선형 대수 예제

$16 x^{2} + 9 y^{2} = 144$

단계 1

방정식의 양변에서 $16 x^{2}$ 를 뺍니다.

$9 y^{2} = 144 - 16 x^{2}$

단계 2

$9 y^{2} = 144 - 16 x^{2}$ 의 각 항을 $9$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$9 y^{2} = 144 - 16 x^{2}$ 의 각 항을 $9$ 로 나눕니다.

$\frac{9 y^{2}}{9} = \frac{144}{9} + \frac{- 16 x^{2}}{9}$

단계 2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$9$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{9 y^{2}}{9} = \frac{144}{9} + \frac{- 16 x^{2}}{9}$

단계 2.2.1.2

$y^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y^{2} = \frac{144}{9} + \frac{- 16 x^{2}}{9}$

단계 2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1

$144$ 을 $9$ 로 나눕니다.

$y^{2} = 16 + \frac{- 16 x^{2}}{9}$

단계 2.3.1.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y^{2} = 16 - \frac{16 x^{2}}{9}$

단계 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{16 - \frac{16 x^{2}}{9}}$

단계 4

$\pm \sqrt{16 - \frac{16 x^{2}}{9}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

지수를 사용하여 수식을 세웁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$16$ 을 $4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \pm \sqrt{4^{2} - \frac{16 x^{2}}{9}}$

단계 4.1.2

$\frac{16 x^{2}}{9}$ 을 ${(\frac{4 x}{3})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \pm \sqrt{4^{2} - {(\frac{4 x}{3})}^{2}}$

단계 4.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 4$ 이고 $b = \frac{4 x}{3}$ 입니다.

$y = \pm \sqrt{(4 + \frac{4 x}{3}) (4 - \frac{4 x}{3})}$

단계 4.3

공통 분모를 가지는 분수로 $4$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$y = \pm \sqrt{(4 \cdot \frac{3}{3} + \frac{4 x}{3}) (4 - \frac{4 x}{3})}$

단계 4.4

$4$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{(\frac{4 \cdot 3}{3} + \frac{4 x}{3}) (4 - \frac{4 x}{3})}$

단계 4.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 \cdot 3 + 4 x}{3} (4 - \frac{4 x}{3})}$

단계 4.6

$4 \cdot 3 + 4 x$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.6.1

$4 \cdot 3$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (3) + 4 x}{3} (4 - \frac{4 x}{3})}$

단계 4.6.2

$4 x$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (3) + 4 (x)}{3} (4 - \frac{4 x}{3})}$

단계 4.6.3

$4 (3) + 4 (x)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (3 + x)}{3} (4 - \frac{4 x}{3})}$

단계 4.7

공통 분모를 가지는 분수로 $4$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (3 + x)}{3} (4 \cdot \frac{3}{3} - \frac{4 x}{3})}$

단계 4.8

$4$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (3 + x)}{3} (\frac{4 \cdot 3}{3} - \frac{4 x}{3})}$

단계 4.9

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (3 + x)}{3} \cdot \frac{4 \cdot 3 - 4 x}{3}}$

단계 4.10

$4 \cdot 3 - 4 x$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.10.1

$4 \cdot 3$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (3 + x)}{3} \cdot \frac{4 (3) - 4 x}{3}}$

단계 4.10.2

$- 4 x$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (3 + x)}{3} \cdot \frac{4 (3) + 4 (- x)}{3}}$

단계 4.10.3

$4 (3) + 4 (- x)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (3 + x)}{3} \cdot \frac{4 (3 - x)}{3}}$

단계 4.11

$\frac{4 (3 + x)}{3}$ 에 $\frac{4 (3 - x)}{3}$ 을 곱합니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (3 + x) (4 (3 - x))}{3 \cdot 3}}$

단계 4.12

곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.12.1

$4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{16 (3 + x) (3 - x)}{3 \cdot 3}}$

단계 4.12.2

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{16 (3 + x) (3 - x)}{9}}$

단계 4.13

$\frac{16 (3 + x) (3 - x)}{9}$ 을 ${(\frac{2^{2}}{3})}^{2} ((3 + x) (3 - x))$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.13.1

$16 (3 + x) (3 - x)$ 에서 완전제곱인 ${(2^{2})}^{2}$ 인수를 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{{(2^{2})}^{2} ((3 + x) (3 - x))}{9}}$

단계 4.13.2

$9$ 에서 완전제곱인 $3^{2}$ 인수를 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{{(2^{2})}^{2} ((3 + x) (3 - x))}{3^{2} \cdot 1}}$

단계 4.13.3

분수 $\frac{{(2^{2})}^{2} ((3 + x) (3 - x))}{3^{2} \cdot 1}$ 를 다시 정렬합니다.

$y = \pm \sqrt{{(\frac{2^{2}}{3})}^{2} ((3 + x) (3 - x))}$

단계 4.14

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$y = \pm \frac{2^{2}}{3} \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$

단계 4.15

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$y = \pm \frac{4}{3} \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$

단계 4.16

$\frac{4}{3}$ 와 $\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ 을 묶습니다.

$y = \pm \frac{4 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

단계 5

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$y = \frac{4 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

단계 5.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$y = - \frac{4 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

단계 5.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$y = \frac{4 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

$y = - \frac{4 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

$y = \frac{4 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

$y = - \frac{4 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

단계 6

식이 정의된 지점을 알아내려면 $\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ 의 피개법수를 $0$ 보다 크거나 같게 설정해야 합니다.

$(3 + x) (3 - x) \geq 0$

단계 7

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$3 + x = 0$

$3 - x = 0$

단계 7.2

$3 + x$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

$3 + x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$3 + x = 0$

단계 7.2.2

방정식의 양변에서 $3$ 를 뺍니다.

$x = - 3$

단계 7.3

$3 - x$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1

$3 - x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$3 - x = 0$

단계 7.3.2

$3 - x = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.2.1

방정식의 양변에서 $3$ 를 뺍니다.

$- x = - 3$

단계 7.3.2.2

$- x = - 3$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.2.2.1

$- x = - 3$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

단계 7.3.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.2.2.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

단계 7.3.2.2.2.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{- 3}{- 1}$

단계 7.3.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.2.2.3.1

$- 3$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$x = 3$

단계 7.4

$(3 + x) (3 - x) \geq 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = - 3, 3$

단계 7.5

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < - 3$

$- 3 < x < 3$

$x > 3$

단계 7.6

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.6.1

$x < - 3$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.6.1.1

$x < - 3$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 6$

단계 7.6.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 6$ 로 치환합니다.

$(3 - 6) (3 - (- 6)) \geq 0$

단계 7.6.1.3

좌변 $- 27$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 7.6.2

$- 3 < x < 3$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.6.2.1

$- 3 < x < 3$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 0$

단계 7.6.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $0$ 로 치환합니다.

$(3 + 0) (3 - (0)) \geq 0$

단계 7.6.2.3

좌변 $9$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 7.6.3

$x > 3$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.6.3.1

$x > 3$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 6$

단계 7.6.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $6$ 로 치환합니다.

$(3 + 6) (3 - (6)) \geq 0$

단계 7.6.3.3

좌변 $- 27$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 7.6.4

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < - 3$ 거짓

$- 3 < x < 3$ 참

$x > 3$ 거짓

$x < - 3$ 거짓

$- 3 < x < 3$ 참

$x > 3$ 거짓

단계 7.7

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$- 3 \leq x \leq 3$

단계 8

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

구간 표기:

$[- 3, 3]$

조건제시법:

${x | - 3 \leq x \leq 3}$

단계 9