선형 대수 예제

$S [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = (x + y + z) \cdot [\begin{array}{c} 1 \\ z \end{array}]$

단계 1

변환은 $ℝ^{3}$ 에서 $ℝ^{1}$ 으로의 사상을 정의합니다. 선형 변환임을 증명하기 위해서는 해당 변환에서 스칼라 곱, 덧셈 및 영벡터가 보존되어야 합니다.

S: $ℝ^{3} \to ℝ^{1}$

단계 2

먼저 변환이 이 성질을 유지하는 것을 증명합니다.

$S (x + y) = S (x) + S (y)$

단계 3

덧셈 성질이 $S$ 에 대해 성립하는지 확인하기 위하여 두 개의 행렬을 세웁니다.

$S ([\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{array}])$

단계 4

두 행렬을 더합니다.

$S [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \\ x_{3} + y_{3} \end{array}]$

단계 5

벡터를 변환합니다.

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} + x_{2} + y_{2} + x_{3} + y_{3} \end{array}]$

단계 6

$x_{1} + y_{1} + x_{2} + y_{2} + x_{3} + y_{3}$ 을(를) 다시 정렬합니다.

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} + x_{2} + x_{3} + y_{1} + y_{2} + y_{3} \end{array}]$

단계 7

변수를 그룹지어 결과를 두 개의 행렬로 나눕니다.

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} + x_{2} + x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} + y_{2} + y_{3} \end{array}]$

단계 8

변환의 덧셈 성질이 성립합니다.

$S (x + y) = S (x) + S (y)$

단계 9

변환이 선형이기 위해서는 스칼라 곱을 유지해야 합니다.

$S (p x) = T (p [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}])$

단계 10

각 원소를 $p$ 로 인수분해합니다.

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단계 10.1

행렬의 각 원소에 $p$ 을 곱합니다.

$S (p x) = S ([\begin{array}{c} p x \\ p y \\ p z \end{array}])$

단계 10.2

벡터를 변환합니다.

$S (p x) = [\begin{array}{c} p x + p y + p z \end{array}]$

단계 10.3

$p x + p y + p z$ 을(를) 다시 정렬합니다.

$S (p x) = [\begin{array}{c} p x + p y + p z \end{array}]$

단계 10.4

$p x + p y + p z$ 을 곱하여 원소 $0, 0$ 를 인수분해합니다.

$S (p x) = [\begin{array}{c} p (x + y + z) \end{array}]$

단계 11

이 변환에서는 선형 변환의 두 번째 성질이 성립됩니다.

$S (p [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}]) = p S (x)$

단계 12

선형 변환이 되려면 영 벡터가 보존되어야 합니다.

$S (0) = 0$

단계 13

벡터를 변환합니다.

$S (0) = [\begin{array}{c} 0 + 0 + 0 \end{array}]$

단계 14

$0 + 0 + 0$ 을(를) 다시 정렬합니다.

$S (0) = [\begin{array}{c} 0 \end{array}]$

단계 15

영벡터는 변환 후 그대로 유지됩니다.

$S (0) = 0$

단계 16

선형 변환의 세 가지 성질을 모두 만족하지 않으므로, 이는 선형 변환이 아닙니다.

선형 변환