선형 대수 예제

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}]$

단계 1

고유값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

특성방정식 $p (λ)$ 를 구하기 위하여 공식을 세웁니다.

$p (λ) = 행렬식 (A - λ I_{2})$

단계 1.2

크기가 $2$ 인 단위행렬은 주대각선이 1이고 나머지는 0인 $2 \times 2$ 정방행렬입니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

단계 1.3

알고 있는 값을 $p (λ) = 행렬식 (A - λ I_{2})$ 에 대입합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$A$ 에 $[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}]$ 를 대입합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] - λ I_{2})$

단계 1.3.2

$I_{2}$ 에 $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ 를 대입합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

단계 1.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1.1

행렬의 각 원소에 $- λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2

행렬의 각 원소를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1.2.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2.2

$- λ \cdot 0$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1.2.2.1

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2.2.2

$0$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2.3

$- λ \cdot 0$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1.2.3.1

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2.3.2

$0$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

단계 1.4.2

해당하는 원소를 더합니다.

$p (λ) = 행렬식 [\begin{array}{c} 8 - λ & 6 + 0 \\ - 3 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

단계 1.4.3

Simplify each element.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.3.1

$6$ 를 $0$ 에 더합니다.

$p (λ) = 행렬식 [\begin{array}{c} 8 - λ & 6 \\ - 3 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

단계 1.4.3.2

$- 3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$p (λ) = 행렬식 [\begin{array}{c} 8 - λ & 6 \\ - 3 & 2 - λ \end{array}]$

단계 1.5

Find the determinant.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

$2 \times 2$ 행렬의 행렬식은 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 공식을 이용해 계산합니다.

$p (λ) = (8 - λ) (2 - λ) - (- 3 \cdot 6)$

단계 1.5.2

행렬식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.1.1

FOIL 계산법을 이용하여 $(8 - λ) (2 - λ)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.1.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$p (λ) = 8 (2 - λ) - λ (2 - λ) - (- 3 \cdot 6)$

단계 1.5.2.1.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$p (λ) = 8 \cdot 2 + 8 (- λ) - λ (2 - λ) - (- 3 \cdot 6)$

단계 1.5.2.1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$p (λ) = 8 \cdot 2 + 8 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - (- 3 \cdot 6)$

단계 1.5.2.1.2

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.1.2.1.1

$8$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 16 + 8 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - (- 3 \cdot 6)$

단계 1.5.2.1.2.1.2

$- 1$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 16 - 8 λ - λ \cdot 2 - λ (- λ) - (- 3 \cdot 6)$

단계 1.5.2.1.2.1.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 16 - 8 λ - 2 λ - λ (- λ) - (- 3 \cdot 6)$

단계 1.5.2.1.2.1.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$p (λ) = 16 - 8 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 3 \cdot 6)$

단계 1.5.2.1.2.1.5

지수를 더하여 $λ$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.1.2.1.5.1

$λ$ 를 옮깁니다.

$p (λ) = 16 - 8 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 3 \cdot 6)$

단계 1.5.2.1.2.1.5.2

$λ$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 16 - 8 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 3 \cdot 6)$

단계 1.5.2.1.2.1.6

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 16 - 8 λ - 2 λ + 1 λ^{2} - (- 3 \cdot 6)$

단계 1.5.2.1.2.1.7

$λ^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 16 - 8 λ - 2 λ + λ^{2} - (- 3 \cdot 6)$

단계 1.5.2.1.2.2

$- 8 λ$ 에서 $2 λ$ 을 뺍니다.

$p (λ) = 16 - 10 λ + λ^{2} - (- 3 \cdot 6)$

단계 1.5.2.1.3

$- (- 3 \cdot 6)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.1.3.1

$- 3$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 16 - 10 λ + λ^{2} - - 18$

단계 1.5.2.1.3.2

$- 1$ 에 $- 18$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 16 - 10 λ + λ^{2} + 18$

단계 1.5.2.2

$16$ 를 $18$ 에 더합니다.

$p (λ) = - 10 λ + λ^{2} + 34$

단계 1.5.2.3

$- 10 λ$ 와 $λ^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$p (λ) = λ^{2} - 10 λ + 34$

단계 1.6

특성다항식이 $0$ 이 되도록 하여 고유값 $λ$ 를 구합니다.

$λ^{2} - 10 λ + 34 = 0$

단계 1.7

$λ$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.1

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 1.7.2

이차함수의 근의 공식에 $a = 1$ , $b = - 10$ , $c = 34$ 을 대입하여 $λ$ 를 구합니다.

$\frac{10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 34)}}{2 \cdot 1}$

단계 1.7.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.3.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.3.1.1

$- 10$ 를 $2$ 승 합니다.

$λ = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 34}}{2 \cdot 1}$

단계 1.7.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 34$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.3.1.2.1

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$λ = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 34}}{2 \cdot 1}$

단계 1.7.3.1.2.2

$- 4$ 에 $34$ 을 곱합니다.

$λ = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 136}}{2 \cdot 1}$

단계 1.7.3.1.3

$100$ 에서 $136$ 을 뺍니다.

$λ = \frac{10 \pm \sqrt{- 36}}{2 \cdot 1}$

단계 1.7.3.1.4

$- 36$ 을 $- 1 (36)$ 로 바꿔 씁니다.

$λ = \frac{10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

단계 1.7.3.1.5

$\sqrt{- 1 (36)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}$ 로 바꿔 씁니다.

$λ = \frac{10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}}{2 \cdot 1}$

단계 1.7.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$λ = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{36}}{2 \cdot 1}$

단계 1.7.3.1.7

$36$ 을 $6^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$λ = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{6^{2}}}{2 \cdot 1}$

단계 1.7.3.1.8

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$λ = \frac{10 \pm i \cdot 6}{2 \cdot 1}$

단계 1.7.3.1.9

$i$ 의 왼쪽으로 $6$ 이동하기

$λ = \frac{10 \pm 6 i}{2 \cdot 1}$

단계 1.7.3.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$λ = \frac{10 \pm 6 i}{2}$

단계 1.7.3.3

$\frac{10 \pm 6 i}{2}$ 을 간단히 합니다.

$λ = 5 \pm 3 i$

단계 1.7.4

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$λ = 5 + 3 i, 5 - 3 i$

단계 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{2})$

단계 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 5 + 3 i$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

알고 있는 값을 공식에 대입합니다.

$N ([\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] - (5 + 3 i) [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

단계 3.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + (- 1 \cdot 5 - (3 i)) [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

단계 3.2.1.2

$- 1$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + (- 5 - (3 i)) [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

단계 3.2.1.3

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + (- 5 - 3 i) [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

단계 3.2.1.4

행렬의 각 원소에 $- 5 - 3 i$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} (- 5 - 3 i) \cdot 1 & (- 5 - 3 i) \cdot 0 \\ (- 5 - 3 i) \cdot 0 & (- 5 - 3 i) \cdot 1 \end{array}]$

단계 3.2.1.5

행렬의 각 원소를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.5.1

$- 5 - 3 i$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 - 3 i & (- 5 - 3 i) \cdot 0 \\ (- 5 - 3 i) \cdot 0 & (- 5 - 3 i) \cdot 1 \end{array}]$

단계 3.2.1.5.2

$- 5 - 3 i$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 - 3 i & 0 \\ (- 5 - 3 i) \cdot 0 & (- 5 - 3 i) \cdot 1 \end{array}]$

단계 3.2.1.5.3

$- 5 - 3 i$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 - 3 i & 0 \\ 0 & (- 5 - 3 i) \cdot 1 \end{array}]$

단계 3.2.1.5.4

$- 5 - 3 i$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 - 3 i & 0 \\ 0 & - 5 - 3 i \end{array}]$

단계 3.2.2

해당하는 원소를 더합니다.

$[\begin{array}{c} 8 - 5 - 3 i & 6 + 0 \\ - 3 + 0 & 2 - 5 - 3 i \end{array}]$

단계 3.2.3

Simplify each element.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.3.1

$8$ 에서 $5$ 을 뺍니다.

$[\begin{array}{c} 3 - 3 i & 6 + 0 \\ - 3 + 0 & 2 - 5 - 3 i \end{array}]$

단계 3.2.3.2

$6$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 3 - 3 i & 6 \\ - 3 + 0 & 2 - 5 - 3 i \end{array}]$

단계 3.2.3.3

$- 3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 3 - 3 i & 6 \\ - 3 & 2 - 5 - 3 i \end{array}]$

단계 3.2.3.4

$2$ 에서 $5$ 을 뺍니다.

$[\begin{array}{c} 3 - 3 i & 6 \\ - 3 & - 3 - 3 i \end{array}]$

단계 3.3

Find the null space when $λ = 5 + 3 i$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 3 - 3 i & 6 & 0 \\ - 3 & - 3 - 3 i & 0 \end{array}]$

단계 3.3.2

기약 행 사다리꼴을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3 - 3 i}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3 - 3 i}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 - 3 i}{3 - 3 i} & \frac{6}{3 - 3 i} & \frac{0}{3 - 3 i} \\ - 3 & - 3 - 3 i & 0 \end{array}]$

단계 3.3.2.1.2

$R_{1}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 + i & 0 \\ - 3 & - 3 - 3 i & 0 \end{array}]$

단계 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 + i & 0 \\ - 3 + 3 \cdot 1 & - 3 - 3 i + 3 (1 + i) & 0 + 3 \cdot 0 \end{array}]$

단계 3.3.2.2.2

$R_{2}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 + i & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

단계 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + (1 + i) y = 0$

$0 = 0$

단계 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - y - i y \\ y \end{array}]$

단계 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]$

단계 3.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

단계 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]}$

단계 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 5 - 3 i$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

알고 있는 값을 공식에 대입합니다.

$N ([\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] - (5 - 3 i) [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

단계 4.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + (- 1 \cdot 5 - (- 3 i)) [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

단계 4.2.1.2

$- 1$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + (- 5 - (- 3 i)) [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

단계 4.2.1.3

$- 3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + (- 5 + 3 i) [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

단계 4.2.1.4

행렬의 각 원소에 $- 5 + 3 i$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} (- 5 + 3 i) \cdot 1 & (- 5 + 3 i) \cdot 0 \\ (- 5 + 3 i) \cdot 0 & (- 5 + 3 i) \cdot 1 \end{array}]$

단계 4.2.1.5

행렬의 각 원소를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.5.1

$- 5 + 3 i$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 + 3 i & (- 5 + 3 i) \cdot 0 \\ (- 5 + 3 i) \cdot 0 & (- 5 + 3 i) \cdot 1 \end{array}]$

단계 4.2.1.5.2

$- 5 + 3 i$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 + 3 i & 0 \\ (- 5 + 3 i) \cdot 0 & (- 5 + 3 i) \cdot 1 \end{array}]$

단계 4.2.1.5.3

$- 5 + 3 i$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 + 3 i & 0 \\ 0 & (- 5 + 3 i) \cdot 1 \end{array}]$

단계 4.2.1.5.4

$- 5 + 3 i$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 + 3 i & 0 \\ 0 & - 5 + 3 i \end{array}]$

단계 4.2.2

해당하는 원소를 더합니다.

$[\begin{array}{c} 8 - 5 + 3 i & 6 + 0 \\ - 3 + 0 & 2 - 5 + 3 i \end{array}]$

단계 4.2.3

Simplify each element.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.3.1

$8$ 에서 $5$ 을 뺍니다.

$[\begin{array}{c} 3 + 3 i & 6 + 0 \\ - 3 + 0 & 2 - 5 + 3 i \end{array}]$

단계 4.2.3.2

$6$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 3 + 3 i & 6 \\ - 3 + 0 & 2 - 5 + 3 i \end{array}]$

단계 4.2.3.3

$- 3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 3 + 3 i & 6 \\ - 3 & 2 - 5 + 3 i \end{array}]$

단계 4.2.3.4

$2$ 에서 $5$ 을 뺍니다.

$[\begin{array}{c} 3 + 3 i & 6 \\ - 3 & - 3 + 3 i \end{array}]$

단계 4.3

Find the null space when $λ = 5 - 3 i$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 3 + 3 i & 6 & 0 \\ - 3 & - 3 + 3 i & 0 \end{array}]$

단계 4.3.2

기약 행 사다리꼴을 구합니다.

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단계 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3 + 3 i}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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단계 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3 + 3 i}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 + 3 i}{3 + 3 i} & \frac{6}{3 + 3 i} & \frac{0}{3 + 3 i} \\ - 3 & - 3 + 3 i & 0 \end{array}]$

단계 4.3.2.1.2

$R_{1}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 - i & 0 \\ - 3 & - 3 + 3 i & 0 \end{array}]$

단계 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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단계 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 - i & 0 \\ - 3 + 3 \cdot 1 & - 3 + 3 i + 3 (1 - i) & 0 + 3 \cdot 0 \end{array}]$

단계 4.3.2.2.2

$R_{2}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 - i & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

단계 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + (1 - i) y = 0$

$0 = 0$

단계 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - y + i y \\ y \end{array}]$

단계 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]$

단계 4.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

단계 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]}$

단계 5

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]}$