 & - 2 \\ - 1 & 4 - 5 \end{array}]$

단계 3.2.3.4

$4$ 에서 $5$ 을 뺍니다.

$[\begin{array}{c} - 2 & - 2 \\ - 1 & - 1 \end{array}]$

단계 3.3

Find the null space when $λ = 5$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & - 2 & 0 \\ - 1 & - 1 & 0 \end{array}]$

단계 3.3.2

기약 행 사다리꼴을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ - 1 & - 1 & 0 \end{array}]$

단계 3.3.2.1.2

$R_{1}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ - 1 & - 1 & 0 \end{array}]$

단계 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ - 1 + 1 \cdot 1 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 + 0 \end{array}]$

단계 3.3.2.2.2

$R_{2}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

단계 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + y = 0$

$0 = 0$

단계 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - y \\ y \end{array}]$

단계 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \end{array}]$

단계 3.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

단계 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \end{array}]}$

단계 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 2$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

알고 있는 값을 공식에 대입합니다.

$N ([\begin{array}{c} 3 & - 2 \\ - 1 & 4 \end{array}] - 2 [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

단계 4.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1

행렬의 각 원소에 $- 2$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 \\ - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

단계 4.2.1.2

행렬의 각 원소를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.2.1

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 \\ - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

단계 4.2.1.2.2

$- 2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 \\ - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

단계 4.2.1.2.3

$- 2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 \\ - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 \\ 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

단계 4.2.1.2.4

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 \\ - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 \\ 0 & - 2 \end{array}]$

단계 4.2.2

해당하는 원소를 더합니다.

$[\begin{array}{c} 3 - 2 & - 2 + 0 \\ - 1 + 0 & 4 - 2 \end{array}]$

단계 4.2.3

Simplify each element.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.3.1

$3$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 + 0 \\ - 1 + 0 & 4 - 2 \end{array}]$

단계 4.2.3.2

$- 2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 1 + 0 & 4 - 2 \end{array}]$

단계 4.2.3.3

$- 1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 1 & 4 - 2 \end{array}]$

단계 4.2.3.4

$4$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 1 & 2 \end{array}]$

단계 4.3

Find the null space when $λ = 2$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 0 \\ - 1 & 2 & 0 \end{array}]$

단계 4.3.2

기약 행 사다리꼴을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 0 \\ - 1 + 1 \cdot 1 & 2 - 2 & 0 + 0 \end{array}]$

단계 4.3.2.1.2

$R_{2}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

단계 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - 2 y = 0$

$0 = 0$

단계 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 2 y \\ y \end{array}]$

단계 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array}]$

단계 4.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

단계 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array}]}$

단계 5

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array}]}$