선형 대수 예제

$15 [\begin{array}{c} 3 & - 6 & 5 \\ 2 & - 1 & 0 \\ - 4 & 7 & 4 \end{array}] - 5 x = 30 [\begin{array}{c} - 1 & - 2 & 1 \\ 5 & 5 & - 4 \\ - 3 & - 2 & 1 \end{array}]$

단계 1

변환은 $ℝ^{3}$ 에서 $ℝ^{3}$ 으로의 사상을 정의합니다. 선형 변환임을 증명하기 위해서는 해당 변환에서 스칼라 곱, 덧셈 및 영벡터가 보존되어야 합니다.

M: $ℝ^{3} \to ℝ^{3}$

단계 2

먼저 변환이 이 성질을 유지하는 것을 증명합니다.

$M (x + y) = M (x) + M (y)$

단계 3

덧셈 성질이 $M$ 에 대해 성립하는지 확인하기 위하여 두 개의 행렬을 세웁니다.

$M ([\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{array}])$

단계 4

두 행렬을 더합니다.

$M [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \\ x_{3} + y_{3} \end{array}]$

단계 5

벡터를 변환합니다.

$M (x + y) = [\begin{array}{c} - 1 \\ 5 \\ - 3 \end{array}]$

단계 6

변수를 그룹지어 결과를 두 개의 행렬로 나눕니다.

$M (x + y) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

단계 7

변환의 덧셈 성질을 만족하지 않으므로 이는 선형 변환이 아닙니다.

$M (x + y) \neq M (x) + M (y)$