선형 대수 예제

$T ([\begin{array}{c} a \\ b \\ d \end{array}]) = [\begin{array}{c} 2 a - b + 5 d \\ - 4 a + 2 b - 10 d \end{array}]$

단계 1

변환은 $ℝ^{3}$ 에서 $ℝ^{2}$ 으로의 사상을 정의합니다. 선형 변환임을 증명하기 위해서는 해당 변환에서 스칼라 곱, 덧셈 및 영벡터가 보존되어야 합니다.

T: $ℝ^{3} \to ℝ^{2}$

단계 2

먼저 변환이 이 성질을 유지하는 것을 증명합니다.

$T (x + y) = T (x) + T (y)$

단계 3

덧셈 성질이 $T$ 에 대해 성립하는지 확인하기 위하여 두 개의 행렬을 세웁니다.

$T ([\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{array}])$

단계 4

두 행렬을 더합니다.

$T [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \\ x_{3} + y_{3} \end{array}]$

단계 5

벡터를 변환합니다.

$T (x + y) = [\begin{array}{c} 2 (x_{1} + y_{1}) - (x_{2} + y_{2}) + 5 (x_{3} + y_{3}) \\ - 4 (x_{1} + y_{1}) + 2 (x_{2} + y_{2}) - 10 (x_{3} + y_{3}) \end{array}]$

단계 6

행렬의 각 원소를 간단히 합니다.

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단계 6.1

$2 (x_{1} + y_{1}) - (x_{2} + y_{2}) + 5 (x_{3} + y_{3})$ 을(를) 다시 정렬합니다.

$T (x + y) = [\begin{array}{c} 2 x_{1} - x_{2} + 5 x_{3} + 2 y_{1} - y_{2} + 5 y_{3} \\ - 4 (x_{1} + y_{1}) + 2 (x_{2} + y_{2}) - 10 (x_{3} + y_{3}) \end{array}]$

단계 6.2

$- 4 (x_{1} + y_{1}) + 2 (x_{2} + y_{2}) - 10 (x_{3} + y_{3})$ 을(를) 다시 정렬합니다.

$T (x + y) = [\begin{array}{c} 2 x_{1} - x_{2} + 5 x_{3} + 2 y_{1} - y_{2} + 5 y_{3} \\ - 4 x_{1} + 2 x_{2} - 10 x_{3} - 4 y_{1} + 2 y_{2} - 10 y_{3} \end{array}]$

단계 7

변수를 그룹지어 결과를 두 개의 행렬로 나눕니다.

$T (x + y) = [\begin{array}{c} 2 x_{1} - x_{2} + 5 x_{3} \\ - 4 x_{1} + 2 x_{2} - 10 x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 y_{1} - y_{2} + 5 y_{3} \\ - 4 y_{1} + 2 y_{2} - 10 y_{3} \end{array}]$

단계 8

변환의 덧셈 성질이 성립합니다.

$T (x + y) = T (x) + T (y)$

단계 9

변환이 선형이기 위해서는 스칼라 곱을 유지해야 합니다.

$T (p x) = T (p [\begin{array}{c} a \\ b \\ d \end{array}])$

단계 10

각 원소를 $p$ 로 인수분해합니다.

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단계 10.1

행렬의 각 원소에 $p$ 을 곱합니다.

$T (p x) = T ([\begin{array}{c} p a \\ p b \\ p d \end{array}])$

단계 10.2

벡터를 변환합니다.

$T (p x) = [\begin{array}{c} 2 ((p a) - (p b) + 5 (p d)) \\ - 4 ((p a) + 2 (p b) - 10 (p d)) \end{array}]$

단계 10.3

행렬의 각 원소를 간단히 합니다.

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단계 10.3.1

$2 ((p a) - (p b) + 5 (p d))$ 을(를) 다시 정렬합니다.

$T (p x) = [\begin{array}{c} 2 a p - 2 b p + 10 d p \\ - 4 ((p a) + 2 (p b) - 10 (p d)) \end{array}]$

단계 10.3.2

$- 4 ((p a) + 2 (p b) - 10 (p d))$ 을(를) 다시 정렬합니다.

$T (p x) = [\begin{array}{c} 2 a p - 2 b p + 10 d p \\ - 4 a p - 8 b p + 40 d p \end{array}]$

단계 10.4

행렬의 각 원소를 인수분해합니다.

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단계 10.4.1

$2 a p - 2 b p + 10 d p$ 을 곱하여 원소 $0, 0$ 를 인수분해합니다.

$T (p x) = [\begin{array}{c} p (2 a - 2 b + 10 d) \\ - 4 a p - 8 b p + 40 d p \end{array}]$

단계 10.4.2

$- 4 a p - 8 b p + 40 d p$ 을 곱하여 원소 $1, 0$ 를 인수분해합니다.

$T (p x) = [\begin{array}{c} p (2 a - 2 b + 10 d) \\ p (- 4 a - 8 b + 40 d) \end{array}]$

단계 11

이 변환에서는 선형 변환의 두 번째 성질이 성립됩니다.

$T (p [\begin{array}{c} a \\ b \\ d \end{array}]) = p T (x)$

단계 12

선형 변환이 되려면 영 벡터가 보존되어야 합니다.

$T (0) = 0$

단계 13

벡터를 변환합니다.

$T (0) = [\begin{array}{c} 2 (0) - (0) + 5 (0) \\ - 4 \cdot 0 + 2 (0) - 10 \cdot 0 \end{array}]$

단계 14

행렬의 각 원소를 간단히 합니다.

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단계 14.1

$2 (0) - (0) + 5 (0)$ 을(를) 다시 정렬합니다.

$T (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ - 4 \cdot 0 + 2 (0) - 10 \cdot 0 \end{array}]$

단계 14.2

$- 4 \cdot 0 + 2 (0) - 10 \cdot 0$ 을(를) 다시 정렬합니다.

$T (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}]$

단계 15

영벡터는 변환 후 그대로 유지됩니다.

$T (0) = 0$

단계 16

선형 변환의 세 가지 성질을 모두 만족하지 않으므로, 이는 선형 변환이 아닙니다.

선형 변환