선형 대수 예제

$\frac{x^{2}}{169} + \frac{y^{2}}{25} = 1$

단계 1

방정식의 양변에서 $\frac{x^{2}}{169}$ 를 뺍니다.

$\frac{y^{2}}{25} = 1 - \frac{x^{2}}{169}$

단계 2

방정식의 양변에 $25$ 을 곱합니다.

$25 \frac{y^{2}}{25} = 25 (1 - \frac{x^{2}}{169})$

단계 3

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$25$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$25 \frac{y^{2}}{25} = 25 (1 - \frac{x^{2}}{169})$

단계 3.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$y^{2} = 25 (1 - \frac{x^{2}}{169})$

단계 3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$25 (1 - \frac{x^{2}}{169})$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y^{2} = 25 \cdot 1 + 25 (- \frac{x^{2}}{169})$

단계 3.2.1.2

$25$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y^{2} = 25 + 25 (- \frac{x^{2}}{169})$

단계 3.2.1.3

$25 (- \frac{x^{2}}{169})$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.3.1

$- 1$ 에 $25$ 을 곱합니다.

$y^{2} = 25 - 25 \frac{x^{2}}{169}$

단계 3.2.1.3.2

$- 25$ 와 $\frac{x^{2}}{169}$ 을 묶습니다.

$y^{2} = 25 + \frac{- 25 x^{2}}{169}$

단계 3.2.1.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y^{2} = 25 - \frac{25 x^{2}}{169}$

단계 4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{25 - \frac{25 x^{2}}{169}}$

단계 5

$\pm \sqrt{25 - \frac{25 x^{2}}{169}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

지수를 사용하여 수식을 세웁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

$25$ 을 $5^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \pm \sqrt{5^{2} - \frac{25 x^{2}}{169}}$

단계 5.1.2

$\frac{25 x^{2}}{169}$ 을 ${(\frac{5 x}{13})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \pm \sqrt{5^{2} - {(\frac{5 x}{13})}^{2}}$

단계 5.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 5$ 이고 $b = \frac{5 x}{13}$ 입니다.

$y = \pm \sqrt{(5 + \frac{5 x}{13}) (5 - \frac{5 x}{13})}$

단계 5.3

공통 분모를 가지는 분수로 $5$ 을 표현하기 위해 $\frac{13}{13}$ 을 곱합니다.

$y = \pm \sqrt{(5 \cdot \frac{13}{13} + \frac{5 x}{13}) (5 - \frac{5 x}{13})}$

단계 5.4

$5$ 와 $\frac{13}{13}$ 을 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{(\frac{5 \cdot 13}{13} + \frac{5 x}{13}) (5 - \frac{5 x}{13})}$

단계 5.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{5 \cdot 13 + 5 x}{13} (5 - \frac{5 x}{13})}$

단계 5.6

$5 \cdot 13 + 5 x$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.6.1

$5 \cdot 13$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (13) + 5 x}{13} (5 - \frac{5 x}{13})}$

단계 5.6.2

$5 x$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (13) + 5 (x)}{13} (5 - \frac{5 x}{13})}$

단계 5.6.3

$5 (13) + 5 (x)$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (13 + x)}{13} (5 - \frac{5 x}{13})}$

단계 5.7

공통 분모를 가지는 분수로 $5$ 을 표현하기 위해 $\frac{13}{13}$ 을 곱합니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (13 + x)}{13} (5 \cdot \frac{13}{13} - \frac{5 x}{13})}$

단계 5.8

$5$ 와 $\frac{13}{13}$ 을 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (13 + x)}{13} (\frac{5 \cdot 13}{13} - \frac{5 x}{13})}$

단계 5.9

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (13 + x)}{13} \cdot \frac{5 \cdot 13 - 5 x}{13}}$

단계 5.10

$5 \cdot 13 - 5 x$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.10.1

$5 \cdot 13$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (13 + x)}{13} \cdot \frac{5 (13) - 5 x}{13}}$

단계 5.10.2

$- 5 x$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (13 + x)}{13} \cdot \frac{5 (13) + 5 (- x)}{13}}$

단계 5.10.3

$5 (13) + 5 (- x)$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (13 + x)}{13} \cdot \frac{5 (13 - x)}{13}}$

단계 5.11

$\frac{5 (13 + x)}{13}$ 에 $\frac{5 (13 - x)}{13}$ 을 곱합니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (13 + x) (5 (13 - x))}{13 \cdot 13}}$

단계 5.12

곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.12.1

$5$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{25 (13 + x) (13 - x)}{13 \cdot 13}}$

단계 5.12.2

$13$ 에 $13$ 을 곱합니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{25 (13 + x) (13 - x)}{169}}$

단계 5.13

$\frac{25 (13 + x) (13 - x)}{169}$ 을 ${(\frac{5}{13})}^{2} ((13 + x) (13 - x))$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.13.1

$25 (13 + x) (13 - x)$ 에서 완전제곱인 $5^{2}$ 인수를 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{5^{2} ((13 + x) (13 - x))}{169}}$

단계 5.13.2

$169$ 에서 완전제곱인 $13^{2}$ 인수를 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{5^{2} ((13 + x) (13 - x))}{13^{2} \cdot 1}}$

단계 5.13.3

분수 $\frac{5^{2} ((13 + x) (13 - x))}{13^{2} \cdot 1}$ 를 다시 정렬합니다.

$y = \pm \sqrt{{(\frac{5}{13})}^{2} ((13 + x) (13 - x))}$

단계 5.14

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$y = \pm \frac{5}{13} \sqrt{(13 + x) (13 - x)}$

단계 5.15

$\frac{5}{13}$ 와 $\sqrt{(13 + x) (13 - x)}$ 을 묶습니다.

$y = \pm \frac{5 \sqrt{(13 + x) (13 - x)}}{13}$

단계 6

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$y = \frac{5 \sqrt{(13 + x) (13 - x)}}{13}$

단계 6.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$y = - \frac{5 \sqrt{(13 + x) (13 - x)}}{13}$

단계 6.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$y = \frac{5 \sqrt{(13 + x) (13 - x)}}{13}$

$y = - \frac{5 \sqrt{(13 + x) (13 - x)}}{13}$

$y = \frac{5 \sqrt{(13 + x) (13 - x)}}{13}$

$y = - \frac{5 \sqrt{(13 + x) (13 - x)}}{13}$

단계 7

식이 정의된 지점을 알아내려면 $\sqrt{(13 + x) (13 - x)}$ 의 피개법수를 $0$ 보다 크거나 같게 설정해야 합니다.

$(13 + x) (13 - x) \geq 0$

단계 8

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$13 + x = 0$

$13 - x = 0$

단계 8.2

$13 + x$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

$13 + x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$13 + x = 0$

단계 8.2.2

방정식의 양변에서 $13$ 를 뺍니다.

$x = - 13$

단계 8.3

$13 - x$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1

$13 - x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$13 - x = 0$

단계 8.3.2

$13 - x = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.2.1

방정식의 양변에서 $13$ 를 뺍니다.

$- x = - 13$

단계 8.3.2.2

$- x = - 13$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.2.2.1

$- x = - 13$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 13}{- 1}$

단계 8.3.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.2.2.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{x}{1} = \frac{- 13}{- 1}$

단계 8.3.2.2.2.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{- 13}{- 1}$

단계 8.3.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.2.2.3.1

$- 13$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$x = 13$

단계 8.4

$(13 + x) (13 - x) \geq 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = - 13, 13$

단계 8.5

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < - 13$

$- 13 < x < 13$

$x > 13$

단계 8.6

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.6.1

$x < - 13$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.6.1.1

$x < - 13$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 16$

단계 8.6.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 16$ 로 치환합니다.

$(13 - 16) (13 - (- 16)) \geq 0$

단계 8.6.1.3

좌변 $- 87$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 8.6.2

$- 13 < x < 13$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.6.2.1

$- 13 < x < 13$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 0$

단계 8.6.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $0$ 로 치환합니다.

$(13 + 0) (13 - (0)) \geq 0$

단계 8.6.2.3

좌변 $169$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 8.6.3

$x > 13$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.6.3.1

$x > 13$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 16$

단계 8.6.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $16$ 로 치환합니다.

$(13 + 16) (13 - (16)) \geq 0$

단계 8.6.3.3

좌변 $- 87$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 8.6.4

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < - 13$ 거짓

$- 13 < x < 13$ 참

$x > 13$ 거짓

$x < - 13$ 거짓

$- 13 < x < 13$ 참

$x > 13$ 거짓

단계 8.7

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$- 13 \leq x \leq 13$

단계 9

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

구간 표기:

$[- 13, 13]$

조건제시법:

${x | - 13 \leq x \leq 13}$

단계 10