선형 대수 예제

$y = 3 x + 2$ , $x - 4 y = 9$

단계 1

방정식의 양변에서 $3 x$ 를 뺍니다.

$y - 3 x = 2, x - 4 y = 9$

단계 2

점 $(p, q, r)$ 을 지나고 평면 $P_{1}$ $a x + b y + c z = d$ 에 수직인 직선과 평면 $P_{2}$ $e x + f y + g z = h$ 가 만나는 점을 구하려면:

1. 평면 $P_{1}$ 과 평면 $P_{2}$ 의 법선벡터가 $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ , $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ 일 때 내적이 0이 되는지 확인합니다.

2. $x = p + a t$ , $y = q + b t$ , $z = r + c t$ 이 되도록 매개변수 방정식 세트를 만듭니다.

3. $e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h$ 이 되도록 평면 $P_{2}$ 방정식에 이 방정식들을 대입하고 $t$ 에 대해 풉니다.

4. $t$ 값을 사용하여 매개변수 방정식 $x = p + a t$ , $y = q + b t$ , $z = r + c t$ 를 $t$ 에 대해 풀고 교점 $(x, y, z)$ 를 구합니다.

단계 3

각 평면의 법선벡터를 구하고 두 벡터의 내적을 계산하여 벡터가 이루는 각이 직각인지 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$P_{1}$ 은 $y - 3 x = 2$ 입니다. $a x + b y + c z = d$ 형태의 평면 방정식으로부터 법선벡터 $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ 를 구합니다.

$n_{1} = ⟨ - 3, 1, 0 ⟩$

단계 3.2

$P_{2}$ 은 $x - 4 y = 9$ 입니다. $e x + f y + g z = h$ 형태의 평면 방정식으로부터 법선벡터 $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ 를 구합니다.

$n_{2} = ⟨ 1, - 4, 0 ⟩$

단계 3.3

법선 벡터의 $x$ , $y$ , $z$ 값의 곱을 더하여 $n_{1}$ 와 $n_{2}$ 의 내적을 계산합니다.

$- 3 \cdot 1 + 1 \cdot - 4 + 0 \cdot 0$

단계 3.4

내적을 간단히 합니다.

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단계 3.4.1

괄호를 제거합니다.

$- 3 \cdot 1 + 1 \cdot - 4 + 0 \cdot 0$

단계 3.4.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.4.2.1

$- 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 3 + 1 \cdot - 4 + 0 \cdot 0$

단계 3.4.2.2

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 3 - 4 + 0 \cdot 0$

단계 3.4.2.3

$0$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$- 3 - 4 + 0$

단계 3.4.3

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

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단계 3.4.3.1

$- 3$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$- 7 + 0$

단계 3.4.3.2

$- 7$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- 7$

단계 4

$a$ , $b$ , $c$ 값에 대한 법선벡터 $- 7$ 의 값과 원점 $(0, 0, 0)$ 과 점 $(p, q, r)$ 을 이용해 매개변수 방정식 $x = p + a t$ , $y = q + b t$ , $z = r + c t$ 을 세웁니다. 이 매개변수 방정식은 $P_{1}$ $y - 3 x = 2$ 에 수직인 원점을 지나는 선을 나타냅니다.

$x = 0 + - 3 \cdot t$

$y = 0 + 1 \cdot t$

$z = 0 + 0 \cdot t$

단계 5

$P_{2}$ $x - 4 y = 9$ 식에 수식 $x$ $y$ $z$ 을 대입합니다.

$(0 - 3 \cdot t) - 4 (0 + 1 \cdot t) = 9$

단계 6

$t$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 6.1

$(0 - 3 \cdot t) - 4 (0 + 1 \cdot t)$ 을 간단히 합니다.

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단계 6.1.1

$(0 - 3 \cdot t) - 4 (0 + 1 \cdot t)$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 6.1.1.1

$0$ 에서 $3 \cdot t$ 을 뺍니다.

$- 3 \cdot t - 4 (0 + 1 \cdot t) = 9$

단계 6.1.1.2

$0$ 를 $1 \cdot t$ 에 더합니다.

$- 3 \cdot t - 4 (1 \cdot t) = 9$

단계 6.1.2

$t$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 3 t - 4 t = 9$

단계 6.1.3

$- 3 t$ 에서 $4 t$ 을 뺍니다.

$- 7 t = 9$

단계 6.2

$- 7 t = 9$ 의 각 항을 $- 7$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 6.2.1

$- 7 t = 9$ 의 각 항을 $- 7$ 로 나눕니다.

$\frac{- 7 t}{- 7} = \frac{9}{- 7}$

단계 6.2.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 6.2.2.1

$- 7$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 7 t}{- 7} = \frac{9}{- 7}$

단계 6.2.2.1.2

$t$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$t = \frac{9}{- 7}$

단계 6.2.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 6.2.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$t = - \frac{9}{7}$

단계 7

매개변수 방정식을 $t$ 값을 이용하여 $x$ , $y$ , $z$ 에 대해 풉니다.

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단계 7.1

$x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 7.1.1

괄호를 제거합니다.

$x = 0 - 3 \cdot (- 1 (\frac{9}{7}))$

단계 7.1.2

괄호를 제거합니다.

$x = 0 - 3 \cdot (- \frac{9}{7})$

단계 7.1.3

$0 - 3 \cdot (- \frac{9}{7})$ 을 간단히 합니다.

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단계 7.1.3.1

$- 3 (- \frac{9}{7})$ 을 곱합니다.

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단계 7.1.3.1.1

$- 1$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$x = 0 + 3 (\frac{9}{7})$

단계 7.1.3.1.2

$3$ 와 $\frac{9}{7}$ 을 묶습니다.

$x = 0 + \frac{3 \cdot 9}{7}$

단계 7.1.3.1.3

$3$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$x = 0 + \frac{27}{7}$

단계 7.1.3.2

$0$ 를 $\frac{27}{7}$ 에 더합니다.

$x = \frac{27}{7}$

단계 7.2

$y$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 7.2.1

괄호를 제거합니다.

$y = 0 + 1 \cdot (- 1 (\frac{9}{7}))$

단계 7.2.2

괄호를 제거합니다.

$y = 0 + 1 \cdot (- \frac{9}{7})$

단계 7.2.3

$0 + 1 \cdot (- \frac{9}{7})$ 을 간단히 합니다.

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단계 7.2.3.1

$- \frac{9}{7}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = 0 - \frac{9}{7}$

단계 7.2.3.2

$0$ 에서 $\frac{9}{7}$ 을 뺍니다.

$y = - \frac{9}{7}$

단계 7.3

$z$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 7.3.1

괄호를 제거합니다.

$z = 0 + 0 \cdot (- 1 (\frac{9}{7}))$

단계 7.3.2

괄호를 제거합니다.

$z = 0 + 0 \cdot (- \frac{9}{7})$

단계 7.3.3

$0 + 0 \cdot (- \frac{9}{7})$ 을 간단히 합니다.

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단계 7.3.3.1

$0 (- \frac{9}{7})$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.3.1.1

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$z = 0 + 0 (\frac{9}{7})$

단계 7.3.3.1.2

$0$ 에 $\frac{9}{7}$ 을 곱합니다.

$z = 0 + 0$

단계 7.3.3.2

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$z = 0$

단계 7.4

$x$ , $y$ , $z$ 에 대한 매개변수 방정식의 해.

$x = \frac{27}{7}$

$y = - \frac{9}{7}$

$z = 0$

$x = \frac{27}{7}$

$y = - \frac{9}{7}$

$z = 0$

단계 8

$x$ , $y$ , $z$ 에 대해 계산된 값을 사용하여 구한 교점은 $(\frac{27}{7}, - \frac{9}{7}, 0)$ 입니다.

$(\frac{27}{7}, - \frac{9}{7}, 0)$