선형 대수 예제

$y = - 3 x - 3 z + 11$ , $x = - 2 y - z + 7$ , $z = x - y$

단계 1

변수를 포함한 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

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단계 1.1

방정식의 양변에 $3 x$ 를 더합니다.

$y + 3 x = - 3 z + 11, x = - 2 y - z + 7, z = x - y$

단계 1.2

방정식의 양변에 $3 z$ 를 더합니다.

$y + 3 x + 3 z = 11, x = - 2 y - z + 7, z = x - y$

단계 2

변수를 포함한 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

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단계 2.1

방정식의 양변에 $2 y$ 를 더합니다.

$y + 3 x + 3 z = 11, x + 2 y = - z + 7, z = x - y$

단계 2.2

방정식의 양변에 $z$ 를 더합니다.

$y + 3 x + 3 z = 11, x + 2 y + z = 7, z = x - y$

단계 3

변수를 포함한 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

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단계 3.1

방정식의 양변에서 $x$ 를 뺍니다.

$y + 3 x + 3 z = 11, x + 2 y + z = 7, z - x = - y$

단계 3.2

방정식의 양변에 $y$ 를 더합니다.

$y + 3 x + 3 z = 11, x + 2 y + z = 7, z - x + y = 0$

단계 4

연립방정식을 행렬 형태로 씁니다.

$[\begin{array}{c} 3 & 1 & 3 & 11 \\ 1 & 2 & 1 & 7 \\ - 1 & 1 & 1 & 0 \end{array}]$

단계 5

기약 행 사다리꼴을 구합니다.

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단계 5.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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단계 5.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{3} & \frac{1}{3} & \frac{3}{3} & \frac{11}{3} \\ 1 & 2 & 1 & 7 \\ - 1 & 1 & 1 & 0 \end{array}]$

단계 5.1.2

$R_{1}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & 1 & \frac{11}{3} \\ 1 & 2 & 1 & 7 \\ - 1 & 1 & 1 & 0 \end{array}]$

단계 5.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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단계 5.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & 1 & \frac{11}{3} \\ 1 - 1 & 2 - \frac{1}{3} & 1 - 1 & 7 - \frac{11}{3} \\ - 1 & 1 & 1 & 0 \end{array}]$

단계 5.2.2

$R_{2}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & 1 & \frac{11}{3} \\ 0 & \frac{5}{3} & 0 & \frac{10}{3} \\ - 1 & 1 & 1 & 0 \end{array}]$

단계 5.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

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단계 5.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & 1 & \frac{11}{3} \\ 0 & \frac{5}{3} & 0 & \frac{10}{3} \\ - 1 + 1 \cdot 1 & 1 + \frac{1}{3} & 1 + 1 \cdot 1 & 0 + \frac{11}{3} \end{array}]$

단계 5.3.2

$R_{3}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & 1 & \frac{11}{3} \\ 0 & \frac{5}{3} & 0 & \frac{10}{3} \\ 0 & \frac{4}{3} & 2 & \frac{11}{3} \end{array}]$

단계 5.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{3}{5}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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단계 5.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{3}{5}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & 1 & \frac{11}{3} \\ \frac{3}{5} \cdot 0 & \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{3} & \frac{3}{5} \cdot 0 & \frac{3}{5} \cdot \frac{10}{3} \\ 0 & \frac{4}{3} & 2 & \frac{11}{3} \end{array}]$

단계 5.4.2

$R_{2}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & 1 & \frac{11}{3} \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & \frac{4}{3} & 2 & \frac{11}{3} \end{array}]$

단계 5.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - \frac{4}{3} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

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단계 5.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - \frac{4}{3} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & 1 & \frac{11}{3} \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 - \frac{4}{3} \cdot 0 & \frac{4}{3} - \frac{4}{3} \cdot 1 & 2 - \frac{4}{3} \cdot 0 & \frac{11}{3} - \frac{4}{3} \cdot 2 \end{array}]$

단계 5.5.2

$R_{3}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & 1 & \frac{11}{3} \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \end{array}]$

단계 5.6

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

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단계 5.6.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & 1 & \frac{11}{3} \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ \frac{0}{2} & \frac{0}{2} & \frac{2}{2} & \frac{1}{2} \end{array}]$

단계 5.6.2

$R_{3}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & 1 & \frac{11}{3} \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} \end{array}]$

단계 5.7

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.7.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & \frac{1}{3} - 0 & 1 - 1 & \frac{11}{3} - \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} \end{array}]$

단계 5.7.2

$R_{1}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & 0 & \frac{19}{6} \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} \end{array}]$

단계 5.8

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{3} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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단계 5.8.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{3} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{1}{3} \cdot 0 & \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1 & 0 - \frac{1}{3} \cdot 0 & \frac{19}{6} - \frac{1}{3} \cdot 2 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} \end{array}]$

단계 5.8.2

$R_{1}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & \frac{5}{2} \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} \end{array}]$

단계 6

결과 행렬을 이용해 연립방정식의 최종 해를 구합니다.

$x = \frac{5}{2}$

$y = 2$

$z = \frac{1}{2}$

단계 7

해는 연립방정식을 참이 되게 하는 순서쌍의 집합입니다.

$(\frac{5}{2}, 2, \frac{1}{2})$

단계 8

각 행의 종속 변수에 대해 식을 풀고 기약행 사다리꼴 형태의 첨가 행렬로 표현된 각 방정식을 재정렬함으로써 벡터해를 분해하여 벡터 등식을 구합니다.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{5}{2} \\ 2 \\ \frac{1}{2} \end{array}]$