선형 대수 예제

$x + 5 \sqrt{x^{2} + 11 x + 3}$

단계 1

식이 정의된 지점을 알아내려면 $\sqrt{x^{2} + 11 x + 3}$ 의 피개법수를 $0$ 보다 크거나 같게 설정해야 합니다.

$x^{2} + 11 x + 3 \geq 0$

단계 2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

부등식을 방정식으로 바꿉니다.

$x^{2} + 11 x + 3 = 0$

단계 2.2

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 2.3

이차함수의 근의 공식에 $a = 1$ , $b = 11$ , $c = 3$ 을 대입하여 $x$ 를 구합니다.

$\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 3)}}{2 \cdot 1}$

단계 2.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1.1

$11$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

단계 2.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 3$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1.2.1

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

단계 2.4.1.2.2

$- 4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 12}}{2 \cdot 1}$

단계 2.4.1.3

$121$ 에서 $12$ 을 뺍니다.

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{109}}{2 \cdot 1}$

단계 2.4.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{109}}{2}$

단계 2.5

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $+$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1.1

$11$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

단계 2.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 3$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1.2.1

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

단계 2.5.1.2.2

$- 4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 12}}{2 \cdot 1}$

단계 2.5.1.3

$121$ 에서 $12$ 을 뺍니다.

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{109}}{2 \cdot 1}$

단계 2.5.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{109}}{2}$

단계 2.5.3

$\pm$ 을 $+$ 로 바꿉니다.

$x = \frac{- 11 + \sqrt{109}}{2}$

단계 2.5.4

$- 11$ 을 $- 1 (11)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 1 \cdot 11 + \sqrt{109}}{2}$

단계 2.5.5

$\sqrt{109}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{- 1 \cdot 11 - 1 (- \sqrt{109})}{2}$

단계 2.5.6

$- 1 (11) - 1 (- \sqrt{109})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{- 1 (11 - \sqrt{109})}{2}$

단계 2.5.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x = - \frac{11 - \sqrt{109}}{2}$

단계 2.6

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $-$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.1.1

$11$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

단계 2.6.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 3$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.1.2.1

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

단계 2.6.1.2.2

$- 4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 12}}{2 \cdot 1}$

단계 2.6.1.3

$121$ 에서 $12$ 을 뺍니다.

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{109}}{2 \cdot 1}$

단계 2.6.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{109}}{2}$

단계 2.6.3

$\pm$ 을 $-$ 로 바꿉니다.

$x = \frac{- 11 - \sqrt{109}}{2}$

단계 2.6.4

$- 11$ 을 $- 1 (11)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 1 \cdot 11 - \sqrt{109}}{2}$

단계 2.6.5

$- \sqrt{109}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{- 1 \cdot 11 - (\sqrt{109})}{2}$

단계 2.6.6

$- 1 (11) - (\sqrt{109})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{- 1 (11 + \sqrt{109})}{2}$

단계 2.6.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x = - \frac{11 + \sqrt{109}}{2}$

단계 2.7

해를 하나로 합합니다.

$x = - \frac{11 - \sqrt{109}}{2}, - \frac{11 + \sqrt{109}}{2}$

단계 2.8

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < - \frac{11 + \sqrt{109}}{2}$

$- \frac{11 + \sqrt{109}}{2} < x < - \frac{11 - \sqrt{109}}{2}$

$x > - \frac{11 - \sqrt{109}}{2}$

단계 2.9

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.9.1

$x < - \frac{11 + \sqrt{109}}{2}$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.9.1.1

$x < - \frac{11 + \sqrt{109}}{2}$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 13$

단계 2.9.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 13$ 로 치환합니다.

${(- 13)}^{2} + 11 (- 13) + 3 \geq 0$

단계 2.9.1.3

좌변 $29$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 2.9.2

$- \frac{11 + \sqrt{109}}{2} < x < - \frac{11 - \sqrt{109}}{2}$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.9.2.1

$- \frac{11 + \sqrt{109}}{2} < x < - \frac{11 - \sqrt{109}}{2}$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 3$

단계 2.9.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 3$ 로 치환합니다.

${(- 3)}^{2} + 11 (- 3) + 3 \geq 0$

단계 2.9.2.3

좌변 $- 21$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 2.9.3

$x > - \frac{11 - \sqrt{109}}{2}$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.9.3.1

$x > - \frac{11 - \sqrt{109}}{2}$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 0$

단계 2.9.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $0$ 로 치환합니다.

${(0)}^{2} + 11 (0) + 3 \geq 0$

단계 2.9.3.3

좌변 $3$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 2.9.4

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < - \frac{11 + \sqrt{109}}{2}$ 참

$- \frac{11 + \sqrt{109}}{2} < x < - \frac{11 - \sqrt{109}}{2}$ 거짓

$x > - \frac{11 - \sqrt{109}}{2}$ 참

$x < - \frac{11 + \sqrt{109}}{2}$ 참

$- \frac{11 + \sqrt{109}}{2} < x < - \frac{11 - \sqrt{109}}{2}$ 거짓

$x > - \frac{11 - \sqrt{109}}{2}$ 참

단계 2.10

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$x \leq - \frac{11 + \sqrt{109}}{2}$ 또는 $x \geq - \frac{11 - \sqrt{109}}{2}$

단계 3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

구간 표기:

$(- \infty, - \frac{11 + \sqrt{109}}{2}] \cup [- \frac{11 - \sqrt{109}}{2}, \infty)$

조건제시법:

${x | x \leq - \frac{11 + \sqrt{109}}{2}, x \geq - \frac{11 - \sqrt{109}}{2}}$

단계 4