선형 대수 예제

p [\begin{array}{c} 1 \\ 5 \\ 8 \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{41}{14} \\ \frac{26}{14} \\ \frac{101}{14} \end{array}]

$p [\begin{array}{c} 1 \\ 5 \\ 8 \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{41}{14} \\ \frac{26}{14} \\ \frac{101}{14} \end{array}]$

단계 1

변환은

ℝ^{3}

$ℝ^{3}$ 에서

ℝ^{3}

$ℝ^{3}$ 으로의 사상을 정의합니다. 선형 변환임을 증명하기 위해서는 해당 변환에서 스칼라 곱, 덧셈 및 영벡터가 보존되어야 합니다.

ℝ^{3} \to ℝ^{3}

$ℝ^{3} \to ℝ^{3}$

단계 2

먼저 변환이 이 성질을 유지하는 것을 증명합니다.

p (x + y) = p (x) + p (y)

$p (x + y) = p (x) + p (y)$

단계 3

덧셈 성질이

p

$p$ 에 대해 성립하는지 확인하기 위하여 두 개의 행렬을 세웁니다.

p ([\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{array}])

$p ([\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{array}])$

단계 4

두 행렬을 더합니다.

p [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \\ x_{3} + y_{3} \end{array}]

$p [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \\ x_{3} + y_{3} \end{array}]$

단계 5

벡터를 변환합니다.

p (x + y) = [\begin{array}{c} \frac{41}{14} \\ \frac{26}{14} \\ \frac{101}{14} \end{array}]

$p (x + y) = [\begin{array}{c} \frac{41}{14} \\ \frac{26}{14} \\ \frac{101}{14} \end{array}]$

단계 6

\frac{26}{14}

$\frac{26}{14}$ 을(를) 다시 정렬합니다.

p (x + y) = [\begin{array}{c} \frac{41}{14} \\ \frac{13}{7} \\ \frac{101}{14} \end{array}]

$p (x + y) = [\begin{array}{c} \frac{41}{14} \\ \frac{13}{7} \\ \frac{101}{14} \end{array}]$

단계 7

변수를 그룹지어 결과를 두 개의 행렬로 나눕니다.

p (x + y) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]

$p (x + y) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

단계 8

변환의 덧셈 성질을 만족하지 않으므로 이는 선형 변환이 아닙니다.

p (x + y) \neq p (x) + p (y)

$p (x + y) \neq p (x) + p (y)$